初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選取題1.設(shè)ａ<b<０，ａ2＋b2=４ab,則值為【】Ａ、B、C、2Ｄ、３2．已知ａ=1999x＋,b＝1９99x+，c=１９9９x＋,則多項(xiàng)式a2+b2＋c2-ab-bc-ｃa值為【】A、0Ｂ、1C、23．如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ＡＢCD邊AB、BＣ中點(diǎn),連AＦ、ＣE交于點(diǎn)G，則等于【】Ａ、B、C、D、4.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù),x＝a2-2b＋，y＝b2-2c+，z=ｃ2-2ａ+，則ｘ、ｙ、z中至少有一種值【】A、不不大于０B、等于0Ｃ、不不不大于０5．設(shè)關(guān)于x方程ax2＋(a+2）x＋9ａ＝0,有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x１、x2,且x１<１<ｘ２，那么a取值范疇是【】A、<a＜B、a>Ｃ、a<D、<a＜０6.A1Ａ2A３…Ａ９是一種正九邊形,A1Ａ2=ａ,A1A3＝ｂ,則Ａ、B、Ｃ、D、a+b二、填空題7．設(shè)x1、x2是關(guān)于x一元二次方程x2+aｘ+a=2兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則(x１－2x2）（x２－2ｘ1)最大值為。８.已知a、b為拋物線(xiàn)y=(x－c)（x－c－ｄ)－2與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，a＜b，則值為。9.如圖,在△ABC中，∠ABC＝６００,點(diǎn)P是△ＡＢC內(nèi)一點(diǎn),使得∠ＡPB＝∠ＢPC=∠ＣPA，且PA=8,PC=6，則PB＝。10．如圖，大圓O直徑ＡＢ=acｍ，分別以ＯＡ、OＢ為直徑作⊙O1、⊙O2，并在⊙Ｏ與⊙O１和⊙O2空隙間作兩個(gè)等圓⊙O3和⊙O4,這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O１Ｏ2O３O4面積為cm2。11．滿(mǎn)足(ｎ2-n-1)n＋2=1整數(shù)ｎ有個(gè)。１２．某商品標(biāo)價(jià)比成本高p％，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí),為了不虧本,售價(jià)折扣(即降價(jià)百分?jǐn)?shù)）不得超過(guò)d%,則d可以用p表達(dá)為。三、解答題13．某項(xiàng)工程,假如由甲、乙兩隊(duì)承包，天完畢,需付18０0０0元;由乙、丙兩隊(duì)承包，天完畢，需付1５0０0０元;由甲、丙兩隊(duì)承包,天完畢，需付1６0000元。當(dāng)前工程由一種隊(duì)單獨(dú)承包,在保證一周完畢前提下,哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用至少?１４.如圖,圓內(nèi)接六邊形ＡBCDEＦ滿(mǎn)足AB=CＤ＝EF，且對(duì)角線(xiàn)AＤ、BＥ、CF交于一點(diǎn)Ｑ,設(shè)ＡＤ與ＣＥ交點(diǎn)為P。(1）求證：(2)求證:16．假如對(duì)一切x整數(shù)值，ｘ二次三項(xiàng)式aｘ２+bx＋c值都是平方數(shù)（即整數(shù)平方）。證明:(１）2ａ、2b、c都是整數(shù)；(2）ａ、b、c都是整數(shù)，并且ｃ是平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，假如(2）成立，與否對(duì)一切x整數(shù)值，ｘ二次三項(xiàng)式ａｘ２+bx＋c值都是平方數(shù)？初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題選取題（每小題5分，共３０分）設(shè)a＜b＜0，a2+b2=4ａb,則值為()。A、B、C、2D、3答案：Ａ.由題意：＞０，且=＝=3。已知a=１99９x＋,ｂ=199９x+,c=１999x＋，則多項(xiàng)式a2＋b2＋ｃ2-aｂ－bｃ-ca值為（)。A、0B、１C、2D、3答案:原式=［(ａ－b)2＋(b－ｃ)２+(c-a)2］=［1+1+4]=３。如圖,點(diǎn)E、Ｆ分別是矩形ABCD邊AB、BＣ中點(diǎn),連AF、CE交于點(diǎn)Ｇ，則等于()。A、Ｂ、C、D、答案:設(shè)S矩形ABＣD=1。由于Ｅ、F是矩形ABCD中邊AB、ＢC中點(diǎn),因此SΔGCF＝ＳΔGBF,設(shè)為x;SΔＧＡE=SΔＧBE，設(shè)為ｙ。則,得2x+2y=.因此Ｓ四邊形AGＣD＝．從而Ｓ四邊形AＧCD∶Ｓ矩形ABCD=２∶3.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x=ａ2－２ｂ+，y=ｂ2-2c＋，ｚ＝c2－2a+,則x、y、z中至少有一種值()。A、不不大于0B、等于０Ｃ、不不不大于０D、不大于０答案：由題意：x+y+z=a２+b２+c２-2ａ-2ｂ－2c+=(a-1)２＋(ｂ-1）2＋（c-１)2+-3>0，因此x、y、z中至少有一個(gè)不不大于0.設(shè)關(guān)于x方程ａｘ2+(a+2)ｘ+9a=0，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x１、x２，且x1<1<ｘ2,那么a取值范疇是（)。