２023年考研數(shù)學(xué)三真題一、選擇題(１~8小題,每小題4分,共32分。下列媒體給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目規(guī)定的。)設(shè)limn→∞an=a,且a≠０(Ａ)an>a2(C)an>a-【答案】Ａ。【解析】【方法1】直接法：由limn→∞an=a,且a≠0an【方法2】排除法:若取an=2+2n,取an=2-2n,綜上所述,本題對(duì)的答案是(Ａ)【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—極限的概念與性質(zhì)下列曲線中有漸近線的是(Ａ)y=x+sinx(B(C)y=x+sin1x【答案】Ｃ?！窘馕觥俊痉椒?】由于limlim所以曲線y=x+sin1x解法２考慮曲線y=x+sin1xlim則直線y=x是曲線y=x+sin1綜上所述，本題對(duì)的答案是(Ｃ)【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線設(shè)px=a+bx+cx2+dx3.當(dāng)(A）a=0(B)b=1(C)c=0(D)d=【答案】Ｄ?！窘馕觥俊痉椒?】當(dāng)x→0時(shí)，tanx-x~1tan又lim則a=0,b=1,c=0,d=【方法2】顯然，a=0lim由上式可知,b=1lim故c=0,d=綜上所述，本題對(duì)的答案是(Ｄ)?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量及其階的比較設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g（Ａ)當(dāng)f'(x)≥0時(shí)（Ｂ)當(dāng)f'(x)≥0(C)當(dāng)f''(x)≥0(Ｄ)當(dāng)f''(x)≥0【答案】D?！窘馕觥俊痉椒?】由于f0=g0,f1=g1,則直線y=f01-x-f(1)x過點(diǎn)(0,f(0))和(1,f(1)),當(dāng)f''(x)≥0時(shí),曲線y【方法2】令FxF'x=f'x當(dāng)f''(x)≥0時(shí)，F(xiàn)''x≥0。從而,當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，F(xiàn)(x)≤0【方法3】令Fx則Fx==x1-x＝x當(dāng)f''(x)≥0時(shí),f'(x)單調(diào)增,f'ξ≤f'(η)綜上所述,本題對(duì)的答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—函數(shù)不等式證明行列式0(A)(ad-bc)2（(C)a2d2-【答案】B?！窘馕觥快`活使用拉普拉斯公式0=cda綜上所述,本題對(duì)的答案是(B）【考點(diǎn)】線性代數(shù)—行列式—數(shù)字型行列式的計(jì)算設(shè)α1,αα1+kα(A)必要非充足條件(B)充足非必要條件(C)充足必要條件(D）既非充足又非必要條件【答案】A?！窘馕觥坑洣?β若α1,α2,α故rβ1，β反之，設(shè)α1,α2線性無關(guān),α3=0，則對(duì)于則對(duì)任意常數(shù)k,l,向量組所以α1+kα3綜上所述,本題對(duì)的答案是（A)?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—向量—向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)隨機(jī)事件A與B互相獨(dú)立，且PB=0.5,P(A)０.１(B)0.２(C)0.3（D)０.4【答案】B?！窘馕觥緼,B獨(dú)立,則A,B獨(dú)立,B,A也獨(dú)立，而A-B=ABPP可得PP綜上所述,本題對(duì)的答案是（B)。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理記錄—隨機(jī)事件和概率—事件關(guān)系，概率性質(zhì)和五大公式設(shè)X1,X2,X（A）F(1,1)(B)F(2,1)(C)t(1)（D）t(2)【答案】C?！窘馕觥縓1-XX3~NX1-X2與X3互相獨(dú)立，故所以X1-X2綜上所述,本題對(duì)的答案是C?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理記錄—數(shù)理記錄的基本概念二、填空題（９~１4小題,每小題4分,共2４分。）設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=40-2p(p為商品的價(jià)格）,則該商品的邊際收益為?！敬鸢浮?0【解析】由題設(shè)知收益函數(shù)為R=pQ=(40-QdR【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—一元微分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用設(shè)D是由曲線xy+1=0與直線y+x=0及y=2圍成的有界區(qū)域,則D的面積為【答案】3【解析】【方法1】曲線xy+1=0與直線y+x=0及y=2圍成的有界區(qū)域D如下圖,則S=【方法2】用二重積分計(jì)算面積,即S=yy=2xy+x=0x【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—定積分應(yīng)用設(shè)0axe2x【答案】12【解析】0可知a2-1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—定積分計(jì)算二次積分01dyy【答案】e-12【解析】二次積分的積分區(qū)域?yàn)镈=互換積分順序得0===【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