空間問(wèn)題的基本理論第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第七章空間問(wèn)題的基本理論在空間問(wèn)題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。空間問(wèn)題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問(wèn)題相似的。因此，許多問(wèn)題可以從平面問(wèn)題推廣得到。第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)

(b)平衡條件§7-1平衡微分方程第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因?yàn)閤,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以x,y,z

坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。因此，式(a)的其余兩式可通過(guò)式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日由3個(gè)力矩方程得到3個(gè)切應(yīng)力互等定理，，，(x,y,z)。(d)空間問(wèn)題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點(diǎn)A,B的x向正應(yīng)力分量。第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

在空間問(wèn)題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量…

…，來(lái)求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1.

求第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2.

求將向法向投影，即得得由第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日從式(b)、(c)可見(jiàn),當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件:3.

在上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日式(d)只用于邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。式(b),(c)用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示斜面應(yīng)力與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系；注意:

第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為：斜面應(yīng)力§7-3主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力代入,得到：第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2.求主應(yīng)力將式(a)改寫(xiě)為：求主應(yīng)力第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開(kāi)，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力(c)第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向?yàn)?。代入?a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日由上兩式解出。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及。4.一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力（證明見(jiàn)書(shū)上）。第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個(gè)主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f

)是等價(jià)的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日(g)應(yīng)力不變量第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定了，則通過(guò)此點(diǎn)的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著3個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日(3)3個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點(diǎn)存在3個(gè)應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過(guò)中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。設(shè)第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題1.試考慮：對(duì)于平面問(wèn)題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。2.試考慮：對(duì)于空間問(wèn)題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

空間問(wèn)題的幾何方程，可以從平面問(wèn)題推廣得出：(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過(guò)積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量，為：

(b)幾何方程--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問(wèn)題的位移邊界條件為：(c)位移邊界條件第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日空間問(wèn)題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)物理方程可表示為兩種形式：第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：

(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日空間問(wèn)題的應(yīng)力，形變，位移等15個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：結(jié)論第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題若形變分量為零，試導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的位移分量。第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

空間軸對(duì)稱問(wèn)題

采用柱坐標(biāo)表示。軸對(duì)稱問(wèn)題

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱的?！?-5軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于空間軸對(duì)稱問(wèn)題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對(duì)稱問(wèn)題所有物理量?jī)H為(ρ,z)的函數(shù)。第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日而由得出為。平衡微分方程：第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

幾何方程：其中幾何方程為第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日思考題試由空間軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程，簡(jiǎn)化導(dǎo)出平面軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程。第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第七章例題例題1例題2例題3例題第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日（x,y,z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為時(shí)，它的表面法線的方向余弦為第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題2

試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。

(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無(wú)摩擦力。

(b)半無(wú)限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。第四十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日qqooxxzz第四十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日解：圖示的(a),(b)兩問(wèn)題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對(duì)于(a)，有約束條件；對(duì)于(b)，有對(duì)稱條件。第五十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日則可解出：而兩者的，因此，由物理方程：第五十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題３

圖示的彈性體為一長(zhǎng)柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點(diǎn)，試寫(xiě)出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第五十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日解：本題是空間問(wèn)題，z=0的表面是小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