06/707/7/函數(shù)的應(yīng)用(一)知識(shí)點(diǎn)基本模型1．一次函數(shù)模型：解析式y(tǒng)＝__kx＋b__，條件k≠__0__；2．二次函數(shù)模型：(1)一般式：y＝__ax2＋bx＋c__(a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：y＝__aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)__(a≠0)；(3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).3．冪函數(shù)模型：(1)解析式：y＝__axα＋b__(a，b，α為常數(shù)，a≠0)；(2)單調(diào)性：其增長(zhǎng)情況由xα中的__α__值確定．4．分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問(wèn)題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．eq\a\vs4\al(【思辨】)判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)在一次函數(shù)模型中，k>0時(shí)，函數(shù)是增長(zhǎng)的．(√)(2)在用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解就是實(shí)際問(wèn)題的解．(×)(3)現(xiàn)實(shí)生活中有很多問(wèn)題都可以用分段函數(shù)來(lái)描述，如出租車(chē)計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅等．(√)(4)一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)．(√)【解析】(1)k>0時(shí)，一次函數(shù)是增函數(shù)．(2)在用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解還要用實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)，以確定是否符合實(shí)際．(3)可以用分段函數(shù)來(lái)描述實(shí)際問(wèn)題，正確．(4)h＝20－5t(0≤t≤4)，是一次函數(shù)，正確．eq\o(\s\up7(),\s\do5(一次函數(shù)模型))eq\a\vs4\al(例1)某服裝廠每天可以生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤(rùn)22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤(rùn)80元．由于資金有限，該廠每月成本支出不超過(guò)23萬(wàn)元，為使盈利最大，若按每月30天計(jì)算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))？求出最大利潤(rùn)．解：設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，總利潤(rùn)為y元，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為(40×200x)元和[150×50×(30－x)]元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤(rùn)分別為(22×200x)元和[80×50×(30－x)]元，則總利潤(rùn)為y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化簡(jiǎn)得y＝400x＋.由于每月成本不超過(guò)23萬(wàn)元，則40×200x＋150×50×(30－x)≤，解得0≤x≤10，且x為整數(shù)．顯然當(dāng)x＝10時(shí)，盈利最大．故每月應(yīng)安排生產(chǎn)童裝10天，生產(chǎn)西裝20天，每月的最大利潤(rùn)是元．[規(guī)律方法]用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的解題方法：(1)建立一次函數(shù)模型時(shí)應(yīng)先求出自變量的取值范圍；(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗(yàn)．活學(xué)活用為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶(hù)，電信公司對(duì)移動(dòng)電話(huà)采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話(huà)時(shí)間x(單位：小時(shí))與通話(huà)費(fèi)用y1，y2(單位：元)的關(guān)系如圖所示：(1)分別求出通話(huà)費(fèi)用y1，y2與通話(huà)時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；(2)請(qǐng)幫助用戶(hù)計(jì)算在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜．解：(1)由圖象可設(shè)y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把點(diǎn)B(30，35)，C(30，15)分別代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝eq\f(1,5)，k2＝eq\f(1,2).故y1＝eq\f(1,5)x＋29(x≥0)，y2＝eq\f(1,2)x(x≥0).(2)令y1＝y(tǒng)2，即eq\f(1,5)x＋29＝eq\f(1,2)x，則x＝96eq\f(2,3).當(dāng)x＝96eq\f(2,3)時(shí)，y1＝y(tǒng)2，兩種卡收費(fèi)一致；當(dāng)x<96eq\f(2,3)時(shí)，y1>y2，使用“便民卡”便宜；當(dāng)x>96eq\f(2,3)時(shí)，y1<y2，使用“如意卡”便宜．eq\o(\s\up7(),\s\do5(二次函數(shù)模型))eq\a\vs4\al(例2)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000.已知此生產(chǎn)線(xiàn)年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)可獲得的總利潤(rùn)為W萬(wàn)元，則W＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210).因?yàn)閃在[0，210]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝210時(shí)，Wmax＝－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660(萬(wàn)元).所以年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1660萬(wàn)元．[規(guī)律方法]用二次函數(shù)模型解題的策略：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式).(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題．(3)解答二次函數(shù)最值問(wèn)題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象．活學(xué)活用某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為P和Q(萬(wàn)元)，它們與投入資金m(萬(wàn)元)的關(guān)系有如下公式：P＝eq\f(1,2)m＋60，Q＝70＋6eq\r(m)，今將200萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于25萬(wàn)元．(1)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金x(萬(wàn)元)，求總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；(2)如何分配投入資金，才能使總利潤(rùn)最大？并求出最大總利潤(rùn)．