2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試北京卷文科數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.若集合，，則（）A.B.C.D.2.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.3.已知向量，，則（）A.B.C.D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.B.C.D.5.設(shè)、是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不必要條件C.充分必要條件D.既不充分不必要條件6.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A.B.C.D.7.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）A.B.C.D.8.加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.咋特定條件下，可食用率與加工時(shí)間（單位：分鐘）學(xué)科網(wǎng)滿足的函數(shù)關(guān)系（、、是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（）A.分鐘B.分鐘C.分鐘D.分鐘第2部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.若，則.10.設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，一個(gè)頂點(diǎn)式，則的方程為.11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為.12.在中，，，，則；.13.若、滿足，則的最小值為.14.顧客請(qǐng)一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)，每件顏料先由徒弟完成粗加工，學(xué)科網(wǎng)再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時(shí)間（單位：工作日）如下：工序時(shí)間原料粗加工精加工原料原料則最短交貨期為工作日.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15.（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（本小題滿分13分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.17.（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.18.（本小題滿分13分）從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）19.（本小題滿分14分）已知橢圓C：.求橢圓C的離心率；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.20.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問(wèn)過(guò)點(diǎn)分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論）數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案選擇題（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）B填空題（9）2（10）（11）（12）2,（13）1（14）42三、解答題（15）解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得：，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得.所以，從而.（II）由（1）知，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（16）解：（I）的最小正周期為，，.（II）因?yàn)椋?，于是?dāng)，即時(shí)，取得最大值0；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.（17）解：（I）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，所以平面平面.（II）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（III）因?yàn)?AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.（18）解：（I）根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6=2+2=10名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是.從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為.（II）課外閱讀時(shí)間落在組的有17人，頻率為，所以，課外閱讀時(shí)間落在組的有25人，頻率為，所以.（III）估計(jì)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.（19）解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，從而，因此，故橢圓C的離心率.（II）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，其中，因?yàn)?，所以，即，解得，又，所?===，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)間等號(hào)成立，所以，故線段AB長(zhǎng)度的最小值為.（20）解：（I）由得，令，得或，因?yàn)?，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此，整理得：，設(shè)，則“過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”，=，與的情況如下：01+00+t+3所以，是的極大值，是的極小值，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零