玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計熱力學(xué)統(tǒng)計物理第一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日1非簡并氣體滿足當(dāng)系統(tǒng)不滿足經(jīng)典極限條件時，玻色系統(tǒng)的統(tǒng)計行為和費米系統(tǒng)的統(tǒng)計行為是不一樣的，這樣的氣體稱為簡并氣體，需要分別用玻色統(tǒng)計理論和費米統(tǒng)計理論來處理。第二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日玻色統(tǒng)計玻色系統(tǒng)所遵循的統(tǒng)計規(guī)律簡稱為玻色統(tǒng)計。費米統(tǒng)計費米系統(tǒng)所遵循的統(tǒng)計規(guī)律簡稱為費米統(tǒng)計。不滿足經(jīng)典極限條件的玻色和費米氣體系統(tǒng)稱為簡并氣體，分別滿足費米分布和玻色分布守恒條件第三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日氣體簡并性分類強簡并氣體

可以預(yù)期，由于玻耳茲曼系統(tǒng)與玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)具有粒子可否分辨的差異，微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對簡并氣體的宏觀性質(zhì)將產(chǎn)生決定性的影響；玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的差別也將使玻色氣體和費米氣體的各種統(tǒng)計性質(zhì)產(chǎn)生差異。弱簡并氣體非簡并氣體第四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日(1)玻色系統(tǒng)是α、β和y的函數(shù)。8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式巨配分函數(shù)第五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的平均粒子數(shù)由第六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日內(nèi)能廣義力物態(tài)方程第七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日熵和α、β的確定注意到

考查多項式

利用

第八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

利用

表明β是積分因子.第九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

得根據(jù)開系的基本熱力學(xué)方程(3.2.9)比較下式第十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日積分上式得利用玻色分布及其變形玻耳茲曼關(guān)系（習(xí)題8.1）第十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的熵（）可以重新表示為第十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（）將（8.1.9）與（6.7.4P185）比較，可得玻耳茲曼關(guān)系第十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日巨熱力學(xué)勢lnΞ是以α、β、y為自變量的特性函數(shù)（對簡單系統(tǒng)是μ,T,V）。由(3.2.10)第十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日通過和玻色系統(tǒng)相似的運算，得到的熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式與玻色系統(tǒng)熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式完全相同。(2)費米系統(tǒng)引入費米系統(tǒng)的配分函數(shù)第十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日平均總分子數(shù)

總內(nèi)能

廣義力熵玻耳茲曼關(guān)系巨熱力學(xué)勢第十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

首先通過量子力學(xué)的理論計算，或者分析有關(guān)實驗的光譜數(shù)據(jù)，獲取熱力學(xué)系統(tǒng)的能級表達式和簡并度，由此計算配分函數(shù)，最后用熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式通過配分函數(shù)計算熱力學(xué)量，從而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。從熱力學(xué)的特性函數(shù)理論看，巨配分函數(shù)是以α、β和y為自然變量的特性函數(shù)。（3）統(tǒng)計物理學(xué)處理熱力學(xué)系統(tǒng)的一般方法第十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體弱簡并氣體e-α或nλ3雖小，但不可忽略的玻色和費米氣體。以下推導(dǎo)過程的公式中，上面的符號適用于費米氣體，下面的符號適用于玻色氣體。只考慮分子的平動自由度，分子的能量為第十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

g是由于粒子可能具有的自旋而引進的簡并度?？紤]到平動自由度的能級是準(zhǔn)連續(xù)的，簡并度用D(ε)dε

來近似，求和用積分來近似，于是系統(tǒng)的總分子為由(6.2.17),在V=L3內(nèi)，能量在ε到ε

+Δε的能量范圍，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為第十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日引入變量x=βε，將上兩式改寫為

（8.2.3'）（8.2.4'）系統(tǒng)的內(nèi)能為第二十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日利用級數(shù)

則上兩式一部分被積函數(shù)可作近似將近似代回（8.2.3）（8.2.4）完成積分，得第二十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

（8.2.6）（8.2.7）第二十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

兩式相除，再取近似其中第二十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日將玻耳茲曼分布所得的結(jié)果

作為零級近似代入上式，表示為經(jīng)典極限條件的形式（）第二十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

習(xí)題8.3試根據(jù)弱簡并理想玻色(費米)氣體的內(nèi)能，求定容熱容量、物態(tài)方程和熵。解：由（）第二十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日由非相對論粒子的性質(zhì)（習(xí)題7.1）

得弱簡并氣體的物態(tài)方程由熱力學(xué)方法計算熵第二十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日兩式比較可確定熵常數(shù)

在非簡并條件下該熵應(yīng)轉(zhuǎn)化為（7.6.2)從而得弱簡并費米(玻色)氣體的熵第二十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

公式一級近似是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能、熱容量和理想氣體狀態(tài)方程，二級近似為由微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加修正。費米氣體的附加內(nèi)能為正而玻色氣體的附加內(nèi)能為負?？梢哉J為，量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。

第二十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日上節(jié)討論了弱簡并理想玻色（費米）)氣體的性質(zhì)，初步看到由微觀粒子全同性帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的影響，在弱簡并的情形下nλ3<18.3玻色－愛因斯坦凝聚（BEC）

（2014.12.11）第二十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日由于玻色子的特性，當(dāng)理想玻色氣體滿足且溫度低于臨界溫度Tc時，玻色子將向基態(tài)能級轉(zhuǎn)移，出現(xiàn)獨特的玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。愛因斯坦和玻色于1925年從理論上預(yù)言了這一現(xiàn)象，但直到1995年才實現(xiàn)了堿金屬87Rb，23Na，7Li蒸氣的玻色－愛因斯坦凝聚。這一成果榮獲了2001年諾貝爾物理學(xué)獎。思考題：簡述玻色－愛因斯坦凝聚體的性質(zhì)；玻色－愛因斯坦凝聚與氣-液相變的差異是什么？第三十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（1）玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象及凝聚溫度Tc的確定考慮由N個全同近獨立玻色子組成的系統(tǒng)，假設(shè)粒子的自旋為0，溫度為T，宏觀容器體積為V。據(jù)玻色分布，處在能級εl的粒子數(shù)為

