2022屆湖北省武漢市零校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則有（

）個真子集.A．3 B．16 C．15 D．4【答案】A【分析】計算，得到真子集個數(shù).【詳解】，，則，真子集個數(shù)為.故選：A2．在單詞“warbarrier”中不放回地任取2個字母，則在第一次取到“a”的條件下，第二次取到“r”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在第一次取到“a”的條件下，還剩余個字母，其中“r”有個，計算得到概率.【詳解】在第一次取到“a”的條件下，還剩余個字母，其中“r”有個，故概率為.故選：B3．若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.【詳解】若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，若有3個單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域為，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個單調(diào)區(qū)間，例如的定義域為，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.故選：B.4．復(fù)數(shù)滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合相關(guān)概念可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，由題意可得：，解得，則.故選：D.5．，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指、對數(shù)運(yùn)算求得a，b，c的范圍，即可求解.【詳解】對：∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，∴，故；對b：∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，又∵，則，∴，故；對：∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，∴，故；綜上所述：.故選：A.6．有一個三位數(shù)的密碼鎖，每一位是數(shù)字0至9中的一個，且三位數(shù)字互不相同，任兩位數(shù)字之和不超過9.將三位數(shù)字從小到大依次記作，，，若以下4個條件中有且僅有一個錯誤，則正確的選項不可能是（

）A． B． C． D．，，任兩項之和不小于5【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合不等式逐項分析判斷.【詳解】由題意可得，且，則，對A：若，則，當(dāng)時，則，此時成立，，，任兩項之和不小于5成立，故不成立，則，即存在，，符合題意；當(dāng)時，則，此時不成立，不成立，即不存在，，符合題意；綜上所述：當(dāng)時，存在，，符合題意，A正確；對B：若，則，如下表：①012，3，4，5，6，7，8②023，4，5，6，7③034，5，6④123，4，5，6，7⑤134，5，6⑥234，5，6對①②③④⑤：不成立，，，任兩項之和不小于5不成立，即不存在，，符合題意；對⑥：成立，，，任兩項之和不小于5成立，故不成立，則，即存在，，符合題意；綜上所述：當(dāng)時，存在，，符合題意，B正確；對C：若，則，即成立，如下表：①01，2，36②12，36③236④01，27⑤127⑥018對①②④⑤⑥：不成立，，，任兩項之和不小于5不成立，即不存在，，符合題意；對③：成立，，，任兩項之和不小于5成立，即不存在，，符合題意；綜上所述：當(dāng)時，不存在，，符合題意，C錯誤；對D：若，，任兩項之和不小于5，則，如下表：①145②234，5，6③345對①③：不成立，不成立，即不存在，，符合題意；對②：成立，成立，則不成立，∴，即存在，，符合題意；綜上所述：當(dāng)，，任兩項之和不小于5時，存在，，符合題意，D正確；故選：C.7．如圖，菱形的邊上有一點，邊上有一點（，不與頂點重合）且，若是邊長為的等邊三角形，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，于，則，計算得到，，確定，，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】如圖所示：過作于，于，則，是等邊三角形，，則，故，則，，設(shè)，，，根據(jù)余弦定理：，，設(shè)，則，，，故，即，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，即，解得.故選：C8．若函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點，則的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時，設(shè)，則，，排除，其他選項利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理，畫圖，相切確定正確，得到答案.【詳解】當(dāng)時，與關(guān)于對稱，圖象有且僅有一個交點，即與相切，設(shè)切點為，則，，且，故，，，故，A正確；當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，，故恒成立，單調(diào)遞增，，，故函數(shù)有唯一零點，B正確；當(dāng)時，設(shè)，則，，故函數(shù)至少有2個零點，C錯誤.當(dāng)時，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知有一個交點，D正確.故選：C二、多選題9．下列等式錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】依次判斷每個選項，，A錯誤，推導(dǎo)，C錯誤，，D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，正確；對選項C：，即，錯誤；對選項D：，錯誤.故選：ACD10．下列命題為假命題的是（

