初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品原則教程及練習(xí)(60）解三角形一、內(nèi)容提綱１．由三角形已知元素，求出所有未知元素過(guò)程叫做解三角形.２.解直角三角形所依照定理（在Ｒt△ABＣ中，∠Ｃ＝Rt∠）.邊與邊關(guān)系:勾股定理-－－-――c2=a2+b2.角與角關(guān)系：兩個(gè)銳角互余-－-－∠A+∠B＝Rｔ∠邊與角關(guān)系:(銳角三角函數(shù)定義)ＳinA=，CoｓA=,tａnA=，CotA=．互余兩個(gè)角三角函數(shù)關(guān)系:Sｉn(90-A)=CosA，Cｏs（90-A)=SinA，tan(90－A)＝CotA,Ｃot（9０-Ａ)=ｔａnA.特殊角三角函數(shù)值：角A度數(shù)030４5６090SinA值0１CｏｓA值10tａnA值０1不存在ＣotA值不存在10銳角正弦、正切隨著角度增大而增大(即增函數(shù)）；余弦、余切隨著角度增大而減?。礈p函數(shù)）.3.解斜三角形所依照定理（在△AＢC中)正弦定理:＝2R.(Ｒ是△ＡBC外接圓半徑).②余弦定理:ｃ2=a2+b2-2abＣｏｓC;b２=c2＋ａ2－2ｃaCosB;ａ2=ｃ2+b2－2ｃｂCosA.③互補(bǔ)兩個(gè)角三角函數(shù)關(guān)系：Sin(18０－Ａ)=sinA，Coｓ（180－Ａ）=－cosＡ,taｎ（180－A）=-cotA，cotA（180-A）=-tａｎA(yù).④S△ABC＝aｂsinC=ｂcsinA=casinＢ.4.與解三角形有關(guān)概念:水平距離,垂直距離，仰角，俯角，坡角，坡度,象限角，方位角等．二、例題例1.已知：四邊形ABCD中,∠A=60,ＣB⊥AＢ,CＤ⊥AD，CB=２,CＤ＝1.求:AC長(zhǎng).解:延長(zhǎng)AＤ和BC相交于E,則∠Ｅ=30.在Rt△ECD中,∵sinE=,∴CＥ==1÷=２.EB＝４.在Rt△ＥAＢ中,∵tanE=，∴AB=ＥBｔａn30。=.依照勾股定理ＡC=＝．又解：連結(jié)ＢＤ,設(shè)AB為x，AD為y.依照勾股定理AC2＝x2＋2２＝ｙ2＋1２.依照余弦定理BＤ2＝x2+y2-2xｙＣos60=2２+１２－2×2×1Cos１20.得方程組解這個(gè)方程組，得x=．（如下同上一解)例2.已知:如圖,要測(cè)量山AB高,在和B同始終線(xiàn)上C,D處,分別測(cè)得對(duì)A仰角度數(shù)為n和ｍ，CD=a.試寫(xiě)出表達(dá)AB算式.解：設(shè)AB為x,BD為y.在Rt△ABD和Rt△ABC中,xCotｍ=ｘCｏtn－ａ．∴ｘ=.答:山高AＢ＝．例3.已知:四邊形ABCＤ中，∠ABC＝135,∠BCD=120，CD＝６,AB＝，BC＝5－.求:ＡD長(zhǎng).解：作AE∥ＢC交CD于E,BＦ⊥AＥ于F,CG⊥ＡＥ于G.．在Ｒt△ABF中,BF＝Sｉn45=,AＦ=BF＝．在Ｒt△CGE中，ＧE=CGtan3０=×=1,∴CＥ＝2,ED=4．∴ＡE=+５-+１=６,∠ＡED＝120.在△AＥD中,依照余弦定理，得AD２=62＋42－２×6×4Cos120=7６.∴ＡＤ＝2.例4.如圖，要測(cè)量河對(duì)岸C，Ｄ兩個(gè)目的之間距離，在Ａ，B兩個(gè)測(cè)站,測(cè)得平面角∠CAB＝30,∠CＡD＝４5，∠ＤBC＝７5,∠DBA=45，AB＝.試求C,D距離．解:在△ABC中,∵∠AＣB=∠ＣAB=3０,∴BＣ＝ＡB=，∴AC=２ｃos30=3.在△ＡＢD中,∠ADB＝60由正弦定理,＝，AD=×sin45=÷×=.在△AＣD中,由余弦定理,得CＤ2=3２+()2－2×３×Coｓ45=5∴CD=.例５．已知:O是凸五邊形ABＣDE內(nèi)一點(diǎn)且∠1=∠2，∠3=∠4,∠5＝∠6，∠7=∠8.求證：∠9和∠１0相等或互補(bǔ)證明：依照正弦定理,得=.∴sin10=sin9∴∠9和∠１0相等或互補(bǔ)．例６.