解：(1)根據(jù)題意，對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金x萬(wàn)元，對(duì)甲種產(chǎn)品投入資金(200－x)萬(wàn)元，那么y＝eq\f(1,2)(200－x)＋60＋70＋6eq\r(x)＝－eq\f(1,2)x＋6eq\r(x)＋230，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥25，,200－x≥25，))解得25≤x≤175，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇25，175].(2)令t＝eq\r(x)，則y＝－eq\f(1,2)t2＋6t＋230＝－eq\f(1,2)(t－6)2＋248，因?yàn)閤∈[25，175]，所以t∈[5，5eq\r(7)].當(dāng)t∈[5，6]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)t∈[6，5eq\r(7)]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝6，即x＝36時(shí)，ymax＝248，所以當(dāng)甲種產(chǎn)品投入資金164萬(wàn)元，乙種產(chǎn)品投入資金36萬(wàn)元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為248萬(wàn)元．eq\o(\s\up7(),\s\do5(分段函數(shù)模型))eq\a\vs4\al(例3)某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)1個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元．(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫(xiě)出函數(shù)P＝f(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？(一個(gè)零件的利潤(rùn)＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本)解：(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購(gòu)量為x0個(gè)，則x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)，則x0＝550.因此，當(dāng)一次訂購(gòu)量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元．(2)當(dāng)0<x≤100時(shí)，P＝60；當(dāng)100<x≤550時(shí)，P＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；當(dāng)x>550時(shí)，P＝51.所以P＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60，0<x≤100，,62－\f(x,50)，100<x≤550，,51，x>550.))(x∈N)(3)設(shè)銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則L＝(P－40)x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x，0<x≤100，,22x－\f(x2,50)，100<x≤550，,11x，x>550.))(x∈N)當(dāng)x＝500時(shí)，L＝6000；當(dāng)x＝1000時(shí)，L＝11000.因此，當(dāng)銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是6000元；如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)是11000元．[規(guī)律方法]分段函數(shù)的特點(diǎn)是在每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．活學(xué)活用某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬(wàn)元．經(jīng)預(yù)測(cè)可知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位：百件)時(shí)，銷(xiāo)售所得的收入約為5t－eq\f(1,2)t2(萬(wàn)元).(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位：百件)，試把該公司生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)f(x)表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？解：(1)當(dāng)0<x≤5時(shí)，產(chǎn)品全部售出，當(dāng)x>5時(shí)，產(chǎn)品只能售出500件．所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－（0.5＋0.25x），0<x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(1,2)×52))－（0.5＋0.25x），x>5，))即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，0<x≤5，,12－0.25x，x>5.))(2)當(dāng)0<x≤5時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，所以當(dāng)x＝4.75(百件)時(shí)，f(x)有最大值，f(x)max＝10.78125(萬(wàn)元).當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬(wàn)元).故當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大．1．隨著海拔高度的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量y(g/m2)與大氣壓強(qiáng)x(kPa)成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)x＝36kPa時(shí)，y＝108g/m2，則y與x的函數(shù)關(guān)系為(A)A．y＝3x(x≥0)B．y＝3xC．y＝eq\f(1,3)x(x≥0)D．y＝eq\f(1,3)x【解析】由題意設(shè)y＝kx(k≠0)，將(36，108)代入上式，得k＝3.又含氧量不能為負(fù)，所以x≥0.故選A.2．為了改善某地的生態(tài)環(huán)境，政府決定綠化荒山，計(jì)劃第一年先植樹(shù)0.5萬(wàn)畝，以后每年比上年增加1萬(wàn)畝，結(jié)果第x年植樹(shù)畝數(shù)y(萬(wàn)畝)是時(shí)間x(年)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是(A)A.B.C.D.【解析】函數(shù)解析式為y＝0.5＋(x－1)＝x－0.5，實(shí)際問(wèn)題取值范圍是x≥1，故選A.3．某廠日產(chǎn)暖手袋的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(個(gè))之間的關(guān)系為y＝4x＋36000.而暖手袋出廠價(jià)格為每個(gè)10元，要使該廠不虧本，至少日產(chǎn)暖手袋(C)A．4000個(gè)B．5000個(gè)C．6000個(gè)D．7000個(gè)【解析】由題意得4x＋36000≤10x，解得x≥6000，即日產(chǎn)至少6000個(gè)暖手袋才不虧本．4．某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)量m(件)與售價(jià)x(元)滿(mǎn)足一次函數(shù)m＝162－3x，若要使每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為(B)A．30元B．42元C．54元D．60元【解析】設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，則y＝(x－30)(162－3x)，30≤x≤54，將上式配方得y＝－3(x－42)2