1．1引言模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)是在機械阻抗與導(dǎo)納的概念上發(fā)展起來的。雖然機械阻抗的概念早在20世紀(jì)30年頭就已經(jīng)形成，但發(fā)展成為今日這樣較為完整的理論與方法，卻閱歷了較長的歲月。近二十多年來，模態(tài)分析理論吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理數(shù)理統(tǒng)計以及自動限制理論中的有關(guān)“養(yǎng)分”，結(jié)合自身內(nèi)容的發(fā)展，形成了一套獨特的理論，為模態(tài)分析及參數(shù)識別技術(shù)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。1．2單自由度頻響函數(shù)分析單自由度系統(tǒng)是最基本的振動系統(tǒng)。雖然實際結(jié)構(gòu)均為多自由度系統(tǒng)，但單自由度系統(tǒng)的分析能揭示振動系統(tǒng)很多基本的特性。由于他簡潔，因此常常作為振動分析的基礎(chǔ)。從單自由度系統(tǒng)的分析動身分析系統(tǒng)的頻響函數(shù)，將使我們便于分析和深刻理解他的基本特性。對于線性的多自由度系統(tǒng)常?？梢钥闯蔀楹芏鄦巫杂啥认到y(tǒng)特性的線性疊加。下面我們分別對粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)理論進行探討，并推導(dǎo)他們的表達(dá)式。一、粘性阻尼系統(tǒng)對粘性阻尼系統(tǒng)，假設(shè)其阻尼力與振動速度成正比，方向與速度相反，即

（1—1）式中：及均為時間的函數(shù)。對于自由振動（），上式可以寫為：其解的形式為:

式中：為復(fù)數(shù)；為不依靠時間的量。（1—3）系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖所示。其振動運動方程為：

（1—2）（1—4）對（1—2）式兩邊進行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始值為0，可得式中：為拉氏變換因子；為的拉氏變換，而則為的拉氏變換。對自由振動而言，可得由上式可解得的兩個根，式中：，系統(tǒng)的無阻尼固有頻率；為阻尼比。

為無量綱因子。一般鋼結(jié)構(gòu)屬于小阻尼，

對的阻尼稱為欠阻尼。

（1—5）（1—6）（1—7）（1—8）則模態(tài)解的形式為：

這是帶復(fù)固有頻率的振動單模態(tài)，可分為兩部分：X0t衰減振蕩周期指數(shù)衰減虛部(或振動部分)，頻率為：實部(或衰減部分)，阻尼比為：前面的，為共軛復(fù)數(shù)，他們的實部為衰減因子，反映系統(tǒng)的阻尼；其虛部表現(xiàn)有阻尼系統(tǒng)的固有頻率。模態(tài)模型兩部分的物理意義表示在典型自由響應(yīng)圖中，（如圖）（1—5）式中的具有剛度特性，故稱為系統(tǒng)的動剛度。在確定的激勵作用下，其數(shù)值與系統(tǒng)的響應(yīng)成反比。他具有阻擋系統(tǒng)振動的性質(zhì)。因此稱為系統(tǒng)的機械阻抗，簡稱阻抗（與電學(xué)中的阻抗有類似之處），現(xiàn)令其倒數(shù)稱為機械導(dǎo)納，簡稱導(dǎo)納，又稱傳遞函數(shù)，（1—9）（1—10）若對（1—2）式在付氏域進行變換，即，則阻抗與導(dǎo)納公式可寫為：式中又稱為頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)。位移導(dǎo)納，傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)都具有柔度的性質(zhì)，故又稱為動柔度。在實際應(yīng)用上（對穩(wěn)定線性彈簧質(zhì)量系統(tǒng)而言）這三個名稱并不嚴(yán)格加以區(qū)分。（1—11）（1—12）由（1—10）式及（1—12）式可見，傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)均為復(fù)數(shù)。（1—12）式還可以表示為式中，稱為頻率比。（1—13）由（1—11）式可見，系統(tǒng)的位移阻抗由三部分組成，即質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗及剛度阻抗。他們分別為質(zhì)量阻抗——;阻尼阻抗——

