矩陣論知識要點第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日問題一線性方程組的求解給定一個m個方程n個變量的線性方程組記A表示系數(shù)矩陣，B表示常數(shù)向量，X表示未知向量，則線性方程組可表示為第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日其中解的形式：（1）當m=n，且A可逆時，線性方程組AX=B的解可表示為當m=n，且A不可逆時，或者當時，線性方程組的解又如何表示呢？特別地，在討論矛盾方程AX=B時，如何定義線性方程組的解。廣義逆矩陣問題第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日問題二矩陣的算術(shù)運算矩陣的加法與減法定義為矩陣的乘法運算第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日如何定義矩陣的除法運算在線性代數(shù)中，我們對于可逆矩陣A可定義矩陣“除法”，稱為矩陣A的逆矩陣，記為A-1即當矩陣A的秩等于其行數(shù)和列數(shù)時，矩陣A稱為滿秩矩陣，才能定義“矩陣除”，并由此得到矩陣方程AX=B的解為X=A-1

B問題：我們能否定義一般矩陣的“除法”。第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日問題三矩陣的分析運算在線性代數(shù)中，我們學習的多是矩陣的代數(shù)運算，能否定義矩陣的分析運算呢？如矩陣序列的極限、矩陣級數(shù)的和、矩陣函數(shù)及其微積分等。分析運算的關(guān)鍵是確定矩陣大小的一種度量，稱為矩陣范數(shù)。第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日問題四矩陣的簡單形式矩陣運算常常要求矩陣在各種意義下的簡單形式，以簡化矩陣運算過程。這就要求討論矩陣的標準形和矩陣分解問題。常見形式有：Jordan標準形、行最簡標準形、Hermite標準形；矩陣的UR（酉矩陣U與正線上三角矩陣R）分解、QR（正交矩陣Q與三角矩陣R）分解、譜分解、滿秩分解、奇異值分解等。第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日課程教學主要內(nèi)容一線性代數(shù)的有關(guān)知識二線性空間與線性變換三

內(nèi)積空間四范數(shù)理論五矩陣分析六矩陣分解七廣義逆矩陣八Kronecker積第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日主要參考書矩陣論中國礦業(yè)大學出版社程林鳳等矩陣論清華大學出版社方保熔等矩陣理論與代數(shù)基礎電子科技出版社李正良矩陣論西北工業(yè)大學出版社程云鵬學習本課程所需掌握的基礎知識：線性代數(shù)有關(guān)知識與微積分初步第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日課程教學要求理解矩陣論的基本概念掌握矩陣論的基本計算方法第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日思考、回答兩個問題:1、矩陣的數(shù)值特征及它們的應用2、矩陣的初等變換及應用第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

3.一些特殊的矩陣

1)

設A

為m×n

階矩陣,把它的行換成同序號的列得到的新矩陣,叫做A

的轉(zhuǎn)置矩陣,記作A或AT

矩陣的轉(zhuǎn)置也是一種運算,若運算可行,則有

(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.

附錄知識要點第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

2)、共軛轉(zhuǎn)置矩陣當A=(aij)為復矩陣時,用表示aij

的共軛復數(shù),記稱為A

的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日共軛轉(zhuǎn)置矩陣有以下運算規(guī)律(設A,B

為復矩陣,

為復數(shù),且運算都是可行的):第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日3)設，如果，則稱是Hermite矩陣，如果，則稱是反Hermite矩陣。，如果，則稱是（實）對稱矩陣，如果，則稱是（實）反對稱矩陣。

設第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日4)

設A

為

n

階方陣,若滿足A2=A,則稱A

為冪等矩陣.若滿足A2=E,則稱A

為對合矩陣.若滿足AAT=ATA=E,則稱A為正交矩陣.第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

4)

行列式|A|的各元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的方陣叫做方陣A的伴隨矩陣.

伴隨矩陣具有重要性質(zhì):AA*=A*A=|A|E.第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

1.任何兩個矩陣A、B

都能進行加(減),相乘運算嗎?