A、<a<Ｂ、a>Ｃ、a＜D、<a<０答案：由題知：（x1－1）(ｘ2-1)<０,即ｘ1x２-（x1+ｘ2）+1＜０，代入韋達(dá)定理并整頓得<０,可知選(A).A１A2Ａ3…A9是一種正九邊形，A1A2=a,A1A3=ｂ,則Ａ１ＡA、B、C、D、a＋b答案:.延長(zhǎng)A1Ａ２和A5A４相交于P,連結(jié)A2A4.易證:ΔPA1A５和ΔＰＡ2A4均為正Δ,且PＡ2=Ａ2A4=Ａ１A３=填空題(每小題5分,共30分)設(shè)ｘ1、x２是關(guān)于ｘ一元二次方程ｘ２＋aｘ+a=2兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則(ｘ1－２x2)(x2-2ｘ１)最大值為。答案:由Δ＝(ａ－2）2+4＞0知ａ為一切實(shí)數(shù).由韋達(dá)定理,得原式＝9ｘ１x2-２(x1＋x2)2=-２a2+9a-1８≤-.已知a、b為拋物線(xiàn)y＝（x-c）(x-c-d)-2與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo),a＜b，則值為。答案：由題知:(ａ-c）（a－c－d)－2=０，(ｂ-c)(b-c-ｄ)-2=0.因此a-c和b-c是方程t(t-d)-2=0（即ｔ2-dt-2＝0)兩實(shí)根.因此(ａ-c)(b-ｃ)=－2<0.而a<b,即ａ-c<ｂ-c.因此ａ-c<0,ｂ-c>０.因此原式=ｂ-ａ.如圖,在△AＢC中,∠ABC＝600,點(diǎn)P是△AＢC內(nèi)一點(diǎn),使得∠APB=∠BPC＝∠CPＡ，且PＡ＝8，PC=6,則PＢ＝。答案：易證：ΔPAB∽ΔＢCP,因此=,得PB=4如圖,大圓O直徑AB＝acm,分別以ＯＡ、OB為直徑作⊙O１、⊙O2，并在⊙Ｏ與⊙O１和⊙O2空隙間作兩個(gè)等圓⊙Ｏ3和⊙O４，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O1Ｏ2Ｏ3O4面積為cm2。答案：設(shè)⊙O3半徑為x，則O1O3=+x，O１O(jiān)=,O3O=-x.因此(+ｘ)２=(）2＋(-x)2,解得x=，易得菱形O1O３O2O４面積為a2.滿(mǎn)足(n2-n-1)n+2＝1整數(shù)n有個(gè)。答案：由題設(shè)得n２－n-１=±1,有5個(gè)根:0,１,-1,２．和-2某商品標(biāo)價(jià)比成本高p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本,售價(jià)折扣（即降價(jià)百分?jǐn)?shù))不得超過(guò)ｄ%,則ｄ可以用p表達(dá)為。答案:設(shè)成本為a,則a（１+ｐ%)(１－d%）=a,得ｄ=.解答題（每小題20分，共60分）某項(xiàng)工程,假如由甲、乙兩隊(duì)承包，天完畢,需付180000元;由乙、丙兩隊(duì)承包，天完畢，需付150000元;由甲、丙兩隊(duì)承包，天完畢,需付16０000元。當(dāng)前工程由一種隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完畢前提下,哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用至少?答案:設(shè)單獨(dú)完畢,甲、乙、丙各需ａ、b、ｃ天．則解得a=4,b=6，ｃ=１０（c>7，舍去)．又設(shè)天天付給甲、乙、丙費(fèi)用分別為x、ｙ、z（元）,則解得x=4５50０,y=295０0,因此甲４天完畢總費(fèi)用為18元，乙6天完畢總費(fèi)用為177０00元，因此由乙承包.如圖,圓內(nèi)接六邊形ＡBCDEF滿(mǎn)足ＡB＝CD＝EF,且對(duì)角線(xiàn)AD、ＢＥ、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與ＣE交點(diǎn)為P。(１)求證:(２）求證:答案：(１)易證∠3=∠4,因此∠AEC=∠DEQ,而∠ＡCE=∠2,因此ΔACE∽ΔQDＥ．可得結(jié)論成立.(2)分析:易證∠6=∠4,因此FC∥EＤ，因此=因此只需證=,由（1)有=。因此只需證=,即QＤ2＝ＣQ×EQ.這只需證ΔCＱＤ∽ΔEＱD.而由題設(shè)有∠7=∠3+∠5=∠４+∠５,由(1)有∠９=∠ＥAC,而∠ＥＡC=∠8=＝∠QCD,因此可證得ΔCQD∽ΔＥQＤ．假如對(duì)一切x整數(shù)值,x二次三項(xiàng)式aｘ2＋bx＋c值都是平方數(shù)（即整數(shù)平方）。證明:（１）２ａ、2b、ｃ都是整數(shù)；(2)a、b、c都是整數(shù),并且ｃ是平方數(shù);反過(guò)來(lái),假如(2)成立,與否對(duì)一切ｘ整數(shù)值,ｘ二次三項(xiàng)式aｘ２＋bx+c值都是平方數(shù)?答案：（1)由題設(shè)知,可分別令x＝0、-1、1,得則有c=ｍ2,２a=n２+ｋ２,2ｂ=n2－k２均為整數(shù).(其中m、n、k為整數(shù))(2)假設(shè)2ｂ為奇數(shù)2t+1(t為整數(shù)).取x=４得１６a+4ｂ+ｍ2=h２(ｈ為整數(shù)).因2a為整數(shù),從而１6ａ可被4整除.因此１6a+4b=16a+4t+2除以4余2.因此16a+４b為偶數(shù).①又由于16a+４b=（h＋m)(h-m).若ｈ、m奇偶性