第19題函數(shù)與方程問題的分析I．題源探究·黃金母題【例1】，求證：〔1〕；〔2〕．【證明】〔1〕．〔2〕．精彩解讀【試題來源】人教版A版必修1第82頁復(fù)習(xí)參考題A組第7題．【母題評析】此題考查了指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)．【思路方法】逆用指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)解題．II．考場精彩·真題回放【例2】【2023高考江蘇卷】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，那么方程的解的個數(shù)是．【答案】8【解析】由于，那么需考慮的情況在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì)．假設(shè)，那么由，可設(shè)，且互質(zhì)，因此，那么，此時左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內(nèi)對應(yīng)的局部相等，只需考慮與每個周期的局部的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期的局部，且處，那么在附近僅有一個交點(diǎn)，一次方程解的個數(shù)為8．【例3】【2023高考遼寧卷】定義在上的函數(shù)滿足：①；②對所有，且，有．假設(shè)對所有，，那么的最小值為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨令，那么．解法一：，即得，另一方面，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，故．解法二：當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．【命題意圖】此題屬于能力題，中等難度．在考查抽象函數(shù)問題、絕對值不等式、函數(shù)的最值等根底知識的同時，考查了考生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分類討論思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想．【考試方向】這類試題在考查題型上，通常根本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大．【難點(diǎn)中心】解答此題的關(guān)鍵，是利用分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，逐步轉(zhuǎn)化成不含絕對值的式子，得出結(jié)論．對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．III．理論根底·解題原理1．函數(shù)方程：含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，例如：都可稱為函數(shù)方程．在高中階段，涉及到函數(shù)方程有以下幾個類型：〔1〕表示函數(shù)的某種性質(zhì)：例如表達(dá)是偶函數(shù)；表達(dá)是周期為1的周期函數(shù)〔可詳見“函數(shù)對稱性與周期性〞一節(jié)〕．〔2〕可利用解方程組的思想解出涉及的函數(shù)的解析式：例如：，可用代替得，即．〔3〕函數(shù)方程也是關(guān)于變量的恒等式，所以通過對變量賦特殊值得到某些數(shù)的函數(shù)值．2．雙變量函數(shù)方程的賦值方法：〔1〕對均賦特殊值，以得到某些點(diǎn)的函數(shù)值，其中有些函數(shù)值會對性質(zhì)的推導(dǎo)起到關(guān)鍵作用，比方，在賦特殊值的過程中要注意所賦的值要符合函數(shù)定義域．〔2〕其中某一個變量不變，另一個賦特殊值，可得到單變量的恒等式，通常用于推斷函數(shù)的性質(zhì)．IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查對根本初等函數(shù)及超越函數(shù)性質(zhì)的理解，一般難度較大．【技能方法】常見函數(shù)所符合的函數(shù)方程：在填空選擇題時可作為特殊的例子輔助處理，但是在解答題中不能用這些特殊的函數(shù)代表函數(shù)方程．抽象函數(shù)具體模型比例函數(shù)：正指數(shù)函數(shù)：當(dāng)時，當(dāng)時，冪函數(shù)：三角函數(shù)：【易錯指導(dǎo)】由于抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)解析式，構(gòu)造時容易顧此失彼，忽略性質(zhì)的背后可能還蘊(yùn)涵著其他性質(zhì)，結(jié)論背后可能還推論出其他結(jié)論．所以，在解題時一定要反復(fù)推敲，不斷假設(shè)驗(yàn)證，或者索性先構(gòu)造一個具體函數(shù)，然后隱去解析式來表達(dá)這個函數(shù)的性質(zhì)，那么出現(xiàn)錯題的可能性就小了許多．V．舉一反三·觸類旁通考向1求抽象函數(shù)的解析式〔值〕【例1】【2023東北三省三校第二次聯(lián)合模擬考試】偶函數(shù)的定義域?yàn)?，假設(shè)為奇函數(shù)，且，那么的值為〔〕A．-3B．-2C．2D．【答案】D【例2】函數(shù)滿足：，對任意實(shí)數(shù)都有，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B．【解析】由所求出發(fā)可考慮判斷是否具備周期性，令，可得，即，∴，兩式相加可得，那么可判定的周期為6，由可得：，即，由可得，那么，從而，∴，且．【例3】設(shè)角的終邊在第一象限，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時，有，那么使等式成立的的集合為．【答案】．【例4】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，，且對，都有，那么的解析式為________．【答案】．【解析】觀察到右邊的結(jié)構(gòu)并非的輪換對稱式，考慮其中一個變量不變，另一個變量賦值為1，那么時，①，時，②，那么求是關(guān)鍵，結(jié)合，可令，那么，代入到①②可得：，即，消去解得：．【跟蹤練習(xí)】1．函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像與x軸有四個交點(diǎn)，那么方程f(x)=0的所有實(shí)根之和是()A．4B．2C．1D．【答案】D【解析】偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，所以與x軸四個交點(diǎn)橫坐標(biāo)，兩兩關(guān)于y軸對稱，即兩兩之和為零，所有實(shí)根之和為零，選D．