1Al歐陽(yáng)索引創(chuàng)編1Al

輔導(dǎo)：弧長(zhǎng)和扇形的圓錐的側(cè)面積和全面積歐陽(yáng)百（2021.03.07）一、弧長(zhǎng)和扇形的面積：『活動(dòng)一』因?yàn)榈膱A心角所對(duì)弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)=2，所以圓心角所對(duì)的弧是.樣，在半徑為的中，的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=.『活動(dòng)二』類比弧長(zhǎng)的計(jì)公式可知：在半徑為R的中，圓心角為的扇形面積的計(jì)算公式為『活動(dòng)三』扇形面積的另個(gè)計(jì)算公式比較扇形面積計(jì)算公式與長(zhǎng)計(jì)算公式，可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形n

n面積的計(jì)算公式：=360為S=，面可得扇形積的另一計(jì)算公式：二、圓錐的側(cè)面積和全面積：S．圓錐的基本念：的線段SA、…叫做圓錐

l的母線，

h的線段叫做圓錐的高．

1

r

A錐中各元素與它的側(cè)面展開圖—形的各元素之間的關(guān)系：將圓錐的側(cè)面沿母線

l剪開，展開成平面圖歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

O

r

1111歐陽(yáng)索引創(chuàng)編1111

形，可以得到一個(gè)扇形，圓錐的底面半徑為r這扇形的半徑等于，扇形弧長(zhǎng)等于．．圓錐側(cè)面積算公式圓錐的母線即為扇形的半，而圓錐底面的周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)，1這樣，圓錐側(cè)扇

2·2=．圓錐全面積算公式2=lr圓錐全圓錐側(cè)圓錐底面三、例題講解：例1（2011德州，分）母線長(zhǎng)為2底面圓的半徑為1的圓錐的側(cè)面積為．例2（2011年?yáng)|省東營(yíng)市，，9）如圖，已知點(diǎn)ABCD均已知圓上，∥BD分∠ABC∠=120°四邊形ABCD周長(zhǎng)為15（1求此圓的半徑；（2求圖中陰影部分的面積．例3（廣，）如圖，在平面直角標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4），⊙P的半徑為2將⊙P沿x軸右移4個(gè)單位長(zhǎng)得⊙P．（1畫出⊙，直接判斷⊙P⊙P位置關(guān)系；（2設(shè)⊙與x軸半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為，，求劣弧與成的形的面積（結(jié)果保留．歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

BAB歐陽(yáng)索引創(chuàng)編BAB

－－5－－

y－2－11－－2－3

四、同步練習(xí)：、（2012北海，3）圖，在邊長(zhǎng)為1的正方組成的網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，eq\o\ac(△,)繞順針旋轉(zhuǎn)60°則頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：

（）A．10．

103

．

103

．A

A

D2、O（2012北海,12，3ODFC分如，等邊ABC第圖的

B

第2題圖

C

周長(zhǎng)為π半徑是（第）的⊙O從相切于點(diǎn)D的置出發(fā)，在ABC外按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，回到與相于點(diǎn)D位置，則⊙O自了A．D5

（）B

C4周3（2012湖北咸寧，7，分）如，⊙O的外切正六邊形的長(zhǎng)為2則圖中陰影部分的面積為（）．歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

232歐陽(yáng)索引創(chuàng)編232

A．

3

π．

3

2πC．

3

πD

3

2π34（四川內(nèi)江，8，3分）圖2是⊙O直徑，弦CDAB∠＝30°CD為（）

，陰影部分圖形的面積A．πB2πC．πD．

23

第11題C

第題A

O

BD圖5（2012·湖南省張家界市·14題3分）已圓錐的底面直徑母線長(zhǎng)都是１０

，則圓錐的側(cè)面積、（哈爾濱，題號(hào)16分3）個(gè)錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為8

，則這個(gè)圓錐的底面圓的徑是．7、（2012蘇省淮安市，，3分）若圓的底面半徑為2cm母線長(zhǎng)為5，則此圓錐的側(cè)面積為cm．8（四川達(dá)州，11，分）圓錐的底面半徑為，線長(zhǎng)為6則它的側(cè)面積是.（不取近似值）、（2012年廣西玉林，16，3）圖矩形內(nèi)接于扇形，當(dāng)CNCO時(shí)∠度數(shù)是10(2012廣中考試題第15題分)圖6eq\o\ac(△,)的位于l，AC=

，∠ACB

，∠

，RtABC由在的位置向右無(wú)滑動(dòng)地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)A第3次歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

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在直線上l時(shí)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線的長(zhǎng)________________（結(jié)果用含表示．A11、（2011丹東，14，分）圖將半徑為的圓形紙剪掉三分之一，余下部分成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則

圖

l12（州陽(yáng)，23，10分如圖在⊙O中直=2切O于，BC交⊙O于D若∠=45°則

BO

D（1BD長(zhǎng)是；（5）（2求陰影部分的面積.5分

A第12題

C13（浙江省義烏市，，8分如圖,知AB是O的徑點(diǎn)CD在⊙上,點(diǎn)⊙外∠=∠D=60°.（1求∠的數(shù)（2求證：AE是⊙的線；（3當(dāng)時(shí)求劣弧AC的