（）由于粒子數(shù)不能取負值，這就要求所有能級εl

均有（）以ε0

表示粒子的最低能級，則等價于要求第三十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日即理想玻色氣體的化學(xué)勢必須低于粒子最低能級的能量。若取最低能級為能量的零點，即

（）化學(xué)勢μ由粒子數(shù)守恒公式確定（）則上式可表示為：第三十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日化學(xué)勢μ確定為溫度T及粒子數(shù)密度n的函數(shù)。注意εl

和ωl

都與T無關(guān)，在n給定時，T越小則要求-μ越小時，μ將趨于－0。這時趨于1。

如果將式(8.3.4)的求和用積分代替，并注意則（）化學(xué)勢隨溫度的降低而升高，當(dāng)溫度降至某一臨界溫度Tc第三十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日臨界溫度Tc由下式給出（）令（）第三十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

利用因此，對于給定的粒子數(shù)密度n，臨界溫度Tc為（）第三十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日對第三十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日溫度低于Tc時有何現(xiàn)象出現(xiàn)？前面的討論指出，溫度愈低時μ值愈高，但在任何溫度下μ必取負值。由此可知，在T<Tc

時，μ仍趨于－0，但這時與n＝N/V為給定的守恒條件矛盾。產(chǎn)生這個矛盾的原因是，用式(8.3.5)積分代替式(8.3.4)的求和時，由于狀態(tài)密度中含有ε1/2，在將求和改寫為積分時,ε=0的項被丟掉，高溫時粒子都處在激發(fā)態(tài)，ε=0的粒子數(shù)是一個小量，丟失后不至于影響n的守恒，但低溫時基態(tài)能級開始出現(xiàn)粒子，丟失基態(tài)粒子將影響n的守恒。第三十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在T<Tc時，應(yīng)關(guān)注基態(tài)上的粒子數(shù)密度n0(T)第三十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第一項是溫度為T時處在能級ε=0的粒子數(shù)密度n0(T)，第二項是處在激發(fā)態(tài)能級ε>0的粒子數(shù)密度。nε>0(T)在第二項中已取極限μ→－0。粒子數(shù)密度為（）補充基態(tài)粒子的貢獻后，粒子數(shù)密度守恒得到了保證第三十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（）（）第二項的計算令利用得（）第四十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日溫度為T時處在最低能級ε=0的粒子數(shù)密度為在絕對零度下粒子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)。對于玻色子，一個量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)目不受限制，因此絕對零度下玻色粒子將全部處在ε=0的最低能級。（）第四十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日上式表明，在T<Tc時就開始有宏觀量級的粒子在能級ε=0聚集。這一現(xiàn)象稱為玻色－愛因斯坦凝聚，簡BEC。Tc為凝聚溫度。凝聚在ε=0的粒子集合體稱為玻色凝聚體。凝聚體的能量、動量、壓強和熵均為零，因為凝聚體的微觀狀態(tài)完全確定（Ω=1），這時系統(tǒng)的能量、動量、壓強和熵均由處于激發(fā)態(tài)的粒子貢獻。（）第四十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第四十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（2）玻色－愛因斯坦凝聚發(fā)生后玻色氣體的性質(zhì)內(nèi)能

完成積分，將臨界溫度代入第四十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日上式指出，在T<Tc時理想玻色氣體的CV與T2/3成正比，到T=Tc時,CV達到極值詳細計算結(jié)果如右圖，高溫時應(yīng)趨于經(jīng)典值3Nk/2。在T=Tc的尖峰處,

CV連續(xù)，但CV對T的偏導(dǎo)數(shù)存在突變。熱容量第四十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（3）4He的λ相變T>2.17k時為正常液態(tài)，稱為4HeⅠT<2.17時發(fā)生超流動性，稱為4HeⅡ4He在1大氣壓下的沸點是4.2K，在2.17K發(fā)生一個相變T=2.17k時發(fā)生相變，稱為λ相變

代入4He的相關(guān)數(shù)據(jù)，算得臨界溫度為3.13K，接近發(fā)生λ相變的溫度2.17K。1938年倫敦提出4He的λ相變可能是一種玻色凝聚。第四十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

（）滿足臨界條件時，原子的熱波長大于原子的平均距離，量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)起決定作用?？赏ㄟ^降低溫度和增加氣體粒子數(shù)密度的方法來實現(xiàn)玻色凝聚。（）（4）理想玻色氣體出現(xiàn)玻色凝聚體的臨界條件當(dāng)T<Tc，出現(xiàn)凝聚體的條件為由臨界條件第四十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（1）玻色－愛因斯坦凝聚是量子效應(yīng)的結(jié)果，它是在動量空間發(fā)生的凝結(jié)，而氣體凝結(jié)成液體是在坐標(biāo)空間發(fā)生的凝結(jié)。

（2）發(fā)生氣-液相變必須存在分子之間的相互作用力，沒有相互作用相變是不可能發(fā)生的。玻色－愛因斯坦凝聚是對理想玻色氣體而言的，粒子之間已忽略相互作用，由于微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能為負，玻色粒子間出現(xiàn)等效的吸引作用從而使得“相變”成為可能。玻色－愛因斯坦凝聚與氣-液相變的差異第四十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日80年代以來，激光冷卻、磁光陷阱和蒸發(fā)冷卻技術(shù)有了突破性的進展，終于在1995年實現(xiàn)了堿金屬87Rb，23Na，7Li蒸氣的玻色－愛因斯坦凝聚。堿金屬蒸汽的玻色－愛因斯坦凝聚

