河南省平頂山市衛(wèi)東區(qū)光華學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則(

)

A.－18

B.

0

C.

18

D.

不能確定參考答案：B函數(shù)滿足，則函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，則，由，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，故選B.

2.計(jì)算lg4+lg25=（

）A．2 B．3 C．4 D．10參考答案：A3.若，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C4.已知集合，則等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.若x，y滿足，則z=y﹣2x的最大值為（）A．8 B．4 C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x為y=2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z過點(diǎn)A（﹣2，0）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為z=0﹣2×（﹣2）=4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6.平面向量a與b的夾角為60°，等于

A．

B．2

C．4

D．12參考答案：B7.在△ABC中，若sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2，則角A的取值范圍是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而代入到余弦定理公式中求得cosA的范圍，進(jìn)而求得A的范圍．【解答】解：sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2?sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥，∴A≤，∵A＞0，∴A的取值范圍是（0，]故選：C．8.曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，所圍成的平面區(qū)域的面積為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】定積分．【分析】本題利用直接法求解，畫出圖形，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性知，曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，所圍成的平面區(qū)域的面積S為：曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，所圍成的平面區(qū)域的面積的兩倍．最后結(jié)合定積分計(jì)算面積即可．【解答】解：如圖，根據(jù)對(duì)稱性，得：曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，所圍成的平面區(qū)域的面積S為：曲線y=sinx，y=cosx與直線x=0，所圍成的平面區(qū)域的面積的兩倍．∴S=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查定積分、定積分的應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)向量，，若與垂直，則m的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】先利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，再由向量垂直的條件，能求出m的值．【解答】解：∵向量，，∴=（﹣1，3+m），∵與垂直，∴?（）=﹣1+3（3+m）=0，解得m=﹣．故選：B．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為

A． B． C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在點(diǎn)（）處的切線方程是_______________．參考答案：y=-x12.定義下凸函數(shù)如下：設(shè)f（x）為區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)任意的x1，x2∈I總有f（）≥，則稱f（x）為I上的下凸函數(shù)，某同學(xué)查閱資料后發(fā)現(xiàn)了下凸函數(shù)有如下判定定理和性質(zhì)定理：判定定理：f（x）為下凸函數(shù)的充要條件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)．性質(zhì)定理：若函數(shù)f（x）為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，則對(duì)I內(nèi)任意的x1，x2，…，xn，都有≥f（）．請(qǐng)問：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx，x∈（0，π），求導(dǎo)，則f″（x）≤﹣sinx，由正弦函數(shù)的圖象可知f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)sinA+sinB+sinC≤3sin（），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．【解答】解：設(shè)f（x）=sinx，x∈（0，π），則f′（x）=cosx，則f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π），由當(dāng)x∈（0，π），0＜sin≤1，則f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)可知：≤f（）．則sinA+sinB+sinC≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值為，故答案為：．13.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=3cosθ，直線的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=1，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為_________．參考答案：14.如圖表示一位騎自行車者和一位騎摩托車者在相距80km的兩城鎮(zhèn)間旅行的函數(shù)圖象，由圖可知：騎自行車者用了6小時(shí)，沿途休息了1小時(shí)，騎摩托車者用了2小時(shí)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)圖象，提出關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息：①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)了3小時(shí)，晚到1小時(shí)；②騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng)；

③騎摩托車者在出發(fā)了1.5小時(shí)后，追上了騎自行車者.

其中正確信息的序號(hào)是

.

參考答案：①②③15.在直角坐標(biāo)系xOy，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程式ρ=﹣4cosθ，則圓C的圓心到直線l的距離為

．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），普通方程為x﹣y+1=0，圓ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（﹣2，0）為圓心，半徑等于2的圓．∴圓C的圓心到直線l的距離為=，故答案為．16.對(duì)于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。參考答案：略17.設(shè)函數(shù),若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍為____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（為大于0的常數(shù)），現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸(mm)384858687888質(zhì)量(g)16.818.820.722.42425.5對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：75.324.618.3101.4（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（2）按照某項(xiàng)指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品，現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考答案：（1）對(duì)，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，得，，，得，故所求回歸方程為.（2）由，解得，即優(yōu)等品有件.所以的可能取值是.，.其分布列為：所以，.19.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數(shù)列滿足(1)設(shè)是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),求的值;(2)設(shè)求正整數(shù)使得一切均有(3)設(shè)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：(1),………………2分………………4分(2)由,

………………5分由,即;………………7分由,即

………………9分.

………………10分(3)由,………………11分故,………………13分當(dāng)時(shí),以上各式相加得………………15分當(dāng)時(shí),………………17分,………………18分20.市場上有一種新型的強(qiáng)力洗衣液，特點(diǎn)是去污速度快.已知每投放a（，且）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中.若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用.（1）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可能達(dá)幾分鐘？（2）若第一次投放個(gè)2單位的洗衣液，6分鐘后再投放a個(gè)單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值（精確到，參考數(shù)據(jù)：?。?參考答案：21.（本題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.參考答案：（Ⅰ）解由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

1分當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝x－

2分令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

3分當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，

因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)遞減的，

4分當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)遞增的，

5分則x＝1是f(x)極小值點(diǎn)，所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=

6分（Ⅱ）證明

設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，則F′(x)＝x＋－2x2＝，

8分當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，

9分故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)遞減的，

10分又F(1)＝－<0，

11分∴在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立.因此，當(dāng)a＝1時(shí)，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的下方．12分