D

BCOAE14、（年吉林省，第題、分．）如，在扇形中，∠=90°半徑=6將扇形OAB過(guò)點(diǎn)的線折疊．點(diǎn)恰落在弧AB點(diǎn)D處折交于，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積．15（肅州，25，分）圖，在單位長(zhǎng)度為正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格的交點(diǎn)AB.歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

（1請(qǐng)完成如下操作：①點(diǎn)O為點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平直角坐標(biāo)系；用尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的置（不用寫作法，保留圖痕跡），并連結(jié)AD.（2請(qǐng)?jiān)冢?的基礎(chǔ)上，完成下列問(wèn)題：①出的坐標(biāo)：、D；②⊙D半徑（結(jié)果保留根號(hào)）；③扇是一圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面面積為（結(jié)果保留）；④（7，），試判斷直EC與⊙D的置關(guān)系并說(shuō)你的理由.ACO參考答案例1考點(diǎn)錐的計(jì)算。題計(jì)算題。分析：計(jì)算出底面圓的周長(zhǎng)，它于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)，而母線長(zhǎng)為扇形的半，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．解答：：∵圓的面圓的半為，∴的底面圓周長(zhǎng)π，歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

AOD歐陽(yáng)索引創(chuàng)編AOD

∴錐側(cè)面積=π．答案為2π點(diǎn)評(píng)：本考查了圓錐的側(cè)面積式：=

lr

．圓錐側(cè)面展開圖為扇形，底面圓的周長(zhǎng)等扇形的弧長(zhǎng)，母線長(zhǎng)為扇形的半徑．例2考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；圓心、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．專題：幾何圖形問(wèn)題．分析：（1根條可證四形等腰梯形，且ABADDC∠DBC，在直角中是的直徑=2，根據(jù)四邊形ABCD的長(zhǎng)為，即求得BC即可得到圓的半徑；（2根據(jù)S=－陰影形

eq\o\ac(△,)

即可求解．解答：解：（）∵AD∥BC∠∴∠ABC．又∵BD平∠ABC∴ABD∠=∠ADB∴

，∠BCD=60°∴AB=ADDC∠DBC又在直eq\o\ac(△,)中是的直徑，BCDC∴+BC=15∴=6∴圓半徑為．（2設(shè)的點(diǎn)為，由（1可知O即圓．接，OD過(guò)O⊥AD于E33在直角AOE中∠=30°∴OEOAcos

2

AOD歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

11111歐陽(yáng)索引創(chuàng)編11111

3

．∴

陰影

扇形A

-S

363--3=24點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了扇的面積的計(jì)算，正確證得四邊形等腰梯形，是解的關(guān)鍵．例、點(diǎn)：與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算分析：）根據(jù)題意作圖即可求答案，注意圓的半徑為；（）首先根據(jù)題意求得扇形eq\o\ac(△,)BP的面積，再作差即可求得劣弧錯(cuò)誤！未找到引用源。與AB圍成的圖形的面．解答：1如圖：∴⊙與⊙的置系外；（2如圖：∠A，APB∴

扇BPA

360=

AP1∴弧弦AB圍的圖形的面積為﹣．點(diǎn)評(píng)：此題查了圓與圓位置關(guān)系以及扇形面積的求解方法．題目難度不大，解題關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．四、、【解析】△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑是以C為圓心為半徑，圓心角為的，根據(jù)弧長(zhǎng)公式l

，可求路徑長(zhǎng)為

103【答案】C歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

2COB歐陽(yáng)索引創(chuàng)編2COB

【點(diǎn)評(píng)】考查的知識(shí)點(diǎn)有網(wǎng)格中的勾股定理求），圖形的旋轉(zhuǎn)，公式

l

。中等難度的題型。2、【解析】三角形的周長(zhǎng)恰好是圓周長(zhǎng)的三倍，但是圓在點(diǎn)A、、處分別旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，沒(méi)有滾動(dòng)，在三個(gè)頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度之和是三角形的外角和。所以⊙自了圈。【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題最容易出錯(cuò)的地方就是在頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，難度較大。如果學(xué)生能動(dòng)手操作一下，正確答案就來(lái)了。、【解析】中陰影部分的面積等：三角形AOB面－扇形面積，不難知道，?為邊三角形，可求?AOB邊上的高是扇形心角＝60°半徑＝3，而1陰影部分的面積是2

2×2×360＝

3

π，故選A【答案】A【點(diǎn)評(píng)】題著重考查了扇面積的計(jì)算及解直角三角形的知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合想，有一定綜合性，難度中等．、【解析】下所，與CD的交為E由徑CE定理知CE