物質(zhì)臨界溫度

Tc原子數(shù)目（個）原子密度(cm)-1nλ387Rb170nk1032.6×101223Na2μk5×1051014

7Li400nk1031012第四十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

瑞典皇家科學(xué)院2001年10月9日宣布，將2001年諾貝爾物理學(xué)獎聯(lián)合授予美國科學(xué)家埃里克·康奈爾、卡爾·維曼和德國科學(xué)家沃爾夫?qū)た颂乩?。他們根?jù)玻色－愛因斯坦理論發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)狀態(tài)——“堿金屬原子稀薄氣體的玻色－愛因斯坦凝聚（ＢＥＣ）”。

2001年度諾貝爾物理學(xué)獎第五十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

瑞典皇家科學(xué)院發(fā)表的新聞公報說，長期以來，讓物質(zhì)處于可控制的狀態(tài)一直是研究人員面臨的一個挑戰(zhàn)。1924年，印度物理學(xué)家玻色曾對光粒子進行了這方面的理論研究，并把重要的研究結(jié)果告訴了愛因斯坦。愛因斯坦又把玻色的理論推廣到了對特定原子的研究領(lǐng)域。愛因斯坦預(yù)言，如果將這類原子氣體冷卻到非常低的溫度，那么所有原子會突然以可能的最低能態(tài)凝聚，其過程就像在氣體中形成液滴。第五十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日新聞公報說，70年后，也就是到了1995年，科內(nèi)爾和維曼終于通過實踐證實了玻色－愛因斯坦理論，在比絕對零度高出千萬分之二度的超低溫度下，使約2000個銣原子形成了“玻色－愛因斯坦凝聚”。同時，克特勒也獨立地用鈉原子進行了同樣成功的實驗，而且他所獲得的凝聚態(tài)還包括了更多的原子。瑞典皇家科學(xué)院認為，分享今年諾貝爾物理學(xué)獎的三名科學(xué)家的成功發(fā)現(xiàn)，猶如是找到了讓原子“齊聲歌唱”的途徑，這種控制物質(zhì)的新途徑必將給精密測量和納米技術(shù)等領(lǐng)域帶來“革命性的”變化。第五十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日埃里克·康奈爾1961年出生于美國加利福尼亞州，1990年獲得美國麻省理工學(xué)院物理博士頭銜，現(xiàn)就職于美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究所。第五十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日沃爾夫?qū)た颂乩?957年出生于德國的海德堡，1986年獲德國慕尼黑路德維希－馬克西米利安大學(xué)物理博士頭銜，現(xiàn)為美國麻省理工學(xué)院物理教授。第五十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

卡爾·維曼1951年出生于美國俄勒岡州，1977年獲美國斯坦福大學(xué)物理博士頭銜，現(xiàn)為美國科羅拉多大學(xué)教授。第五十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第五十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日上圖為從囚禁阱中排出的原子云形成玻色愛因斯坦冷凝態(tài)的過程俯視圖，下圖為側(cè)視圖。圖形為吸收圖，通過共振激光照射原子云而用CCD攝取原子云的陰影。第一個圖為玻色愛因斯坦冷凝態(tài)形成之前，第二個圖為玻色愛因斯坦冷凝態(tài)形成之中，背景為熱運動，第三個圖為幾乎所有的原子都形成了玻色愛因斯坦冷凝態(tài)。右邊的圖形顯示隨著溫度的降低，更多的原子蒸發(fā)了。第五十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2012年10月18日，973計劃首席科學(xué)家、國家杰出青年基金獲得者、中國科學(xué)院物理研究所博士生導(dǎo)師劉伍明研究員在學(xué)術(shù)廳作了題為“玻色-愛因斯坦凝聚：超流、超導(dǎo)、超固體”的學(xué)術(shù)報告。第五十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日劉伍明，男，1960年出生，云南個舊人1994年至1996年在中國科學(xué)院物理所做博士后1996年至1998年在中國科學(xué)院理論物理所任副研究員1998年至2000年在美國Texas大學(xué)Austin分校物理系任研究員2000年至2002年在美國Delaware大學(xué)

Bartol研究所任研究員

曾在美國LosAlamos國家實驗室、OakRidge

國家實驗室、加州大學(xué)Berkeley數(shù)學(xué)所、加州大學(xué)SantaBarbara理論物理所、Pennsylvania大學(xué)數(shù)學(xué)系、Duke大學(xué)數(shù)學(xué)系、Utah大學(xué)物理系，加拿大Toronto大學(xué)物理系，法國Laue-Langevin研究所，西班牙CSIC物理所，香港大學(xué)物理系訪問并開展合作研究。

現(xiàn)任中國科學(xué)院物理所研究員，博士生導(dǎo)師，并任物理所凝聚態(tài)理論與材料計算實驗室副主任。國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（亦稱973計劃）首席科學(xué)家。第五十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日磁光阱第六十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日（5）磁光陷阱中的玻色－愛因斯坦凝聚(習(xí)題8-5)能量約束在磁光陷阱中的理想玻色子氣體，處在三維諧振勢中量子力學(xué)得到非簡并能級為第六十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日溫度為T時處在量子態(tài)(nx，ny，nz)的粒子數(shù)化學(xué)勢由粒子數(shù)守恒決定粒子數(shù)非負,要求基態(tài)能級滿足第六十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日化學(xué)勢隨溫度降低而升高，在T→Tc時，μ→ε0臨界溫度由粒子數(shù)守恒決定其中第六十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日可以將看作連續(xù)變量而將上式求和用積分替代。兩邊微分當(dāng)在范圍內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)為第六十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日即有式中由變量替換產(chǎn)生了等效簡并度第六十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日積分等于被積函數(shù)第六十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日基態(tài)的粒子數(shù)N0與總粒子數(shù)之比在滿足N→∞,ω→0，Nω3有限