;剛度阻抗——

他們的位移導(dǎo)納分別為各自的倒數(shù)，即質(zhì)量導(dǎo)納——

剛度導(dǎo)納

——剛度導(dǎo)納

——上述阻抗與導(dǎo)納公式均為位移阻抗與位移導(dǎo)納。若系統(tǒng)的輸出為速度或加速度，則同樣可得速度阻抗于加速度導(dǎo)納。對于不同的阻尼器，其阻抗與導(dǎo)納的表達(dá)式亦不同。表1給出了單自由度系統(tǒng)各元件的各種阻抗與導(dǎo)納的表1達(dá)式。表一單自由度系統(tǒng)元件的阻抗與導(dǎo)納大家可以發(fā)覺表1的規(guī)律，若由左邊項求右邊項時，對阻抗則除。對導(dǎo)納則乘；若由右邊項求左邊項時，則對阻抗則乘，對導(dǎo)納則除。對無阻尼系統(tǒng)，可由（1—11）及（1—12）式很便利地求出其阻抗與導(dǎo)納的表達(dá)式：（13b）；（13c）二、結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)對于實際金屬結(jié)構(gòu)，常常不能用粘性阻尼來描述他們的衰減特性。實際結(jié)構(gòu)的阻尼主要來源于金屬本身材料的內(nèi)部摩擦（內(nèi)耗）及各部件連接界面（如螺釘、鉚釘、忖墊等）之間的相對滑移。因此結(jié)構(gòu)阻尼主要由材料內(nèi)部阻尼與滑移阻尼兩部分組成。結(jié)構(gòu)阻尼的阻尼力與振動位移成正比，相對比位移超前900，即與速度方向相反，即式中為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，他與剛度成正比，（1—14）

（1—15）式中為結(jié)構(gòu)損耗因子，或稱結(jié)構(gòu)阻尼比，是無量綱因子。對結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)而言，運動方程可寫成由（1—15）式，上式可改寫為（1—16）對上式兩邊進行拉氏變換，可得(1—17）因此傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)分別為

（1—18）將上式寫為實部與虛部，

（1—19）（1—16）式中的稱為復(fù)剛度。由（1—13）式與（1—19）式比較可見，對粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼，頻響函數(shù)表達(dá)式具有相像的形式，只要將與相互置換，便可得到各自的頻響函數(shù)表達(dá)式。其中：為加速度頻響函數(shù)；為速度頻響函數(shù)；為位移頻響函數(shù).

以上所述的頻響函數(shù)是位移

為對象推導(dǎo)而得。頻響函數(shù)還可以用速度與加速度來表示。

（1—20）在實際應(yīng)用中，由于測量加速度比較便利（主要是傳感器的緣由），故加速度導(dǎo)納應(yīng)用比較普遍。與上述三種導(dǎo)納相對應(yīng)的有三種阻抗，即位移阻抗（又稱動柔度）、速度阻抗（又稱機械阻抗）、加速度阻抗（又稱視在質(zhì)量）。他們是相應(yīng)導(dǎo)納的倒數(shù)。1.3單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線表現(xiàn)方式、特性及描述有了單自由度系統(tǒng)基本位移導(dǎo)納頻率函數(shù)表達(dá)式之后，我們轉(zhuǎn)而留意這些數(shù)據(jù)的各種顯示或表達(dá)方法。首先探討頻響函數(shù)基本形式的變更，然后探究用圖形表示其特性的不同方法，最終，探討所形成的圖形中某些有用的幾何性質(zhì)。1.3.1頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的圖形表示頻響函數(shù)數(shù)據(jù)繪圖的困難性在于導(dǎo)出的頻響函數(shù)是復(fù)函數(shù)，他們有三個量，即頻率、復(fù)函數(shù)的實部、虛部。而這些量不能全部展示在一張標(biāo)準(zhǔn)的x—y圖上。因為平面曲線只能表示兩個變量，從而描述頻響函數(shù)就有各種不同的組合。下面我們探討三種最常見的表達(dá)形式：