思考答不是.(1)只有當A,B

為同型矩陣時,才能進行加(減)運算.(2)只有當?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)與第二個矩陣B

的行數(shù)相同時,A

與

B

才能相乘,這時AB

才存在.第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日

3.兩個矩陣A、B

相乘時,AB=BA

嗎?|AB|=|BA|?

答

AB

不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB

和

BA

都存在,此時A、Ｂ應為同階方陣.其次矩陣的乘法不滿足交換律.在一般情況下,ABBA.但對同階方陣

A、B,|AB|=|BA|

是一定成立的.因為對于數(shù)的運算,交換律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

4.若AB=AC

能推出B=C

嗎?則AB=AC,但B

C.答不能.因為矩陣的乘法不滿足消去律.例如第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日

5.非零矩陣相乘時,結(jié)果一定不是零矩陣嗎?但又如但答非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣.例如第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

6.設A與B

為n

階方陣,問等式

A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是AB=BA.事實上，由于

(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)當且僅當BA-AB=0，即AB=BA.第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

4.逆陣的概念

1)

設A

為n

階方陣,如果存在矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的(或非奇異的、非退化的、滿秩的），且矩陣B

稱為A

的逆矩陣.若有逆矩陣,則A

的逆矩陣是唯一的,記作A-1.2)相關(guān)定理及性質(zhì)

(i)

方陣A

可逆的充分必要條件是:|A|0.

(ii)

若矩陣A

可逆,則A-1=A*/|A|.第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/

A-1(0);(AT)-1=(A-1)T.

(iv)

若同階方陣

A

與B

都可逆,那么AB

也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

5.矩陣的分塊運算矩陣的分塊,主要目的在于簡化運算及便于論證,其運算法則同普通矩陣類似.第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日兩種常用的分塊法1).按行分塊對于m

n

矩陣A

可以進行如下分塊：第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日2).按列分塊對于m

n

矩陣A

可以進行如下分塊：第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日對于矩陣A=(aij)m

s

與矩陣B=(bij)s

n的乘積矩陣AB=C=(cij)m

n

，若把A

按行分成m

塊，把B

按列分成n塊，便有=(cij)m

n

，第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日以對角矩陣m左乘矩陣Am

n時，把A

按行分塊，有以對角矩陣m左乘A

的結(jié)果是A

的每一行乘以中與該行對應的對角元.第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日以對角矩陣n左乘矩陣Am

n時，把A

按列分塊，有以對角矩陣n右乘A

的結(jié)果是A

的每一列乘以中與該列對應的對角元.第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日（1）表示什么？思考設是標準單位坐標向量，則（2）表示什么？（3）表示什么？第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日例1

證明矩陣A=O

的充分必要條件是方陣ATA=O.第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日6、線性方程組的各種形式對于線性方程組記第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日其中A

稱為系數(shù)矩陣，x

稱為未知向量，b

稱為常數(shù)項向量，B

稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法，可記B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩陣的乘法，此方程組可記作Ax=b.(2)方程（2）以向量x

為未知元，它的解稱為方程組（1）的解向量.第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果把系數(shù)矩陣A

按行分成m

塊，則線性方程組Ax=b

可記作或這就相當于把每個方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi記作第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果把系數(shù)矩陣A

按列分成n

塊，則與A

相乘的x應對應地按行分成n

塊，從而記作即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是線性方程組（1）的各種變形.今后，它們與（1）將混同使用而不加區(qū)分，并都稱為線性方程組或線性方程.第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

7、初等變換

結(jié)論:每個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進而化為行最簡階梯形矩陣也稱為Hermite標準形

。思考：初等變換的應用？求逆；解方程組；解矩陣方程;判斷向量組的秩和矩陣的秩等等.第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2設試用初等行變換將A化為行階梯形，進而化為行最簡階梯形矩陣。第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日解第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日繼續(xù)使用初等行變換，將B化為行最簡階梯形矩陣：第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日解例3

用初等行變換解方程組第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日為矩陣A的相抵標準型。結(jié)論：對于任何m×n型非零矩陣A，可經(jīng)過有限次初等變換化成標準型，即存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得定義稱矩陣第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日附錄知識要點

8.n

維向量

1)

2)

向量的相等,零向量,負向量.第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

3)