時給出在T<Tc時，凝聚在激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)Nε>0由下式確定由粒子數(shù)守恒第六十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在ωz>>ωx，ωy，時，kT<<?ωz，原子在z方向的運動將凍結(jié)在基態(tài)作零點振動，于是形成二維電子氣體，在T<Tc時將有宏觀量級的原子凝聚在能量的基態(tài)習(xí)題8-6由其中第六十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日積分等于被積函數(shù)第六十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在T<Tc時，凝聚在激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)Nε>0由下式確定由粒子數(shù)守恒在滿足N→∞,ω→0，Nω2有限時給出基態(tài)的粒子數(shù)N0與總粒子數(shù)之比第七十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日思考題簡述能量均分定理；用能均分定理求得輻射場的內(nèi)能U和定容熱容量CV與實驗結(jié)果有何差異；量子統(tǒng)計的結(jié)果如何解釋這些差異。思考題寫出普朗克公式和維恩位移公式；用維恩位移公式解釋可以通過人眼的色覺判斷輻射體溫度的相對高低的原理。8．4光子氣體（2014.12.15）第七十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日一、輻射場的熱力學(xué)性質(zhì)(P64.)受熱物體會輻射電磁波。輻射強度（能量密度）和強度隨頻率的依賴關(guān)系與輻射體的溫度和性質(zhì)有關(guān)。2如果輻射體對電磁波的吸收和輻射達到平衡，熱輻射的特性只取決于溫度，與輻射體的其它性質(zhì)無關(guān)，稱為平衡輻射。平衡輻射能量密度是各向同性的、均勻的和非偏振的。平衡輻射能量密度斯特藩-玻爾茲曼定律第七十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日3基爾霍夫定律

物體在任何頻率處的面輻射強度與吸收因數(shù)之比對所有物體都相同，是頻率和溫度的普適函數(shù)。絕對黑體（aω=1）黑體面輻射強度與平衡輻射通量密度完全相同吸收因數(shù)αω輻射強度eω平衡輻射要求第七十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日帶有小孔的空窖接近于黑體,空窖內(nèi)的輻射叫做黑體輻射。平衡輻射=空窖輻射=黑體輻射第七十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日輻射能量密度

輻射壓強

輻射場的熵

（斯特藩—玻耳茲曼定律）輻射通量密度4平衡輻射場的熱力學(xué)性質(zhì)輻射場的吉布斯函數(shù)第七十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日經(jīng)典量子波動瑞利金斯普朗克粒子維恩愛因斯坦方法觀念歷史上處理平衡輻射的兩種觀念和兩種方法歷史上關(guān)于平衡輻射的六次諾貝爾獎190419111918192119782006姓名瑞利維恩普朗克愛因斯坦彭齊亞斯約翰馬瑟國籍英德德德美美第七十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加。具有一定圓頻率ω

、波矢量k和偏振的單色平面波可以看作輻射場的一個振動自由度，根據(jù)能均分定律，一個自由度具有平均能量kT。在體積V內(nèi)，在dω的圓頻率范圍內(nèi)，輻射場的振動自由度數(shù)為

二、輻射場的統(tǒng)計物理理論1用經(jīng)典統(tǒng)計從波動觀點處理輻射場(P204.)瑞利-金斯公式

第七十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日結(jié)論瑞利-金斯公式在低頻范圍與實驗結(jié)果符合，但在高頻范圍與實驗結(jié)果不符；維恩公式則在高頻范圍與實驗結(jié)果符合，但在低頻范圍與實驗結(jié)果不符。說明在經(jīng)典統(tǒng)計范疇，無論是波的觀點還是粒子的觀點都不可能得到正確的結(jié)果。維恩公式