）A．一個命題不是真命題，就是假命題B．空間中存在相異且兩兩相交的平面，，，“若，則與，形成的銳二面角互余”為真命題C．是的充分不必要條件D．“若‘’為假命題，則‘，使方程有實數(shù)解’為真命題”為假命題【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)命題的定義分析判斷；對B：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合三垂線法求二面角，運(yùn)算分析；對C：根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對D：根據(jù)子集關(guān)系結(jié)合運(yùn)算分析.【詳解】對A：根據(jù)命題的定義可知：一個命題不是真命題，就是假命題，A正確；對B：如圖，均為矩形，設(shè)平面為平面，平面為平面，平面為平面，不妨設(shè)，則，在平面內(nèi)作，垂足為，在平面內(nèi)作，垂足為，則，∵，平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，，，∴平面，平面，則，故平面與形成的銳二面角為，則，同理可得：平面與形成的銳二面角為，則，故，∵，則，∴，故不互余，B錯誤；對C：若當(dāng)，則，∴，則；當(dāng)，則，∴，則；當(dāng)，則，∴；綜上所述：是的充分條件.若，則，當(dāng)時，則可得或，故；當(dāng)時，則有：①當(dāng)，則，即，可得：，∵，則，∴；②當(dāng)，則，即，可得：，不合題意，舍去；當(dāng)，則，即，可得：，符合題意，此時；④當(dāng)，則，即，可得：，∵，則，∴；綜上所述：是的必要條件.故是的充要條件，C錯誤；對D：若方程有實數(shù)解，等價于，解得或，若“”為假命題，則，使得或，故“若‘’為假命題，則‘，使方程有實數(shù)解’為真命題”為真命題，D錯誤；故選：BCD.11．已知函數(shù)，，且有最小正零點，若在上單調(diào)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】確定，，故或，當(dāng)時，不滿足單調(diào)性，排除；當(dāng)時，計算，，代入計算得到答案.【詳解】，故，，故，故，，故或，當(dāng)時，，，故，，，有最小正零點，，，，故，，故，，當(dāng)，，函數(shù)不單調(diào)，排除；當(dāng)時，，，故，，或，或，，故，，故，，驗證滿足條件，此時，故選：BC12．如圖，三棱錐中，，，，，則下列說法正確的是（

）A．時，；B．存在一個定點，使恒成立；C．無法使成立；D．在的面積為（為常數(shù)）時，三棱錐的體積最大為【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件可求出.假設(shè)，可得，在中，根據(jù)三邊關(guān)系可知假設(shè)不成立，即可判斷A項錯誤；假設(shè)，當(dāng)時，，滿足題中所有條件，則假設(shè)成立，即可得到C項錯誤；由三棱錐的高，可知當(dāng)平面時，體積有最大值，即可得出D項.【詳解】對于A，因為，所以有.假設(shè)，根據(jù)知，，所以，此時在中，有，顯然不正確，故假設(shè)不成立，即，故A項錯誤；對于B，因為，在上取點，使得，則不論底面如何變化，始終滿足，故B項正確；對于C，假設(shè)，則.設(shè)，則.在中，有.此時令，則，此時滿足題意，故假設(shè)成立，故C項錯誤；對于D，設(shè)三棱錐的高為，則有，當(dāng)平面時，三棱錐的體積最大，此時體積，故D項正確.故選：BD.三、填空題13．平面內(nèi)有兩個向量，，將繞起點順時針旋轉(zhuǎn)得到向量，且，則與的夾角為______.【答案】或【分析】設(shè)，，計算得到，得到夾角.【詳解】設(shè)，，如圖所示：，即，是等邊三角形，是中點，，故，則與的夾角為或.故答案為：或.14．寫出一個滿足下列條件的函數(shù)的解析式：______.①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)題意以及函數(shù)的奇偶性的定義逐項運(yùn)算分析.【詳解】若，則，即為奇函數(shù)；，則，即為偶函數(shù)；∵的定義域為，當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則，故；綜上所述：.故答案為：.15．雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓，過圓上一點作圓的切線交雙曲線的漸近線于，兩點（在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線離心率為______.【答案】【分析】作圖，連接，過作，得到，進(jìn)而得到，得到，，在中，利用勾股定理，得到，進(jìn)而得到，整理，得到，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，為圓的切點，連接，，，故，，又，過作漸近線的垂線，交漸近線于點，則，又由漸近線的性質(zhì)，可得，根據(jù)勾股定理，可得，又因為，得到，得到，，，且，，得到，整理得，，，，整理得，，，解得故答案為：.四、雙空題16．《掃雷》是一款益智類的小游戲，游戲要求玩家在方格中點擊若干次，排除所有無雷的格子即算成功.方格中的數(shù)字代表其周圍8格的地雷數(shù).現(xiàn)有如圖所示的方格陣，有4個方格已經(jīng)被點開，則圖中地雷數(shù)的可能取值有______種；若已知圖中共有7個地雷，則它們的排列方式有______種.【答案】

