河南省周口市秋實(shí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則函數(shù)的最小值是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：D略3.對(duì)?x∈（0，），8x≤logax+1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，] C．[，1） D．[，1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】對(duì)任意的x∈（0，），總有8x≤logax+1恒成立，則在0＜x＜時(shí)，y=logax的圖象恒在y=8x﹣1的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分別畫出指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），當(dāng)0＜x＜時(shí)，函數(shù)y=8x﹣1的圖象如下圖所示：∵對(duì)任意x∈（0，），總有8x≤logax+1恒成立，則y=logax的圖象恒在y=8x﹣1的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=8x﹣1的圖象交于（，1）點(diǎn)時(shí)，a=，故虛線所示的y=logax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足≤a＜1．故選：C．4.若函數(shù)f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為2π，若對(duì)任意x∈R都有f（x）﹣1≤|f（α）﹣1|，則tanα的值為(

) A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：C考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，即可得到結(jié)論．解答： 解：f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx=﹣（sin2ωx+cos2ωx）﹣6sinωxcosωx+4cos2ωx=﹣1﹣3sin2ωx+4×=2cos2ωx﹣3sin2ωx+1=[cos2ωx﹣sin2ωx]+1，設(shè)cosθ=，sinθ=，則tanθ=，則函數(shù)f（x）=cos（2ωx+θ）+1，θ為參數(shù)，則函數(shù)的周期T=，則，即f（x）=2cosx﹣3sinx+1=cos（x+θ）+1，若對(duì)任意x∈R都有f（x）﹣1≤|f（α）﹣1|，則f（α）為函數(shù)f（x）的最值，即α+θ=kπ，則α=﹣θ+kπ，則tanα=tan（﹣θ+kπ）=﹣tanθ=﹣，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點(diǎn)考查三角函數(shù)的周期性和最值性，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S為4，則輸入的x應(yīng)為（）A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或16參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】算法的功能是求S=的值，分當(dāng)x≤1時(shí)和當(dāng)x＞1時(shí)兩種情況，求輸出S=4時(shí)的x值．【解答】解；由程序框圖知：算法的功能是求S=的值，當(dāng)x≤1時(shí)，輸出的S=4?2﹣x=4?x=﹣2；當(dāng)x＞1時(shí)，輸出的S=4?log2x=4?x=16．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是關(guān)鍵．6.若某物體的三視圖如圖所示，則該物體的體積是（） A．10+6π B． 10+20π C． 14+5π D． 14+20π參考答案：C略7.甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A8.設(shè)（是虛數(shù)單位），則

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.設(shè)函數(shù)，若，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C

10.把函數(shù)的圖象向左平移m個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值為

A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，則m=___________.參考答案：-6因?yàn)閍∥b，所以－2m－4×3=0，解得m=-6．12.某工廠生產(chǎn)10個(gè)產(chǎn)品，其中有2個(gè)次品，從中任取3個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則3個(gè)產(chǎn)品中至多有1個(gè)次品的概率為

參考答案：13.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)（其中a，b是實(shí)數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（1，0）之間距離的最小值為．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．解答：解：∵△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），∴圓心到直線ax+by=1的距離d=，即d==，整理得a2+2b2=2，則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，0）之間距離d==≥，∴點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（1，0）之間距離的最小值為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置公式的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．14.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則_________.參考答案：０15.設(shè)和是互相垂直的單位向量，且，則=

.參考答案：-116.已知函數(shù)，若?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2）∪（3，5）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，或∴a＜2或3＜a＜5故答案為：（﹣∞，2）∪（3，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.若關(guān)于x的不等式(組)任意n∈N*恒成立則所有這樣的解x的集合是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，正方形ABCD中，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E．（Ⅰ）求證：AE=EB；（Ⅱ）若EF?FC=，求正方形ABCD的面積．參考答案：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；直角三角形的射影定理．【專題】證明題；選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；推理和證明．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出EA為圓D的切線，且EB是圓O的切線，由此利用切割線定理能證明AE=EB．（Ⅱ）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，連結(jié)BF，由射影定理能求出正方形ABCD的面積．【解答】證明：（Ⅰ）∵以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑半圓交于點(diǎn)F，且四邊形ABCD為正方形，∴EA為圓D的切線，且EB是圓O的切線，由切割線定理得EA2=EF?EC，故AE=EB．（Ⅱ）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，連結(jié)BF，∵BC為圓O的直徑，∴BF⊥EC，在Rt△BCE中，由射影定理得EF?FC=BF2=，∴BF==，解得a=2，∴正方形ABCD的面積為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩線段相等的證明，考查正方形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.已知橢圓C：=1，直線l：（t為參數(shù)）．（Ⅰ）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；（Ⅱ）設(shè)A（1，0），若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）直接利用三角代換寫出橢圓C的參數(shù)方程，消去此時(shí)t可得直線l的普通方程；（Ⅱ）利用兩點(diǎn)間距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，列出方程，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：（θ為為參數(shù)），l：x﹣y+9=0．…（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），則|AP|==2﹣cosθ，P到直線l的距離d==．由|AP|=d得3sinθ﹣4cosθ=5，又sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=，cosθ=﹣．故P（﹣，）．…點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離以及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．20.如圖,一個(gè)鋁合金窗分為上、下兩欄,四周框架（陰影部分）的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄與下欄的的框內(nèi)高度（不含鋁合金部分）的比為1：2，此鋁合金窗占用的墻面積為28800cm2，設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為acm和bcm，鋁合金窗的透光部分的面積為Scm2，⑴試用a，b表示S⑵若要使最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？參考答案：略21.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）把M的橫坐標(biāo)代入準(zhǔn)線方程得到一個(gè)關(guān)系式，然后由短半軸b和c表示出a，代入關(guān)系式得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，進(jìn)而得到a的值，由a和b的值寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)，過(guò)圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；（3）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出，，及，由，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長(zhǎng)，從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值．【解答】解：（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得故，∴c=1，從而所以橢圓方程為；（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圓心為，半徑因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)為2所以圓心到直線3x﹣4y﹣5=0的距離=所以，解得t=4所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）設(shè)N（x0，y0），則，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以為定值．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則．要求學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0，以及橢圓中長(zhǎng)半軸的平方等于短半軸與半焦距的平方和．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的普通方程是，曲線C1的參數(shù)方程是（為參數(shù)）。在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程是。（1）求直線l及曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線l與曲線C1交于O