2．【2023重慶第一次調(diào)研抽測】奇函數(shù)的定義域?yàn)椋僭O(shè)為偶函數(shù)，且，那么〔〕A．-2B．-1C．0D．1【答案】B3．是定義在上的函數(shù)，，且對任意的，都有，那么_________．【答案】．【解析】函數(shù)方程為“和→積〞的特點(diǎn)，抓住，可發(fā)現(xiàn)令，那么，∴可得：自變量間隔，，其函數(shù)值的和為0，∴將求和的式子兩兩一組，即：．4．【2023西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期模擬熱身】定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，〔〕，當(dāng)時，的最小值為3，那么a的值等于〔〕A．B．eC．2D．1【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即．當(dāng)時，．，有，函數(shù)在函數(shù)單減，在(單調(diào)遞增．，解得，應(yīng)選A．點(diǎn)睛：此題的難點(diǎn)是對于函數(shù)是偶函數(shù)的正確轉(zhuǎn)化，應(yīng)該得到．如果說是是偶函數(shù)，那么應(yīng)得到．考向2抽象函數(shù)的性質(zhì)〔奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等〕【例5】定義在的函數(shù)滿足關(guān)系，當(dāng)時，，假設(shè)，那么的大小關(guān)系為〔〕A．B．C．D．【答案】D．慮，，那么，因?yàn)?，∴，從而，即，得到在單調(diào)遞增，∴．【評注】此題在證明單調(diào)性時，因?yàn)榭紤]了中自變量的取值，所以只需考慮的單調(diào)性，縮小的范圍使得判斷的范圍較容易．但也可將在中任取，但是在判斷的范圍會比擬復(fù)雜，可利用不等式的等價變形來證：假設(shè)，因?yàn)?，且，由可得成立，從而．【?】【2023山東聊城模擬】定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，假設(shè)函數(shù)的圖象如下圖，給出以下命題：①；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，函數(shù)取得極小值；④方程與均有三個實(shí)數(shù)根．其中正確命題的個數(shù)是〔〕A．1B．2C．3D．【答案】C所以方程均有三個實(shí)數(shù)根．不正確；應(yīng)選：C．【例7】【2023河北衡水模擬】定義在上的函數(shù)對任意都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于〔1，0〕成中心對稱，假設(shè)滿足不等式，那么當(dāng)時，的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】D．【例8】【2023陜西西安長安區(qū)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測】定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．〔1〕求的值；〔2〕證明：為單調(diào)增函數(shù)；〔3〕假設(shè)，求在上的最值．【答案】〔1〕f〔1〕=0．〔2〕見解析〔3〕最小值為﹣2，最大值為3．【解析】試題分析：〔1〕利用賦值法進(jìn)行求的值；〔2〕根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷在上的單調(diào)性，并證明．〔3〕根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，并利用賦值法可得函數(shù)的最值．試題解析：〔1〕∵函數(shù)f〔x〕滿足f〔x1?x2〕=f〔x1〕+f〔x2〕，令x1=x2=1，那么f〔1〕=f〔1〕+f〔1〕，解得f〔1〕=0．〔2〕證明：設(shè)x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1＞x2，那么＞1，∴f〔〕＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕=f〔x2?〕﹣f〔x2〕=f〔x2〕+f〔〕﹣f〔x2〕=f〔〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，∴f〔x〕在〔0，+∞〕上的是增函數(shù)．〔3〕∵f〔x〕在〔0，+∞〕上的是增函數(shù)．假設(shè)，那么f〔〕+f〔〕=f〔〕=﹣2，即f〔?5〕=f〔1〕=f〔〕+f〔5〕=0，即f〔5〕=1，那么f〔5〕+f〔5〕=f〔25〕=2，f〔5〕+f〔25〕=f〔125〕=3，即f〔x〕在上的最小值為﹣2，最大值為3．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)的求值，其中利用賦值法是解決抽象函數(shù)的根本方法，而利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．【跟蹤練習(xí)】1．定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，有，且時，有，設(shè)的最大值和最小值分別為，那么的值為〔〕A．B．C．D．【答案】D．【分析】由最值聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，從而先考慮證明單調(diào)，令〔其中〕，那么可證明為增函數(shù)，從而，再利用函數(shù)方程求出的值即可2．函數(shù)是定義在上不恒為的函數(shù)，且對于任意的實(shí)數(shù)滿足，，，考察以下結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③數(shù)列為等差數(shù)列；④數(shù)列為等比數(shù)列．其中正確的個數(shù)為()A．B．C．D．【答案】D．【解析】考慮按照選項(xiàng)對函數(shù)方程中的進(jìn)行賦值．①計算，令，可得；令，那么，∴，①正確；②使等式中出現(xiàn)，令，那么，需要計算出，結(jié)合方程可令，那么有，即，∴，為奇函數(shù)，②正確；③從等差數(shù)列定義出發(fā)，考慮遞推公式，因?yàn)椋钥傻茫?，從而判定為等差?shù)列，③正確；④假設(shè)按照等比數(shù)列定義，考慮，那么不易于進(jìn)行化簡．可由③出發(fā)得到的表達(dá)式：，∴，即，∴，從而可判定是一個等比數(shù)列，④正確．3．【2023上海閔行二?！