【分析】記為第行，第列格子，，，按照中是地雷和中不是地雷分兩種情況討論，再按照公共地雷的個數(shù)進(jìn)行討論可求出第一個空的答案；第二個空按照公共地雷個數(shù)為和分別計數(shù)，再相加可得解.【詳解】記為第行，第列格子，，，4332當(dāng)中是地雷時，若其余無公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有一個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有二個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有三個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有四個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；當(dāng)中不是地雷時，若其余有且只有一個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有二個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有三個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有四個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有五個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；若其余有且只有六個公共地雷時，圖中地雷數(shù)為；綜上所述：圖中地雷數(shù)可能取共個值.若已知圖中共有7個地雷，由以上分析可知，共分兩類：第一類：當(dāng)中是地雷時，其余有且只有二個公共地雷，共有種；第二類：當(dāng)中不是地雷時，其余有且只有五個公共地雷，共有，所以若已知圖中共有7個地雷，則它們的排列方式有種.故答案為：；.五、解答題17．中，，，的對邊分別為，，，，且①；②；③.已知①，②，③中有一個多余條件，選出這個條件，說明理由，并利用剩余條件求的大小.【答案】③是多余條件，理由見解析，【分析】若③不是多余條件，可以直接求出，不符合題意，根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理計算得到答案.【詳解】若③不是多余條件，則，故，，，，故，，，，故，則①②條件多余，不符合題意，故③是多余條件，，故，，，，，故，，故，根據(jù)正弦定理：，即，，，故，，故.18．如圖，一個幾何體由一個長方體與一個半圓柱組成，且，分別為圓柱上下底面的直徑，，，設(shè)，試求：（以下結(jié)果用表示）(1)該幾何體的表面積與體積；(2)從點沿幾何體表面到點的最短距離；【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接計算體積和表面積得到答案.（2）當(dāng)路徑經(jīng)過正方體表面時，；當(dāng)路徑經(jīng)過半圓柱表面時，，根據(jù)大小關(guān)系得到答案.【詳解】（1）幾何體的體積為：；幾何體的表面積為：，（2）當(dāng)路徑經(jīng)過正方體表面時，；當(dāng)路徑經(jīng)過半圓柱表面時，；取，即，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，即19．已知正項數(shù)列，滿足，，為等比數(shù)列，的前項和為，若；(1)求的通項公式；(2)，的共同項（即既屬于也屬于的項）從小到大組成數(shù)列，若，使，求；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，得到，再利用累加法，求出.（2）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而可變?yōu)?，計算可得答?【詳解】（1）時，，得，時，，故，，整理得，，故，（）利用累加法，得到，，，；檢驗，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足，（2），，為等比數(shù)列，由（1）得，，，，且，則，，，的共同項（即既屬于也屬于的項）從小到大組成數(shù)列，：，，若，使，列式可得，，解得.20．隨著高考臨近，學(xué)生們的學(xué)習(xí)壓力日漸加大，合理安排學(xué)科時間及應(yīng)對“內(nèi)卷”成為學(xué)生們的兩大難題.閱讀材料，回答下列問題.材料一