（1）、頻響函數(shù)的模（幅值）作為頻率的函數(shù)（簡稱幅頻圖）圖；相位作為頻率的函數(shù)圖（簡稱相頻圖）（又稱波德圖B0de）。（2）、頻響函數(shù)的實部作為頻率的函數(shù)圖（簡稱實頻圖）；虛部作為頻率的函數(shù)圖（簡稱虛頻圖）。（3）、實部作為虛部的函數(shù)圖（尼奎斯特圖Nyquist）,（一個不含頻率信息的圖）。相位3601800位移導(dǎo)納141050頻率Hz(a)無阻尼單自由度系統(tǒng)的導(dǎo)納圖020406080100我們下面來探討一下這些曲線的用途并說明每種圖的特殊優(yōu)點或功能：典型的無阻尼單自由度系統(tǒng)位移導(dǎo)納的經(jīng)典波德圖（如圖(a)所示）。該系統(tǒng)響應(yīng)的速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納分別見如圖(b),(c)。（見所發(fā)的圖）相位3601800速度導(dǎo)納151050020406080100頻率Hz(b)無阻尼單自由度系統(tǒng)的導(dǎo)納圖相位3601800加速度導(dǎo)納210頻率Hz(c)無阻尼單自由度系統(tǒng)的導(dǎo)納圖020406080100由于振動數(shù)據(jù)很多，表示頻響函數(shù)特性的可能問題之一，是數(shù)據(jù)分布在較寬的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，無論運用上述頻響特性圖的何種形式，總有一些數(shù)據(jù)不能包括在內(nèi)。接受對數(shù)坐標(biāo)可解決這個問題。(a)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)—對數(shù)導(dǎo)納圖10kg100kg1000kg位移導(dǎo)納（0Db=1m/N）-100-120-140-160110100頻率105N/m106N/m107N/m10000kg我們下面來探討一下這些曲線的用途并說明每種圖的特殊優(yōu)點或功能：現(xiàn)將上面列出的三個頻響函數(shù)圖的頻率軸和幅值軸都接受對數(shù)坐標(biāo)，并重新畫出曲線圖（如圖）。10kg100kg1000kg速度導(dǎo)納（0DB=1m/N）-60-80-100-120110100頻率(b)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)—對數(shù)導(dǎo)納圖107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度導(dǎo)納（0DB=1m/N）-20-40-60-80-100110100頻率(c)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)—對數(shù)導(dǎo)納圖坐標(biāo)變換的結(jié)果可把每張圖分成三部分：1、低頻直線圖；2、高頻直線圖；3、帶有陡崤的幅值和相位變更的共振區(qū)。用對數(shù)——對數(shù)坐標(biāo)的另一好處是，他把有關(guān)的頻響函數(shù)特性分別成單個的質(zhì)量元件和彈簧元件。從圖中可以看出這些質(zhì)量和剛度特性在對數(shù)坐標(biāo)中呈直線。質(zhì)量和剛度元件的頻率響應(yīng)（2）、小粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的一對實頻和虛頻圖見如圖。我們已給出了全部三種類型的頻響函數(shù)圖，從這些圖中可以看出共振區(qū)相位的變更狀況——其特點在于，一個圖上曲線的零點總是另一圖上的曲線峰值（最大或最?。┨幇l(fā)生。這里必需留意，在用實頻和虛頻表示頻響函數(shù)特性時，不能用對數(shù)坐標(biāo)，因為對數(shù)坐標(biāo)不能兼容正值和負(fù)值。30-3位移導(dǎo)納（實部）02040頻率30-5-10位移導(dǎo)納（虛部）02040頻率位移導(dǎo)納圖0.50-0.5速度導(dǎo)納（虛部）02040頻率(Hz)速度導(dǎo)納（實部）10.50-302040頻率(Hz)速度導(dǎo)納圖加速度導(dǎo)納圖500-50加速度導(dǎo)納（實部）02040頻率(Hz)100500-50加速度導(dǎo)納（虛部）02040頻率（Hz）（3）、尼奎斯特圖即矢量端圖，是被工程廣泛運用并能有效地顯示共振區(qū)細(xì)部的方法。如圖所示。ReImReImReIma位移導(dǎo)納b

速度導(dǎo)納c

加速度導(dǎo)納具有結(jié)構(gòu)阻尼單自由度系統(tǒng)的尼奎斯特圖從圖中可以看出各個圖形很象一個圓。事實上，除粘性阻尼的速度導(dǎo)納以及結(jié)構(gòu)阻尼的位移導(dǎo)納為一個精確圓，其他則只是一個近似圓。其阻尼愈小，則圖形愈圓。（如圖）圖中表示了單自由度粘性阻尼系統(tǒng)的尼奎斯特形式的頻響函數(shù)圖。這種圖的特點是將離開共振區(qū)的點彼此靠的很近，這樣就突出了共振區(qū)，故尼奎斯特圖對試驗?zāi)B(tài)具有很大的吸引力。1.5.2單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性（圖形的數(shù)學(xué)形式不講）下面探討一下單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的兩種典型狀況的一些基本幾何特性。（1）、粘性阻尼系統(tǒng)尼奎斯特速度導(dǎo)納圖當(dāng)頻率從零掃描到無窮大的時，兩個軌跡都是精確的圓。現(xiàn)探討粘性阻尼狀況從（1—7）式和（1—13）式得速度導(dǎo)納為：(2—24)故；令和于是

（1—25）因此，在

對的曲線圖上，當(dāng)