2用經(jīng)典統(tǒng)計從粒子觀點處理輻射場ωUω瑞利-金斯曲線實驗曲線維恩曲線第七十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日3用量子統(tǒng)計理論從粒子觀點處理輻射場（1）光子氣體模型具有一定波矢量k、圓頻率ω和偏振的單色平面波與具有一定動量p、一定能量ε和自旋為1的光子相對應(yīng)。它們之間滿足德布羅意關(guān)系光子的能量動量關(guān)系第七十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在體積為V的輻射場內(nèi)，在p到p+dp的動量范圍內(nèi)，光子可能的量子狀態(tài)數(shù)為（參考）在體積為V的輻射場內(nèi)，在ω到ω+dω的頻率范圍內(nèi)，光子可能的量子狀態(tài)數(shù)為（2）普朗克公式第八十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在體積為V的輻射場內(nèi)，在ω到ω+dω的頻率范圍內(nèi)，可能的光子數(shù)為在體積為V的輻射場內(nèi)，在ω到ω+dω的頻率范圍內(nèi)，輻射場的內(nèi)能為用態(tài)密度表示簡并度第八十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日普朗克公式表示輻射場內(nèi)能按頻率的分布，與實驗結(jié)果完全一致。ωU(ω,T)實驗曲線普朗克曲線第八十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日低頻近似：有近似得瑞利-金斯公式當(dāng)?shù)诎耸?，共一百八十二頁?022年，8月28日高頻近似：當(dāng)?shù)镁S恩公式考慮近似第八十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日引入變量輻射場的內(nèi)能由普朗克公式輻射場內(nèi)能第八十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日代入平衡輻射通量密度并與斯特藩—玻耳茲曼定律比較確定斯特藩常量為其中第八十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日有一個極大值，與該極大值相對應(yīng)的頻率用ωm來表示（3）維恩位移定律從普朗克公式看出，內(nèi)能密度隨頻率的分布ωU(ω,T)ωm第八十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日令普朗克公式變?yōu)樽髯兞刻鎿Q第八十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日解超越方程33xy得2.822Y=xY=3-3e-x第八十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日維恩位移定律使輻射場的內(nèi)能密度取極大值的條件為這時ωm與溫度成正比，稱為維恩位移定律。第九十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日首先計算光子氣體的巨配分函數(shù)引入變量（4）通過配分函數(shù)求光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)上式表示為第九十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日應(yīng)用分步積分的方法于是配分函數(shù)為其中利用了積分第九十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日光子氣體的內(nèi)能光子氣體的壓強(物態(tài)方程）比較這兩個式子可以得斯特藩-玻耳茲曼定律第九十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日光子氣體的熵光子氣體的熱容量光子氣體的巨熱力學(xué)勢光子氣體的吉布斯函數(shù)與化學(xué)勢第九十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日光子氣體的熵光子氣體熱容量將巨熱力學(xué)勢看作特性函數(shù)光子氣體的壓強第九十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日由于具有一定圓頻率、波矢和偏振的平面波與具有一定能量、動量和自旋投影的光子狀態(tài)相應(yīng)。當(dāng)輻射場某一平面波處在量子數(shù)為n的狀態(tài)時，相當(dāng)于存在相應(yīng)的n個光子。諧振子的能量在量子理論下放大了n倍。n大小由n的平均值代替4用量子統(tǒng)計方法從波動觀點處理輻射場從粒子觀點看，n是平均光子數(shù)；從波動觀點看n是量子數(shù)的平均值。這樣波動和粒子的圖像便統(tǒng)一起來了。第九十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日對于?ω<<kT的低頻自由度，其能量可看作是準(zhǔn)連續(xù)的，經(jīng)典統(tǒng)計關(guān)于一個振動自由度具有平均能量kT

的結(jié)論是適用的。反之，滿足?ω>>kT的高頻自由度則被凍結(jié)在n=0的基態(tài)。這樣經(jīng)典統(tǒng)計研究平衡輻射問題出現(xiàn)的困難便得到解決。根據(jù)量子理論，一個諧振子的能量為n?ω，于是在體積V內(nèi)，ω處dω范圍內(nèi)的輻射場內(nèi)能與量子態(tài)有關(guān)第九十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日1、維恩位移定律的應(yīng)用三應(yīng)用人眼觀測輻射體時，只能感受可見光范圍內(nèi)輻射能量密度最強的頻段（極值點附近），根據(jù)維恩位移定律，輻射體溫度與峰值頻率成正比，因此，輻射體溫度越高，峰值頻率值越大，表觀上程藍或紫色。反之，輻射體溫度越低，峰值頻率越小，表觀上程紅色。因此，可由輻射體的顏色定性判斷輻射體溫度的相對高低。第九十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日斯特藩-玻耳茲曼定律根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律或維恩位移定律可制造出輻射溫度計、夜視儀和紅外成像儀等。第九十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日夜視儀及成像效果第一百頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日光譜型恒星表溫度恒星顏色O40000～25000K藍色星B25000～12000K藍白色星A11500～7700K白色星F7600～6100K黃白色星G6000～5000K黃色星K4900～3700K紅橙色星M3600～2600K紅色星恒星光譜分類第一百零一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日大爆炸宇宙學(xué)1929年，美國天文學(xué)家哈勃通過觀測發(fā)現(xiàn)了哈勃紅移—遙遠恒星發(fā)出的光譜線普遍存在紅移現(xiàn)象。3、宇宙微波背景輻射1948年，俄裔美國物理學(xué)家伽莫夫提出，宇宙誕生于一次大爆炸,從高溫、高密度狀態(tài)開始膨脹，溫度和密度不斷下降，最終演化為今天的宇宙。第一百零二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第一百零三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日大爆炸宇宙學(xué)的三個觀測證據(jù)：（1）一切化學(xué)元素的年齡都是有限的，都不大于150億年；（2）氦平均豐度：觀測發(fā)現(xiàn)在不同天體上，氫含量和氦含量之比近似相同，質(zhì)量之比為3：1。根據(jù)宇宙膨脹速度和熱輻射溫度的測量，計算出宇宙早期產(chǎn)生的氦豐度恰好是30%。第一百零四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日光子、正反中微子、正反電子—正反核子—氫核、氘核、氚核、氦核—中性原子復(fù)合—光子脫偶，溫度4000K(0.3eV)，取此刻宇宙年齡3×105

年。早期宇宙是由高溫輻射（高能光子）、夸克與基本粒子（質(zhì)子、中子、電子、中微子）組成的“羹湯”。（3）宇宙微波背景輻射大爆炸后的宇宙逐漸冷卻，到現(xiàn)在應(yīng)留存下可觀測的遺跡，即大爆炸留下“余溫”，宇宙微波背景輻射就是大爆炸的“余溫”。

