第六節(jié)簡單的三角恒等變換(對應學生用書第59頁)三角函數(shù)式的化簡(1)化簡：eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝________.(2)化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))).(1)2eq\r(,2)cosα[原式＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(,2),2)(sinα－cosα))＝2eq\r(,2)cosα.](2)[解]原式＝eq\f(－2sin2xcos2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\f(1,2)(1－sin22x),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(1,2)cos2x.[規(guī)律方法]1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看〞原那么一看“角〞，通過看角之間的差異與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式.二看“函數(shù)名稱〞，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，最常見的是“切化弦〞.三看“結(jié)構(gòu)特征〞，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，化異次為同次.[跟蹤訓練]化簡：eq\f((1＋sinθ＋cosθ)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0＜θ＜π)．[解]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(4cos2\f(θ,2)))＝coseq\f(θ,2)·eq\f(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2))))＝eq\f(－cos\f(θ,2)·cosθ,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))).∵0＜θ＜π，∴0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)＞0，∴原式＝－cosθ.三角函數(shù)式的求值◎角度1給值求值(2023·全國卷Ⅰ)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝________.eq\f(3\r(10),10)[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)．又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)＋\f(2\r(5),5)))＝eq\f(3\r(10),10).]◎角度2給角求值(2023·安徽二模)sin40°(tan10°－eq\r(3))＝()【導學號：79140126】A．－eq\f(1,2) B．－1C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)B[sin40°(tan10°－eq\r(3))＝eq\f(sin40°(sin10°－\r(3)cos10°),cos10°)＝eq\f(sin40°·2sin(10°－60°),cos10°)＝eq\f(－2sin40°cos40°,cos10°)＝－eq\f(sin80°,cos10°)＝－eq\f(cos10°,cos10°)＝－1.應選B．]◎角度3給值求角設α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，那么a＋β的值為()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)C[∵α，β為鈍角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(－3\r(10),10)，∴cosα＝eq\f(－2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴α＋β＝eq\f(7π,4).][規(guī)律方法]三角函數(shù)求值的類型與求解方法1“給值求值〞：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角〞，使其角相同或具有某種關(guān)系.2“給角求值〞：一般所給出的角都是非特殊角，應仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解.3“給值求角〞：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值〞，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.[跟蹤訓練](1)(2023·全國卷Ⅱ)假設coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，那么sin2α＝()A．eq\f(7,25) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(7,25)(2)(2023·湖北新聯(lián)考四模)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1(3)tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么α＋β＝()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)C．－eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．－eq\f(2π,3)(1)D(2)A(3)D[(1)因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，所以sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq\f(9,25)－1＝－eq\f(7,25).(2)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin(30°－10°))＝eq\f(1,4).應選A．(3)由題意得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，且tanα＜0，tanβ＜0，又由α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).]三角恒等變換的簡單應用函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值.【導學號：79140127】[解](1)由，有f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)－eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))),2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos2x＋\f(\r(,3),2)sin2x))－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(,3),4)sin2x－eq\f(1,4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)因為f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(,3),4)，所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值為eq\f(\r(,3),4)，最小值為－eq\f(1,2).[規(guī)律方法]三角恒等變換應用問題的求解方法1進行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.2把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)化為y＝eq\r(,a2＋b2)sinx＋φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))的形式，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性.[跟蹤訓練](1)(2023·山東高考)函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．eq\f(3π,2) D．2π(2)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值為________．(1)B(2)1[(1)法一：∵f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx－\f(1,2)sinx))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.法二：∵f(x)＝(eq\r