他戰(zhàn)裔考人抽敢

圓錐曲線滿分之路

專題1待定系數(shù)求方程，幾何轉(zhuǎn)至代數(shù)中

求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法+方程思想；②設(shè)而不求十韋達(dá)定理；③

第二定義+數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法+方程思想。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何

性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到

圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲

線問題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐

標(biāo)和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于X的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表

示出來，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。

不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問題，通過解方程解出參數(shù)值，

即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線的定.義與性質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代

數(shù)問題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.

【典例指引】

類型一待定系數(shù)法求橢圓方程

例1【2014年全國(guó)課標(biāo)口,理20】設(shè)乙工分別是橢圓今+A=1(。＞。＞0)的左右焦點(diǎn)，

M是C上一點(diǎn)且知心與X軸垂直，直線M耳與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

(I)若直線MN的斜率為看，求C的離心率；

(n)若直線MN在y軸上的截距為2,且|跖V|=5|耳，求a,b.

2

類型2參數(shù)法求橢圓方程

22

例2.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為a+==1(。＞人＞0)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為3。)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為,(0,6)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足怛M|=2|K4|,直線0M的

斜率為哥.

(I)求E的離心率e;

(II)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為［求

E的方程.

3

類型3設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理求拋物線方程

例3【2013年高考數(shù)學(xué)湖南卷】過拋物線E：V=2P義p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為,淑的兩條不

同的直線44，且匕+&=2,4與E相交于點(diǎn)A,B,4與E相交于點(diǎn)C,D.以AB,CD為直徑的

圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為/.

(I)若9>0,>>0，證明；FMFN<2P2；

(II)若點(diǎn)M到直線I的距離的最小值為管，求拋物線E的方程.

4

類型4待定系數(shù)法求拋物線方程

例4(2012全國(guó)課標(biāo)理20).設(shè)拋物線C:x2=2py(〃>0)的焦點(diǎn)為E，準(zhǔn)線為/,A為

。上一點(diǎn)，已知以E為圓心，而為半徑的圓尸交/于8,0兩點(diǎn).

(I)若NBFD=90°,MBD的面積為4及，求p的值及圓F的方程；

(口)若A,B,尸三點(diǎn)在同一條直線〃?上，直線〃與/"平行，且〃與。只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐

標(biāo)原點(diǎn)到加，〃距離的比值

5

【擴(kuò)展鏈接】

1.焦點(diǎn)三角形面積公式：圓錐曲線的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)

在盧小丫,(1)若P在橢圓上，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為％明=〃tan)

(2)若P在雙曲線上，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為5M明=二.

tan-

2

22

2.橢圓2+方=1(a>b>0)的焦半徑公式：

\MFl\=a+ex()t\MF2\=a-ex()(Fl(-c90)r6(c,0)加(/,%))?

6

【同步訓(xùn)練】

22

1,設(shè)橢圓c：￡+卷=1(〃＞。＞())的左右焦點(diǎn)分別為￡,F,,下頂點(diǎn)為B,直線BF2的方

程為

(I)求橢圓。的離心率；

(n)設(shè)p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，到直線的距離為&b,且三角形的面積為

PBF2PFXF2

1,求橢圓c的方程；

2.已知拋物線c：/=2py(〃＞0)和定點(diǎn)M(O,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),

拋物線。在A6處的切線交點(diǎn)為N.

(I)若"在以AB為直徑的圓上，求p的值；

(II)若三角形A8N的面積最小值為4,求拋物線。的方程.

7

3.已知拋物線C：丁=24（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，直線2%-丁+2=0交拋物線C于A、8兩點(diǎn),

P是線段A3的中點(diǎn)，過P作*軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)0.