在某學(xué)校的一個由50人組成的理科班中，為備戰(zhàn)高考，數(shù)學(xué)張老師為全班同學(xué)訂購了一組套卷，并要求學(xué)生一周完成2套，但實際調(diào)查發(fā)現(xiàn)全班同學(xué)每周完成的試卷數(shù)的均值為.材料二

據(jù)同一學(xué)校的高三生的觀點，可以將學(xué)生從兩方面分為幾類.一般而言，活躍在班級中的“學(xué)霸”具有以下特點：①能夠合理安排各科學(xué)習(xí)時間，成績優(yōu)異；②能在100分鐘內(nèi)完成一張標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)試卷，70分鐘內(nèi)完成一張標(biāo)準(zhǔn)的物理試卷；而班級中的“題霸”在材料一的條件下會在一周完成3套及以上的數(shù)學(xué)試卷（僅討論該套卷）.現(xiàn)對上述班級的50人按此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，得到如下的列聯(lián)表.學(xué)霸題霸是否合計是6否合計12材料三

為平衡學(xué)科時間，物理陳老師提出“把做數(shù)學(xué)的十分之一時間拿來做物理”的理論.對數(shù)學(xué)與物理而言，花費(fèi)于套卷的時間占課下學(xué)習(xí)該學(xué)科總時間的50%.(1)假設(shè)除“題霸”外的學(xué)生一周均完成2套試卷，結(jié)合材料一估計該班級“題霸”數(shù)的最大值；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握判斷“是題霸”與“是學(xué)霸”有關(guān)；(3)結(jié)合材料二、三，計算若物理陳老師實施且同學(xué)們嚴(yán)格遵守該理論的前提下，一位學(xué)生在一周內(nèi)能夠多完成的物理試卷張數(shù)的期望（保留兩位有效數(shù)字）.附表：①根據(jù)當(dāng)?shù)氐母呖颊?，完成一張?biāo)準(zhǔn)物理試卷的時間為75分鐘；②，其中.0.150.100.050.012.0722.7063.8416.635【答案】(1)21；(2)答案見解析；(3)0.29【分析】（1）要求該班級“題霸”數(shù)的最大值，只需“題霸”完成的試卷數(shù)為3.建立平均數(shù)的方程，即可求解；（2）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，套公式計算，對照參數(shù)下結(jié)論；（3）先建立分布列，再求出期望即可.【詳解】（1）因為，所以“題霸”完成的試卷數(shù).要求該班級“題霸”數(shù)的最大值，只需“題霸”完成的試卷數(shù)都為3.設(shè)“題霸”人數(shù)為，由題意可得：，解得：.即該班級“題霸”數(shù)的最大值為21人.（2）由（1）該班級由50人時，“題霸”人數(shù)為，由題意完成列聯(lián)表.學(xué)霸題霸是否合計是61521否62329合計123850所以.所以沒有90%的把握判斷“是題霸”與“是學(xué)霸”有關(guān).（3）由題意可得分布列為：嚴(yán)格遵守該理論的前提下，一周完成物理試卷的數(shù)量頻率“是題霸”且“是學(xué)霸”“非題霸”但“是學(xué)霸”“是題霸”但“非學(xué)霸”“非題霸”且“非學(xué)霸”所以能完成物理試卷的數(shù)學(xué)期望為.21．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓離心率為，且經(jīng)過與兩點；(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上有關(guān)于軸對稱的兩點，過橢圓外，軸正半軸上一點作橢圓的切線，切點為；連交橢圓于另一點，連交軸于點，證明：，使成立；【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）把兩個點和代入解方程即可.（2）設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，再求出直線與軸的交點用表示，再求出點的橫坐標(biāo)，驗證【詳解】（1）經(jīng)過點，即又因為經(jīng)過點，即且所以，所以（2）設(shè)，直線直線與橢圓聯(lián)立得：且，即根據(jù)韋達(dá)定理得：，的直線方程為：，又因為與軸的交點為點，即時，；直線與軸的交點，設(shè)直線