第一百零五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日A高度各向同性。這是早期宇宙高度均勻性的反映。B它的頻譜應(yīng)符合普朗克公式(黑體譜)。C溫度應(yīng)在3K左右，這是它從形成至今長期降溫的結(jié)果。計算表明，自從大規(guī)模中性原子復(fù)合以來，宇宙尺度增加了3個數(shù)量級，相應(yīng)的光子輻射溫度下降了3個數(shù)量級，約為3K左右的黑體輻射。該輻射應(yīng)具有三個觀測特征：第一百零六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日1934年，Tolman是第一個研究有關(guān)宇宙背景輻射的人。他發(fā)現(xiàn)在宇宙中輻射溫度的演化里溫度會隨著時間演化而改變；而光子的頻率隨時間演化(即宇宙學(xué)紅移)也會有所不同。但是當(dāng)兩者一起考慮時，也就是討論光譜時(是頻率與溫度的函數(shù))兩者的變化會抵銷掉，也就是黑體輻射的形式會保留下來。第一百零七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日1964年，蘇聯(lián)的澤爾多維奇、英國的霍伊爾、泰勒(Tayler)、美國的皮伯斯(Peebles)等人的研究預(yù)言，宇宙應(yīng)當(dāng)殘留有溫度為幾開的背景輻射，并且在厘米波段上應(yīng)該是可以觀測到的，從而重新引起了學(xué)術(shù)界對背景輻射的重視。美國的狄克(Dicke)、勞爾(Roll)、威爾金森(Wilkinson)等人也開始著手制造一種低噪聲的天線來探測這種輻射，然而另外兩個美國人無意中先于他們發(fā)現(xiàn)了背景輻射。1948年，美國物理學(xué)家伽莫夫、拉爾夫·阿爾菲和羅伯特·赫爾曼估算出，如果宇宙最初的溫度約為十億度，則會殘留有約5~10k的黑體輻射。然而這個工作并沒有引起重視。第一百零八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第一百零九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第一百一十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日1964年，新澤西州，貝爾電話實驗室，A.APenzias和，發(fā)現(xiàn)7.35cm波長上與方向無關(guān)的微波噪聲。電告麻省伯克，伯克想起一次學(xué)術(shù)報告上普林斯頓的皮伯斯(P.E.Peebles)提到早期宇宙應(yīng)留下10K的背景噪聲，伯克(B.Burke)告訴A.APenzias，使之與普林斯頓的迪克、羅爾和威金森取得聯(lián)系。在AstrophysicalJournal各發(fā)表一篇通訊。A.APenzias和于1978年獲獎。1978年度諾貝爾物理學(xué)獎第一百一十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日通過維恩位移定律，利用A.APenzias和測得的最大波長λ=7.35cm，計算宇宙微波背景輻射溫度第一百一十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日彭齊亞斯，猶太人，1933年4月26日出生于德國的慕尼黑，7歲時隨父親轉(zhuǎn)移到了美國，1954年在美國紐約市立學(xué)院畢業(yè)，主修的是物理學(xué)。后來在軍隊服役兩年進入哥倫比亞大學(xué)當(dāng)了著名物理學(xué)家拉比的助手，后隨湯斯作論文，題目就是為射電天文實驗建造微波激射放大器。1961年到貝爾實驗室工作，從此開始了他對射電天文學(xué)的追求。第一百一十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日威爾遜1936年出生于美國得克薩斯州的休斯敦，父親是一位化學(xué)工程師。威爾遜1957年以優(yōu)秀的成績畢業(yè)于賴斯大學(xué)，而后進入加州理工學(xué)院攻讀研究生。在那里，他受到著名天文學(xué)家弗雷德·霍伊爾的影響，支持穩(wěn)恒態(tài)宇宙學(xué)。1962年獲博士學(xué)位。1963年威爾遜轉(zhuǎn)往貝爾實驗室設(shè)在新澤西州霍姆代爾的研究中心，與彭齊亞斯進行合作，于1964年使用一具為早期通訊衛(wèi)星設(shè)計的天線發(fā)現(xiàn)了宇宙微波背景輻射。1976年威爾遜成為貝爾實驗室無線電物理研究部的主任，1978年與彭齊亞斯一起獲得諾貝爾物理學(xué)獎。

第一百一十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日第一百一十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日COBE的成果根據(jù)1989年11月升空的微波背景探測衛(wèi)星(COBE）測量到的結(jié)果，宇宙微波背景輻射譜非常精確地符合溫度為2.726±0.010K的黑體輻射譜，證實了銀河系相對于背景輻射有一個相對的運動速度，并且還驗證，扣除掉這個速度對測量結(jié)果帶來的影響，以及銀河系內(nèi)物質(zhì)輻射的干擾，宇宙背景輻射具有高度各向同性，溫度漲落的幅度只有大約百萬分之五。目前公認的理論認為，這個溫度漲落起源于宇宙在形成初期極小尺度上的量子漲落，它隨著宇宙的暴漲而放大到宇宙學(xué)的尺度上，并且正是由于溫度的漲落，造成物質(zhì)分布的不均勻性，最終得以形成諸如星系團等的一類大尺度結(jié)構(gòu)。第一百一十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日世界上第一張關(guān)于微波輻射的高分辨率圖像為宇宙微波背景輻射理論（CMB）提供了依據(jù)。第一百一十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日Figure2.TheCOBEsatelliteenabledmeasurementofthecosmicmicrowavebackgroundinalldirections.第一百一十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日宇宙微波背景輻射的雙極現(xiàn)象第一百一十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日Figure4.Asky-mapofthetemperaturevariationsmeasuredbyCOBE.Redcorrespondstohighertemperatureandbluetolower.Thevariationsareminuscule–intherangeofahundred-thousandthofadegree.第一百二十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2006年度諾貝爾物理學(xué)獎

瑞典皇家科學(xué)院諾貝爾獎委員會宣布將2006年度諾貝爾物理學(xué)獎授予兩名美國科學(xué)家約翰-馬瑟和喬治-斯莫特，以表彰他們發(fā)現(xiàn)了黑體形態(tài)和宇宙微波背景輻射的擾動現(xiàn)象。今年的諾貝爾物理學(xué)獎將我們帶回了宇宙形成的嬰兒時代。第一百二十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