而∠COB∠＝60°所

OCsin60＝2，OE

12

OC1，接下發(fā)OE，可證△≌△BED所S歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

1＝＝6陰影扇

2

23．

歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

A

COED圖2

B【答案】D【點(diǎn)評(píng)】圓有關(guān)性質(zhì)是中考高頻考點(diǎn)，而圖形面積也是多數(shù)地方必考之處，將它們合可謂珠聯(lián)璧合．解答此題需在多處轉(zhuǎn)化：一是將陰影面積轉(zhuǎn)為扇形面積問(wèn)題解決；二是由圓周角度數(shù)求出圓心角度數(shù)；三發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形，這一點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10、【分析】==側(cè)

2

π【解答】π1【點(diǎn)評(píng)】圓錐的側(cè)面積S=側(cè)

2

lπrl其r是錐底面圓的半徑，l母線的長(zhǎng)）6、【析】題考查圓錐展開圖及側(cè)積計(jì)算公式半徑為r，錐側(cè)面即展開圖扇形的面積，據(jù)S扇2lR,即8=2×2得r【答案】【點(diǎn)評(píng)】解決圓錐的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要握好兩個(gè)相等關(guān)系：圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的徑等圓錐的母線長(zhǎng)，扇形的弧長(zhǎng)l

等于圓錐的底面周長(zhǎng)

2r

．幾乎所有圓錐計(jì)算問(wèn)題是從這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系入手解決的．7、解】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式=計(jì)，此圓錐的側(cè)面積歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

π×2×5=10答案】π【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查有扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：①錐母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的形半徑；②圓的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)．正確這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．、解析：圓錐側(cè)面積可由公式來(lái)求，這里=6lπ因此π答：π點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的面展開及其側(cè)面積的求法，初步考查學(xué)生的空間觀點(diǎn)，注意本不要與全面積相混淆。、分析：首先接，由矩形的性質(zhì)可eq\o\ac(△,得)BOC是角三角形，又由ON=2OC∠度數(shù)，又由圓周角定理求得∠NMB度數(shù)．解答：解：連接，∵CO=ONOC∵邊OC1OABC是形，∴BCO，∴∠=OB1

，∴∠，∴NMB∠=30°故答案為：30°點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角理、矩形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值．此題難度適中，注輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10思導(dǎo)引：確定路線長(zhǎng)度由于路線是圓弧，因此確定旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)半徑是解決問(wèn)的關(guān)鍵，

＋3

；120

解析：計(jì)算斜邊長(zhǎng)度是2第一次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度

，歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

22歐陽(yáng)索引創(chuàng)編22

第二次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度是

90120180180

，第三次經(jīng)路線度與第二次經(jīng)路線長(zhǎng)度同，也是903120180180

，所以當(dāng)點(diǎn)三次在直線l時(shí)，經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度是120180

9031204＋180180）=

＋

4＋=33

點(diǎn)評(píng)：解答旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計(jì)算連續(xù)的弧問(wèn)題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長(zhǎng)之和計(jì)算.11考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：算出圍成圓錐的扇的弧長(zhǎng)，除以π即圓的面徑，利用勾股定理即可求圓錐的高．解答：解：圍成圓錐的弧為

1360(1)3180=4πcm，∴錐的底面半徑為4÷2=2cm∴錐高為3cm故答案為1cm點(diǎn)評(píng)：考查圓錐的計(jì)算；到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)．、解析：（1由切⊙O于A得∠，再結(jié)合∠，得∠B=45°.連AD則由直徑AB，∠ADB=90°.故BDAB45°=2×cos45°=的面積等于△的積.歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

；（2）用代換得到陰影部分

歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

解：（1填

；（2由（）得，=BD.∴弓BD的面積弓形AD的積故影部分的面積eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)的積.1

1∵CD=AD==

，∴

eq\o\ac(△,)ACD

2AD

即陰影部分的面積是點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及割補(bǔ)法，法較多，有利于考生從自己的角度獲取解題方法，中等偏下難.13、【析】（1）據(jù)相等的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角相等，得∠=∠D。（2）徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，則三角形內(nèi)角和為得出∠BAC的小，繼得的大小為，即AE是⊙O的線（）由題意易知，等邊三角形，由劣弧對(duì)的圓心角可求出劣弧AC的。20解：（）∵∠與D都弧所的周角∴∠=∠D………2分（

2

）

∵

是

⊙

的

直

徑∴∠……3分∴∠=30°∠=BAC60°=90°………………4分歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

＋

∠EAC

＋

歐陽(yáng)索引創(chuàng)編

即

⊥

∴AE

是

⊙

的

切線……………………5分BD

COAE（3如，連結(jié)OC=,ABC=60°∴△等邊三角形∴=∠BOC=60°∴=120°……………7分∴

劣

弧

的

長(zhǎng)

為120180

………8分【點(diǎn)評(píng)】題考查圓弧的長(zhǎng)與其對(duì)應(yīng)的心角、圓周角的關(guān)系，及三角形的內(nèi)角和為。相等的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角圓心角相等．14、【析】陰部分的周長(zhǎng)包括線段ACCD的和AB的長(zhǎng)．由折疊的性質(zhì)可知