已知：二次方程mx2－(m－2）x＋(m-１)=0兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，正好是直角三角形兩個(gè)銳角正弦值．求：這個(gè)直角三角形斜邊與斜邊上高比.解:作Rt△ABC斜邊上高CD.則sinA=,sinB=.∵sｉnA和siｎB是方程兩根,依照韋達(dá)定理，得sinA＋sｉnB＝；（１)sｉnAsinＢ=．(2)即=．(3)(1）2-２（2）得:(sinA)2+(sｉnＢ)2=()2-.∵sinB=coｓＡ,且(sｉnＡ)2+(cosA)2=1，∴()２-=1,m2+７m-8=0，∴m=1,ｍ=-8.由（3)=＝.∴=.當(dāng)m=1時(shí),沒(méi)故意義;當(dāng)m=-8時(shí)，＝．即直角三角形斜邊與斜邊上高比是32∶９.三、練習(xí)６0１.填空：假如從點(diǎn)A對(duì)著點(diǎn)B測(cè)得仰角是60,那么從點(diǎn)B對(duì)著點(diǎn)A測(cè)得俯角是＿_(dá)度.點(diǎn)C在點(diǎn)D南偏東２5,那么點(diǎn)Ｄ在Ｃ方向是__＿＿_(dá)＿.斜坡AB坡角是３0,那么AＢ坡度ｉ＝1∶_＿＿．銳角Ａ>45,那么下列函數(shù)取值范疇是:ＳｉnA＿_(dá)___，CosA＿_(dá)__＿，tanA＿_(dá)__＿_(dá)_，ｃotA__＿_(dá)____．已知：３0<∠A＜6０，那么如下函數(shù)取值范疇是∠A余弦＿_(dá)__＿＿_(dá)＿，∠A正切____＿＿_(dá).2.已知:△ＡBC中，∠Ｂ＝４5，ＡC＝7，點(diǎn)D在ＢC上，CＤ＝3,Ｄ=５.求ＡB長(zhǎng).３.如圖觀測(cè)塔AB高為a米,從塔頂A測(cè)得地面上同一方向上兩個(gè)目的C,D俯角分別是３０和45，求CD距離．4.船A在船B正北,它們同步向東航行,時(shí)速分別是１5和20海里,3小時(shí)后，船B在船A東南,問(wèn)這時(shí)兩船相距多遠(yuǎn)？5.一只船向南航行，出發(fā)前在燈塔A北偏東30,相距15海里,2小時(shí)后,燈塔在船北偏西６0,求船航行速度．6.如圖要測(cè)量建筑物AB高,先在樓下C測(cè)得對(duì)頂端A仰角為4５，然后在樓上D測(cè)得對(duì)Ａ仰角為３0，已知樓高CD=m米,求ＡB.7.已知:△ABC中,ａ=21,ｂ=17，c＝1０.求：Ｓ△ABC.８．已知:△AＢC中,SｉnA∶SinB∶ＳinC=3∶5∶7.求：△ＡＢC最大角度數(shù).9.船B在艇A方位角120，相距２４海里處,發(fā)出呼救，報(bào)告說(shuō):它沿著方位角240方向邁進(jìn)，速度是每小時(shí)9海里．A艇以最快時(shí)速2１海里趕去營(yíng)救，問(wèn)應(yīng)沿什么方向，要通過(guò)幾小時(shí)才干接近船Ｂ？10.已知:銳角三角形ABC外接圓直徑AE交ＢC于Ｄ.求證：tａnＢ×tanC=AＤ∶DE提醒：作BＣ邊高AF(h)并延長(zhǎng)交圓于Ｇ,連結(jié)GＥ1１.已知:△ＡBＣ中，∠Ａ＝45,AB=,BＣ=２，不用正弦定理能解答這個(gè)三角形嗎?如不能,闡明理由；如能請(qǐng)解這個(gè)三角形.12.如圖已知:AＢＣD為圓內(nèi)接四邊形，過(guò)AB上一點(diǎn)Ｍ引MP,ＭＱ,MＲ分別垂直于BＣ,CD，AD,連結(jié)ＰＲ和MQ交于Ｎ.求證：.13.如圖已知:銳角△AＢC中，AＣ=1，AＢ=c，△ABC外接圓半徑R≤１.求證:Cｏs<ｃ≤ＣoｓA＋SｉnA．練習(xí)6０參照答案:1①60②北偏西25③④不不大于；不大于；不不大于1;不大于1⑤＜ＣosＡ＜，<ｔaｎA(yù)<.２.由余弦定理得∠ADＣ=１20度,再由正弦定理得AB=．3.ＣＤ=(-1)a4．1５５.5６．7.用公式Ｓ△=,其中S=或先求最大邊高為8，S△=×2１×8=84．8．由正弦定理得a∶b∶ｃ=３∶５∶7，CosＣ=－,∠C＝1２０度９．應(yīng)沿方位角1４