馬瑟說：“宇宙背景探測衛(wèi)星(COBE)項目從提議到發(fā)射升空共用了15年的時間，衛(wèi)星的運作用了4年多的時間，之后，分析數(shù)據(jù)又用了幾年的時間?！薄皠傞_始我們持懷疑態(tài)度，但并不清楚究竟是什么，因此極端地小心，對這類事情尤其要小心，因為根本就沒有其他方法告訴我們這臺設(shè)備是否會給出正確的答案。”

第一百二十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日斯穆特說：

“我們看見了大爆炸后30萬至40萬年時宇宙的形象，這看似很長，但大爆炸距今已經(jīng)有150億年或140億年了。如果將宇宙比作人類，這一時刻相當(dāng)于一個胚胎形成后幾個小時，我們回望到了如此遙遠的時刻?！?/p>

第一百二十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2006年度諾貝爾物理學(xué)獎得主約翰·馬瑟第一百二十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

美國航空宇宙局（NASA）戈達德宇宙飛行中心的約翰-馬瑟（60）博士。在90年，利用宇宙背景輻射探測船發(fā)現(xiàn)，輻射的強度隨著充滿宇宙的微波變動而變化的規(guī)律，使科技向宇宙起源更邁進了一步。2006年度諾貝爾物理學(xué)獎得主約翰·馬瑟第一百二十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2006年度諾貝爾物理學(xué)獎得主喬治·斯穆特伯克利加利福尼亞大學(xué)的喬治-斯莫特（61）教授。斯莫特教授用COBE衛(wèi)星觀測了代替大爆炸理論的暴漲假說，并確認了假說。因此不僅解決了大爆炸理論中出現(xiàn)的等方性問題，還可以說明宇宙中很小的變動。

第一百二十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2006年度諾貝爾物理學(xué)獎得主喬治·斯穆特第一百二十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日WMAP的最新發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)

2003年，美國發(fā)射的威爾金森微波各向異性探測器對宇宙微波背景輻射在不同方向上的漲落的測量表明，宇宙的年齡是137±1億年，在宇宙的組成成分中，4%是一般物質(zhì)，23%是暗物質(zhì)，73%是暗能量。宇宙目前的膨脹速度是71公里每秒每百萬秒差距，宇宙空間是近乎于平直的，它經(jīng)歷過暴漲的過程，并且會一直膨脹下去。第一百二十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日8．5金屬中的自由電子氣體（2014.12.18）在金屬中，原子結(jié)合成金屬，一些活潑元素最外層價電子擺脫了原子核的束縛在金屬中運動，稱為公有化電子。這些公有化電子受到離子和其它電子的庫侖作用，在初步近似下可以認為這些相互作用相互抵消，只有在金屬表面由于沒有外界離子的引力來抵消內(nèi)部離子的作用，所以電子在金屬內(nèi)部離子的吸引下而被束縛在里面。因此可以把這些公有化電子看作是封閉在金屬內(nèi)部的自由粒子，稱之為自由電子氣體。金屬的高導(dǎo)電率和高熱導(dǎo)率證明了金屬中自由電子的存在。自由電子氣體模型第一百二十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日思考題簡述能量均分定理；用能均分定理求自由電子的內(nèi)能和定容熱容量；結(jié)果與實驗結(jié)果有何差異？量子統(tǒng)計的結(jié)果如何解釋這些差異？思考題談?wù)勛杂呻娮託怏w的費米簡并壓強的來源和特點；簡述恒星、中子星和白矮星內(nèi)部的力學(xué)平衡機制。思考題簡述弱簡并下理想費米氣體和玻色氣體的等效附加內(nèi)能和相互作用的性質(zhì)；比較絕對零度下理想費米氣體和理想玻色氣體性質(zhì)的異同。思考題寫出費米簡并壓與費米能量的關(guān)系、熱運動壓強與溫度的關(guān)系；簡述費米簡并壓強與熱運動壓強的特點。第一百三十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日將電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg和其它物理常數(shù)帶入nλ3一金屬中自由電子氣體是強簡并的費米氣體第一百三十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在常溫下(T=300k)，對銅來講銅的密度為原子量為63，如果一個銅原子貢獻一個電子，則

說明在常溫下金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體，其它金屬情況也相似。第一百三十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日元素電子密度簡并條件費米壓強費米能量費米溫度Li4.6×1028Na2.5×1028K1.34×1028Rb1.08×1028Cs0.86×1028Cu8.5×102834003.8×1010Pa1.12×10-18J8.2×104KAg5.76×1028Au5.9×1028第一百三十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日二溫度T=0情況下費米系統(tǒng)的性質(zhì)考慮到電子自旋不為零，故在體積V內(nèi)，能量在ε~ε+dε的范圍內(nèi)，電子可能的微觀狀態(tài)數(shù)（簡并度）為1、T=0情況下的費米分布及費米能級第一百三十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日根據(jù)費米分布(6.7.10)上式表明，在給定電子數(shù)N、溫度Ｔ和體積時，化學(xué)勢μ是溫度和電子密度的函數(shù)。第一百三十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日T=0K時費米氣體的分布Of1εμ(0)當(dāng)溫度T→0時，令化學(xué)勢μ=μ(0)，這時費米分布為第一百三十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日這分布可解釋為，當(dāng)T=0k時，在ε<μ(0)的每一個量子態(tài)上平均電子數(shù)為1，在ε>μ(0)的每一個量子態(tài)上平均電子數(shù)為零。這是由于在0k時電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一個量子態(tài)最多只能容納一個電子，因此電子從ε=0的狀態(tài)起依次填充到μ(0)止。O1εμ(0)第一百三十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日μ(0)

