本文格式為Word版，下載可任意編輯——淺談數(shù)學(xué)分析命題中條件與結(jié)論間的變化規(guī)律

在數(shù)學(xué)中，當(dāng)一個(gè)命題的條件確定時(shí)，通過推打理產(chǎn)生一系列的必然的結(jié)果，其中某些突出的，就往往被稱為定理。教學(xué)時(shí)不但要學(xué)生掌管這些定理并會(huì)應(yīng)用，而且還應(yīng)使學(xué)生了解定理的由來以及變化規(guī)律。

初中有關(guān)圖形命題和其他的學(xué)科命題一樣，可以千變?nèi)f化。但是它們的一切性質(zhì)卻都是從已知條件啟程而推得的。分析條件與結(jié)論間的關(guān)系，研究它們變化時(shí)某些不變的性質(zhì)，察覺和掌管它們之間的一些內(nèi)在規(guī)律，這是學(xué)習(xí)初中有關(guān)圖形問題的根本方法之一。學(xué)會(huì)方法，便可以通過適量命題的練習(xí)而取得較大的收益，對(duì)教學(xué)來說，那么可以達(dá)成事半功倍的實(shí)效。

下面，通過一些實(shí)例來說明。

例1如圖1，在△ABC的BC和AB邊上分別向形外作正方形BCDE和正方形ABMN，連接AE、MC，那么AE⊥MC且AE=MC

分析：由于圖形中展現(xiàn)了兩個(gè)相應(yīng)的正方形，具備了邊等和角等（90°）的條件，所以可以采用旋轉(zhuǎn)變換的方法來證明。

證明：將△BCM繞B點(diǎn)以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°那么△BCM與△BAE重合。事實(shí)上，由于△BCM旋轉(zhuǎn)90°，那么其每個(gè)頂點(diǎn)、每條邊都隨之旋轉(zhuǎn)90°。由于BM=BA，所以點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°后與點(diǎn)A重合；由于BC=BE，所以點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°后與點(diǎn)E重合。這就是說，MC旋轉(zhuǎn)90°后與AE重合。所以MC⊥AE且MC=AE。于是得到了證明。

為了對(duì)這個(gè)命題作深入研究，不妨變更其原來的一些條件，看看結(jié)論會(huì)不會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變更。即將例1的題設(shè)中“向形外”改為“向形內(nèi)”，其余的已知條件不變（如圖2）。

分析：正方形的條件沒有變，只是變更了兩個(gè)正方形的位置，所以仍可以應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換的方法來證。

證明：如故將△BCM（但這時(shí)它在另一個(gè)位置）繞B點(diǎn)以逆時(shí)針方向（不再是順時(shí)針方向，由于它們的方向變了）旋轉(zhuǎn)90°與△BAE重合。結(jié)果，可以得到同樣的結(jié)論，

即AE⊥MC且AE=MC。

從這里說領(lǐng)略題設(shè)中將“向形外”改為“向形內(nèi)”，僅只是形式上的變化。由于正方形BCDE、ABMN與原題設(shè)中的正方形BCDE、ABMN依次剛好相反，即旋轉(zhuǎn)方向剛好相反，所以證明時(shí)，除了相應(yīng)變更旋轉(zhuǎn)90°的方向外，其余都沒有變化，說明他們的證明規(guī)律沒有變化。因此得到的結(jié)論不變。

若將原題規(guī)律中的“向形外”改為“一個(gè)向形外，一個(gè)向形內(nèi)”，那么又將如何呢？此時(shí)，對(duì)比△BCM與△BAE，可以從圖3中看出它們之間的位置關(guān)系與上述的處境有了不同的變化。若仍將△BCM繞點(diǎn)B以順時(shí)針方向（順、逆都可以，由于條件中已改為一個(gè)向形外、一個(gè)向形內(nèi)）旋轉(zhuǎn)90°后處于△BEM′的位置。由于旋轉(zhuǎn)90°，且AB=BM=BM′，所以ABM′為一條直線，且為AM′的中點(diǎn)，鮮明，這時(shí)具有S△ABE=S△BEM′=S△BCM，即產(chǎn)生了面積相等的結(jié)論。但兩個(gè)三角形面積相等，并不確定重合（相等）。在這樣條件變化下，AE與MC不再存在垂直與相等的關(guān)系了，它已經(jīng)變更了原來命題的結(jié)論而展現(xiàn)了一種新結(jié)論。