吭O(shè)函數(shù)的定義域是，對于以下四個命題：(1)假設(shè)是奇函數(shù)，那么也是奇函數(shù)；(2)假設(shè)是周期函數(shù)，那么也是周期函數(shù)；(3)假設(shè)是單調(diào)遞減函數(shù)，那么也是單調(diào)遞減函數(shù)；(4)假設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)有零點(diǎn)，那么函數(shù)也有零點(diǎn)．其中正確的命題共有A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C4．函數(shù)對任意的均有，且當(dāng)時，〔1〕求證：為奇函數(shù)；〔2〕求證：為上的增函數(shù)．【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕詳見解析．【分析】試題分析：〔1〕要證明奇函數(shù)，那么需要出現(xiàn)在同一等式中，所以考慮令，那么有，再通過代入特殊值計算出即可；〔2〕思路：要證明單調(diào)遞增，那么需任取，且，去證明與的大小，結(jié)合等式，那么需要讓與分居等號的兩側(cè)，才能進(jìn)行作差．所以考慮，進(jìn)而．只需判斷的符號即可．試題解析：〔1〕令，那么．令，那么解得，，為奇函數(shù)．〔2〕任取，且，令，代入方程可得：，，，，依題意可得：，即，為增函數(shù)．【評注】第〔2〕問將拆分為是此題證明的亮點(diǎn)，到達(dá)了讓與分居等號的兩側(cè)的目的．5．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有．〔1〕設(shè)，求；〔2〕證明是周期函數(shù)．【答案】〔1〕；〔2〕答案見解析．〔2〕證明：依題設(shè)關(guān)于直線對稱，．又是偶函數(shù)，將上式中以代換，得．這說明是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期．考向3解不等式【例9】【2023廣西教育質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試】定義在上的奇函數(shù)在上遞減，假設(shè)對恒成立，那么的取值范圍為〔〕A．B．C．D．【答案】C【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵步驟有：1．利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上是減函數(shù)；2．將原命題等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立；3．利用導(dǎo)數(shù)工具求得，從而求得正解．【例10】【2023四川南充高級中學(xué)4月檢測】函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，假設(shè)方程無解，且，當(dāng)在上與在上的單調(diào)性相同時，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榉匠虩o解，所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，因此由，得=m(m為常數(shù))，即為單調(diào)增函數(shù)，因此在在上恒成立．，因此，選A．點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題〔有解，恒成立，無解等〕，而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞縿e離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題．【例11】【2023陜西西安鐵一中學(xué)高三上學(xué)期第五次模擬考試】偶函數(shù)在上為增函數(shù)，在不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由偶函數(shù)可知，可知不等式恒成立，即恒成立，那么可得恒成立．即且恒成立．由根的判別式可得．故此題選C．點(diǎn)睛：此題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．對于抽象函數(shù)不等式，一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性將它轉(zhuǎn)化為的形式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成具體的不等式，但不能改變變量的定義域．對于奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，由圖知其在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間單調(diào)性相同；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間單調(diào)性相反．【例12】【2023江西南昌三?！慷x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時，．假設(shè)存在，使得不等式成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的解析式、抽象函數(shù)、函數(shù)與不等式，涉及函數(shù)與不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型．先利用條件求，再利用數(shù)形結(jié)合思想觀察圖像求解不等式．【跟蹤練習(xí)】1．【2023重慶一中5月考】函數(shù)，那么不等式的解集是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，，所以函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，那么不等式等價于，應(yīng)選B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用函數(shù)性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，解抽象不等式，此題的出題意圖比擬明顯，重點(diǎn)是分析函數(shù)的性質(zhì)，如果不用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，也可以利用奇函數(shù)的性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性一致，很明顯，函數(shù)在為增函數(shù)，那在定義域內(nèi)也是增函數(shù)，這樣判斷起來會更快，簡便．2．函數(shù)的定