向量的線性運算當

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),則＝△

+(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);＝△(a1,a2,…,an

),其中R.第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

4)

線性運算滿足下列八條規(guī)律:

+=+;(+)+·=+(+·);

+0=;

+(-)=0;1·=;

()=();

(+)=+;(+)=+,其中

,,·為n

維向量,,R.第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

9.線性相關(guān)與線性無關(guān)

1)

線性組合線性表示線性相關(guān)設有n

維向量組A:1,2,…,m,B:1,2,…,s,對于向量

,如果有一組數(shù)1,2,…,m,使

=11+22+…+mm,則稱向量是向量組A

的線性組合,或稱可由A線性表示.第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使k11+k22+…+kmm=0,則稱向量組A

線性相關(guān),否則稱A

線性無關(guān).

如果向量組

A

中的每一個向量都能由向量組B

中的向量線性表示,則稱向量組A

能由向量組B

線性表示

.如果A

能由B

線性表示,且B

也能由A

線性表示,則稱A

與B

等價.

向量組之間的等價關(guān)系具有自反性

,對稱性,傳遞性.第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

2)

線性相關(guān)的性質(zhì)

定理1向量組1,2,…,m(m2)線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個向量組可由其余m-1個向量線性表示.

定理2

設1,2,…,m

線性無關(guān),而1,2,…,m,

線性相關(guān),則能由1,2,…,m

線性表示,且表示式是唯一的.第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日3)

線性相關(guān)性的判定定理

定理3若1,2,…,r

線性相關(guān),則1,2,…,r,r+1,…,m也線性相關(guān).定理4

r維向量組的每個向量添上n-r個分量,成為n維向量組,若r維向量組線性無關(guān),則n維向量組也線性無關(guān).反言之,若n維向量組線性相關(guān),則r維向量組亦線性相關(guān).第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日定理5

m

個n

維向量組成的向量組,當維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時一定線性相關(guān).第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

10.向量組的秩

1)定義設有向量組T,如果

(i)

在T

中有r

個向量1,2,…,r

線性無關(guān);

(ii)

T

中任意r+1個向量(如果T

中有r+1個向量的話)都線性相關(guān),那么稱1,2,…,r

是向量組T

的一個最大線性無關(guān)向量組,簡稱最大無關(guān)組;數(shù)r稱為向量組T

的秩.并規(guī)定:只含零向量的向量組的秩為0.第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

2)性質(zhì)

性質(zhì)1向量組線性無關(guān)的充要條件是它所含向量個數(shù)等于它的秩.

性質(zhì)2設矩陣A的某個r階子式D是A的最高階非零子式,則D所在的r個行向量即是矩陣A的行向量組的一個最大無關(guān)組;D所在的r個列向量組即是矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組.

性質(zhì)3

R(A)=A的行秩=A的列秩.第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

性質(zhì)4

設向量組A:1,2,…,r

是向量組T的一個最大無關(guān)組,則向量組A

與向量組T

等價.

定理6

設有兩個向量組:

A:1,2,…,r,

B:1,2,…,s

,如果A

組能由B

組線性表示,且A

組線性無關(guān),則A

組所含向量個數(shù)

r

不大于B

組所含向量個數(shù)s,即rs.第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

推論1

設向量組A

的秩為r1,向量組B

的秩為r2,若A

組能由

B

組線性表示,則r1

r2.

推論2

等價的向量組有相同的秩.

第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日定義矩陣A的列向量組的秩稱為A的列秩矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩例的列秩為2，同理，A的行秩也為210、矩陣的秩第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日（1）子式判別法(定義)。（2）用初等變換法求矩陣的秩。依據(jù):矩陣初等變換不改變矩陣的秩。作法階梯形矩陣B，則秩(A)=B的階梯數(shù)。例2，=>秩（A）=2思考:矩陣秩的求法第五十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日11.向量空間

1)

設V

為

n

維向量的集合,如果集合V

非空且集合V對于加法入乘數(shù)兩種運算封閉,那么就稱集合V

為向量空間.

所謂封閉,是指對V,V

及k

R,則

+V,kV.第五十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日