—二重積分—變換積分順序和坐標(biāo)系設(shè)二次型fx1,x2,【答案】[-2,2]【解析】由配方法f=負(fù)慣性指數(shù)為1,故4-a2≥0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—二次型—二次型的概念與標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)總體X的概率密度為f其中θ是未知參數(shù),X1,X2Eci=1nXi【答案】2【解析】Ec解得c【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理記錄—數(shù)理記錄的基本概念三、解答題:15~23小題，共9４分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié)。求極限lim【解析】【方法1】limx→+∞=limx→+∞=lim=limt→0=limt→=【方法２】limx→+∞=lim=lim==【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—求函數(shù)的極限，常見等價(jià)無窮小，常見函數(shù)泰勒公式展開設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D={D【解析】【方法1】令x=rD==-又I=0π2=所以D【方法2】顯然積分區(qū)域D關(guān)于x,y有輪換對(duì)稱性，于是Dxsin(π=1＝12=1=1＝-【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—二重積分—運(yùn)用區(qū)域的對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性計(jì)算積分設(shè)函數(shù)f(μ)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且zcos若f0=0,求f【解析】運(yùn)用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),代入所給偏微分方程,轉(zhuǎn)化為可求解的常微分方程。由于?z所以cos=cosy=因此cosyf從而函數(shù)f(μ)f'μ可得方程通解為f由f0=0，解得故f【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，一階線性非齊次微分方程求解求冪級(jí)數(shù)n=0∞【解析】【方法1】由于幾何級(jí)數(shù)n=0∞xn又n=0====由冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)知n=0∞n+1(n+3)xn【方法2】冪級(jí)數(shù)n=0∞n+1(n+3)xlim所以收斂半徑R=1當(dāng)x=1時(shí)，n=0∞當(dāng)x=-1時(shí),故收斂域?yàn)閤設(shè)Sx=0==故和函數(shù)S【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—無窮級(jí)數(shù)—求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和設(shè)函數(shù)fx,g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且fx0≤aa+【解析】(Ⅰ）由0≤g(x)得0≤a(Ⅱ）令F顯然Fa=0,只要證明FuF=g由(Ⅰ)的結(jié)論0≤axg(t)dta又f(x)單調(diào)增長，則f(u)≥fa+F(b)≥0故aa+【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—與定積分有關(guān)的證明題設(shè)A=1-2023求方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；求滿足AB=E的所有矩陣B?！窘馕觥?Ⅰ）對(duì)矩陣A做初等行變換，得A因n-rA=4-3=1,令故基礎(chǔ)解系為η(Ⅱ)考察3個(gè)非齊次線性方程組Ax由于這三個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是相同的,所以令A(yù)=(A?E)A→→→→由此得三個(gè)方程組的通解:(2,-1,-1,0)(6,-3,-4,0)(-1,1,1,0)故所求矩陣為B=2-k1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—線性方程組—非齊次方程組的求解證明n階矩陣1?11【解析】證明:記A=由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣必與對(duì)角矩陣相似由λE-A=λn-n故A又由λE-B=(λ-n)λn-1=0,當(dāng)λ=0時(shí)，r0E-B=rB=1,那么n-r0E-B=n-1,即齊次方程組0E-Bx=0有B從而A和B相似?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—特性值與特性向量—相似與相似對(duì)角化設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立反復(fù)的觀測，直到第二個(gè)大于３的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止，記Y為觀測次數(shù)求Y的概率分布求EY【解析】（Ⅰ)令A(yù)={對(duì)X進(jìn)行一個(gè)觀測得到的值大于3}。顯然PA記事件A發(fā)生的概率PY的也許取值應(yīng)為k=2,3,?P所以Y的分布為PY=k（Ⅱ）EY=2∞E