變更時，將畫出半徑為，圓心在處的圓，如圖(b)所示。（2）、結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)尼奎斯特位移導(dǎo)納圖對于遲滯（結(jié)構(gòu)）阻尼的狀況，可從方程（1—9）得到略有差別的頻響函數(shù)表達(dá)式：（1—26）故也就是說，對于一個有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)來說，其位移導(dǎo)納尼奎斯特圖將是一個半徑為，圓心在見圖(a)的圓。（見發(fā)的圖表）雖然沒有得到象上述粘性阻尼那樣的表達(dá)式，但可以看出：

（1—27）1.6各種不同激勵下頻響函數(shù)的表達(dá)式

頻響函數(shù)（或傳遞函數(shù)）反映系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系，并表示系統(tǒng)的固有特性。它與激勵力的形式與大?。ㄏ抻诰€性范圍以內(nèi)）無關(guān)。但是在不同類型激勵力的作用下，它的表達(dá)形式常不同。下面我們對正弦、周期、瞬態(tài)及隨機等幾種激勵類型，確定頻響函數(shù)的表達(dá)式。一、簡諧激勵

對于線性時不變系統(tǒng)，在簡諧激勵力作用下，系統(tǒng)的運動為簡諧運動，并且頻率與力頻率相同。激勵力為：位移響應(yīng)為：式中，及分別為激勵與響應(yīng)的相位角；，為激勵力與響應(yīng)的復(fù)數(shù)幅值。因此，位移頻響函數(shù)（位移導(dǎo)納）為：（1—28）在實際工程結(jié)構(gòu)分析與測量時，應(yīng)變常常是特殊重要而且易于測量的一個量。應(yīng)變片作為一種傳感器亦常常被接受，因為它的體積小、質(zhì)量輕，對試件的約束小，而且可通過它測量應(yīng)變，從而計算應(yīng)力。此時，系統(tǒng)的輸入為力，輸出為應(yīng)變，因此應(yīng)變阻抗及導(dǎo)納可分別表示為：

另外目前工程中還有應(yīng)變導(dǎo)納的概念，這對實際測量很有好處。應(yīng)變阻抗:

；應(yīng)變導(dǎo)納:

式中~是對應(yīng)物理量的傅立葉變換。二、周期激勵周期激勵力具有周期性，但不確定是正弦力，例如方波、鋸齒波激勵力等屬于此類周期激勵力。此時系統(tǒng)的頻響函數(shù)不再具有如（2—14）式所示的簡潔形式。但是，眾所周知，任何周期函數(shù)，總可以用傅立葉分析方法綻開成一系列具有頻率、幅值與相位的正弦級數(shù)。設(shè)激勵力為，則可寫成，這樣，便可得到力函數(shù)的各個頻率重量。同理，對響應(yīng)亦可寫成對周期函數(shù)而言，頻響函數(shù)定義為各頻率點上響應(yīng)與激勵力之復(fù)數(shù)幅值比，（1—29）響應(yīng)與激勵的級數(shù)具有相同的離散頻率，他們都等于的整數(shù)倍。式中、

均包含幅值與相位兩個成分。三、瞬態(tài)激勵對瞬態(tài)振動而言，激勵與響應(yīng)均非周期函數(shù)。但是他們常常是確定可積的力函數(shù)（如脈沖力、階躍力等），他們滿足狄利克雷（D）條件，因此其傅立葉變換可由下式計算：同理，對響應(yīng)亦有此時，系統(tǒng)的頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）與輸入（激勵）之傅立葉變換之比，（1—30）

我們亦可以在拉氏域中定義頻率響應(yīng)函數(shù)，此時頻率響應(yīng)函數(shù)又稱為傳遞函數(shù)。它定義為系統(tǒng)的輸出與輸入的拉氏變換之比。（1—31）傅氏域及拉氏域的頻響函數(shù)和傳遞函數(shù)的描述如圖所示。傳遞函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)圖O

曲面曲線由上式可知:對上式進行傅立葉逆變換，得：令激勵為脈沖激勵，即此處表示在時作用得單位函數(shù)，又稱為D函數(shù)。此時得系統(tǒng)響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)，以表示。已知故（1—32a）（1—32b）他們互為傅立葉變換對。由上式可見，單位脈沖響應(yīng)為頻響函數(shù)的傅氏逆變換。而的傅氏變換為頻響函數(shù)四、隨機激勵(不講)隨機振動是一種非確定性振動，它無法用一個確定的函數(shù)來描述，它的時間歷程信號有隨機的性質(zhì)，它不滿足狄利克雷條件。因此，無論是激勵還是響應(yīng)信號都不能進行傅立葉變換，只能用概率統(tǒng)計的方法來處理。在此，引入兩個很重要的描述隨機信號的參量函數(shù)，即相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)。前者是一個時域函數(shù)，后者則為頻域函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)定義為一個時