從上面三種

處境看，兩個(gè)正方

形的方向都變，結(jié)

論不變；只變更一

個(gè)方向，那么結(jié)論改

變。在此題的分

析和研究中，察覺了一個(gè)證題的斟酌方法：有些圖形命題中當(dāng)其兩個(gè)圖形的方向連續(xù)變換，其結(jié)論展現(xiàn)如故不變的現(xiàn)象；若一個(gè)圖形方向變換而另一個(gè)不變，那么其結(jié)論變更。這樣他就供給我們一種斟酌方法，在證題時(shí)懂得如何去推導(dǎo)、論證其同一類命題。

例2有一個(gè)ACBC′，對(duì)角線交于O點(diǎn)，若把ACBC′的一條對(duì)角線看做一個(gè)軸，△ABC與△ABC′分居在AB的異側(cè)。那么一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)C、C′的連線必為AB所平分，即OC=OC′。若將△ABC′以AB為軸反射至與△ABC同側(cè)，得到△ABC″(如圖4所示)，這時(shí)，連接CC″，那么CC″不再被AB所平分，而是與AB平行，即CC″∥AB。

事實(shí)上，由于ACBC′

是平行四邊形，∴△ABC

與△ABC′等積，

但△ABC′與△ABC″

也是等積的三角形；

∴△ABC與△ABC″確定是等積

的三角形，且它們具有公共底邊AB?！嗨鼈兊母邞?yīng)相等?！噙B結(jié)CC″必與AB平行，即CC″∥AB。

從例2可以看出，CC′被AB所平分，而CC″卻與AB平行。產(chǎn)生差異的理由是由“反射”變換而引起，由于一個(gè)三角形的方向變了，結(jié)論也隨之變更。

若將例2中的條件“ACBC′”更改為“S△ABC=S△ABC′保持不變”，再來看看結(jié)論會(huì)不會(huì)引起變化。

如圖5，S△ABC=S△ABC′且△ABC與△ABC′分別在AB的異側(cè)。連結(jié)CC′，同樣作CH⊥AB交AB于H，作C′H′⊥AB交AB于點(diǎn)H′，

∵S△ABC=S△ABC′，∴CH=C′H′。又∠CHO=∠C′H′O=90°，∠HOC=∠H′OC′，∴△COH≌△C′OH′。

即兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)CC′的連線仍被AB所平分。同樣，若△ABC′位于△ABC同側(cè)的處境，如△ABC″，連結(jié)CC″，那么可以得到CC″∥AB。

這里變更了例2的特殊條件“ACBC′”

而保持

“S△ABC=

S△ABC′”和其余條件，其結(jié)論不變，于是我們得到了比例2更為一般的性質(zhì)。即：兩個(gè)等積三角形△ABC與△ABC′，同以AB為底而又位于AB異側(cè)，連結(jié)兩個(gè)頂點(diǎn)C、C′，那么CC′被AB平分。

很明顯，這個(gè)命題的逆命題也是成立的，即：連結(jié)同底而與底的異側(cè)之兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)的直線，交于底邊而被邊平分，那么此兩個(gè)三角形必等積。

事實(shí)上，只要證明圖中的CH=

C′H′即可；∵CO=C′O，∠CHO

=∠C′H′O=90°，∠COH=

∠C′OH′，∴△COH≌△C′OH′，

∴CH=C′H′。又∵AB=AB，

∴S△ABC=S△ABC〃。

同樣，若將△ABC′以AB為軸反射至與△ABC于同側(cè)，得到△ABC″連結(jié)CC″，若CC″∥AB，那么S△ABC=S△ABC。

根據(jù)例2，我們不難推得下面的結(jié)論：兩個(gè)等積的△ABC、△ABC′，同以AB為底而位于AB的同側(cè)，凡作與AB平行之直線，割于兩個(gè)三角形內(nèi)之線段必相等。

設(shè)S△ABC=S△ABC′，直線L∥AB分別交AC、BC、AC′、BC′于E、F、G、H，如圖6，求證：EF=GH

很明顯，ABC"C是一個(gè)梯形，若它的對(duì)角線交于O點(diǎn)，且直線L是通過O點(diǎn)的平行底邊AB的直線，那么夾于兩腰間的線段相等。

當(dāng)一個(gè)命題的題設(shè)條件作了一些變化以后，對(duì)它的原有結(jié)