是絕對零度時電子的最大能量，稱作費米能級（量）解出費米能級定義費米動量定義費米速度此時粒子數(shù)守恒條件變?yōu)榈谝话偃隧?，共一百八十二頁?022年，8月28日定義費米溫度電子氣體的內(nèi)能電子氣體的平均內(nèi)能為電子氣體的壓強（物態(tài)方程）為

第一百三十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日費米簡并壓強是量子力學(xué)泡利不相容原理和電子氣體具有高密度的結(jié)果。它產(chǎn)生的機制為，微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米系統(tǒng)產(chǎn)生了正的附加內(nèi)能，導(dǎo)致費米子間出現(xiàn)等效的排斥作用，從而產(chǎn)生了費米簡并壓強。它是一種與熱運動無關(guān)的壓強，熱運動壓強在絕對零度時為零，但費米簡并壓強在絕對零度時不為零。銅內(nèi)的電子費米能量和簡并壓強為費米簡并壓強與熱運動壓強第一百四十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日由微觀粒子熱運動產(chǎn)生的壓強稱為熱運動壓強（輻射壓強），它與溫度有關(guān)，在絕對零度下該壓強為零。金屬中自由電子巨大的簡并壓被電子與離子的靜電吸力所補償；在白矮星和中子星中則被強大的引力所補償。第一百四十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日中子星：熱運動壓力和中子簡并壓力與萬有引力平衡。（滿足1.4M⊙<M<3M⊙）行星和不同質(zhì)量恒星演化結(jié)局的平衡機制主序星：原子和離子熱運動壓力與萬有引力平衡。白矮星：熱運動壓力和電子簡并壓力與萬有引力平衡。（滿足錢德拉塞卡極限M<1.4M⊙）黑洞：熱運動壓力和中子簡并壓力無法抵抗萬有引力時，平衡被破壞，恒星無限坍縮為一點。（大于奧本海默極限M>3M⊙）行星：電子云間靜電排斥力與萬有引力平衡。第一百四十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日理想玻色氣體在臨界溫度以下開始向基態(tài)能級聚集，出現(xiàn)玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。由于玻色氣體能級上量子態(tài)不受泡利不相容原理的限制以及玻色氣體間出現(xiàn)的等效吸引作用，絕對零度下玻色子可以全部聚集到基態(tài)成為玻色凝聚體。玻色凝聚體的能量、動量、速度、壓強和熵均為零。在絕對零度時理想費米氣體根據(jù)泡利不相容原理從低到高占據(jù)能級，這時理想費米氣體的費米能量、費米動量、費米速度和費米壓強均不為零，只有熵為零，符合熱力學(xué)第三定律。

2、絕對零度下理想費米氣體和玻色氣體性質(zhì)的比較第一百四十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日絕對零度下理想玻色氣體和費米氣體性質(zhì)的比較(7個粒子的系統(tǒng))第一百四十四頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日三溫度T>0情況下費米系統(tǒng)的性質(zhì)1、T>0情況下費米分布及熱容量估算T=0T>0εμ(T)f1/20μ(0)第一百四十五頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在絕對零度時電子占據(jù)了從０到μ(0)的每一個量子態(tài)，溫度升高時由于熱激發(fā)，電子可能躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去。但是處在低能態(tài)的電子要躍遷到?jīng)]有被占據(jù)的狀態(tài)，必須吸收很大的熱運動能量，這是極小可能的。所以絕大多數(shù)狀態(tài)的占據(jù)情況實際上并不改變，只是在μ附近數(shù)量級kT的能量范圍內(nèi)占據(jù)情況發(fā)生改變。分布性質(zhì)的解釋在kT<<μ(0)時

，eα=e-μ/kT=e-TF/T<<1，所以費米氣體的強簡并條件也往往表達為T<<TF。第一百四十六頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日在低溫下電子氣體的分布與絕對零度時的分布差異不大，μ(T)與μ(0)非常接近，第一百四十七頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日習(xí)題8-20由以及修正為εμ(T)f1/20T>T0μ(0)第一百四十八頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日因為費米氣體的強簡并條件等價于T<<TF

，由此可見，只有能量在μ附近，數(shù)量級為kT范圍內(nèi)的電子對熱熔量有貢獻。由此可以粗略估計電子氣體的熱熔量。以N有效表示能量在μ附近kT范圍內(nèi)電子對熱熔量有貢獻的有效電子數(shù)T=0T>0εμ(T)f1/20kT第一百四十九頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日將能均分定理用于有效電子，每一個有效電子對熱熔量的貢獻為在室溫范圍銅的熱容量包含離子和電子的貢獻與離子振動的熱容量CV=3Nk相比，電子的熱容量可以忽略不計。那么金屬中自由電子對熱熔量的貢獻為第一百五十頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日2自由電子氣體的熱容量定量計算總電子數(shù)總內(nèi)能

由第一百五十一頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日

嚴(yán)格計算得電子氣體內(nèi)能在常溫范圍電子的熱容量遠小于離子振動的熱熔量，但在低溫范圍，離子振動的熱熔量按T3隨溫度而減少；電子熱熔量與T成正比，減少比較緩慢。所以，在足夠低的溫度下電子熱熔量將大于離子振動的熱熔量而成為對金屬熱熔量的主要貢獻。電子氣體的定容熱熔量為(8.5.18)第一百五十二頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日計及電子和離子振動的熱熔量（9.7節(jié)），低溫下金屬的熱熔量可以表示為3、計及電子和離子振動的金屬熱熔量實驗值落在一條直線上,與理論結(jié)果一致,但截距有差異.第一百五十三頁，共一百八十二頁，2022年，8月28日初級理論將金屬的公有電子近似看作在金屬內(nèi)部作自由運動的近獨立粒子。更深入的描述金屬中電子的運動相當(dāng)復(fù)雜，高級理論必須考慮以下因素的影響。由于離子在空間排列的周期性，離子在金屬中