（1）。是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡（T，3）,若直線A8過焦點(diǎn)/，求。目+|煙的最小值；

uiruunurun

（II）是否存在實(shí)數(shù)P，使2QA+。8=2Q4@?若存在，求出P的值；若不存在，說明理曲

4.設(shè)直線/:y=k[x+1）與橢圓*+3/=用（a>0）相交于48兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交

于點(diǎn)C,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（工）證明：〃〉事4k2;

（□）若位=2而，△048的面積取得最大值時(shí)橢圓方程.

8

5.已知點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，A,B是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且AABF是正三角形.

(I)求橢圓C的離心率；

(n)直線I與以AB為直徑的圓0相切，并且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為273，求橢圓c

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

6.如圖，橢圓Ca>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，且|AB|=

尊B(yǎng)F|.

(I)求橢圓C的離心率；

(II)若點(diǎn)M(-1|,得)在橢圓C內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線I交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，M為線

段PQ的中點(diǎn)，且OPJLOQ.求直線I的方程及橢圓C的方程.

9

2

7.已知A、B分別為曲線C:%+y2=l(a>0)與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線I過點(diǎn)B且與

x軸垂直，P為I上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，連結(jié)AP與曲線C交于點(diǎn)M.

(I)若曲線C為圓，且|BP|=￥,求弦AM的長(zhǎng)；

(II)設(shè)N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，若0、N、P三點(diǎn)共線，求曲線C的方程.

8.若橢圓ax2+by2=l與直線x+y=l交于A、B兩點(diǎn)，且1AB|二2近，又M為AB的中點(diǎn)，若

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0M的斜率為自，求該橢圓的方程.

10

22

9,已知直線x+尸1=0與橢圓三+01(a>b>O)相交于48兩點(diǎn)，線段48中點(diǎn)例在直線

I:y=L上.

2

(I)求橢圓的離心率；

(II)若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓解+必=1上,求橢圓的方程.

10.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，MBC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且MBC

的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線I的方程為4x+j-20=0.

(I)求拋物線C的方程；

(II)若。是坐標(biāo)原點(diǎn)，P,Q是拋物線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足PO±OQ,證明：直線P。過

定點(diǎn).

11

11.已知拋物線V=2pMp>0)的焦點(diǎn)為尸斜率為|?的直線/與該拋物線交于AB月存在實(shí)數(shù)人,

使AF+；LBE=O,\AB\=彳.

(I)求該拋物線的方程；

(II)求AA08的外接圓的方程.

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專題2動(dòng)點(diǎn)軌跡成曲線，坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵

【題型綜述】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡問題解題策略一般有以下幾種：

(1)直譯法：一般步驟為：①建系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn)，設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);③

列式，列出動(dòng)點(diǎn)P所.滿足的關(guān)系式；④代換，依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)

化為x,y的方程式，并化簡(jiǎn)；⑤證明，證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

(2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫,出動(dòng)點(diǎn)的軌跡

方程；

⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)門＞,勿依賴于另一動(dòng)點(diǎn)0次，次)的變化而變化，并且Q*),乂))

又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示府，yo,再將迎，乂)代入已知曲線得要求的軌

跡方程；

⑷參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Rx,勿坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將X,

P均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.

2.解軌跡問題注意：

(1)求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明

軌跡的形狀、位置、大小等.

(2)要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而

不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).

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【典例指引】

類型一代點(diǎn)法求軌跡方程

例1【2017課標(biāo)n,理】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)例在橢圓U5+尸=1上，過例作X軸的

垂線，垂足為/V,點(diǎn)戶滿足NP=6NM。

⑴求點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且。PPQ=1。證明：過點(diǎn)"且垂直于OQ的直線/過U的左焦點(diǎn)

F。

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類型二定義法求軌跡方程

例2.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓/+丁+2%-15=0的圓心為4直線/過點(diǎn)8(1,0)且與X

軸不重合,/交圓/于C。兩點(diǎn)過8作ZU的平行線交力。于點(diǎn)E.

(I)證明|"|+怛叫為定值，并寫出點(diǎn)￡的軌跡方程；

(II)設(shè)點(diǎn)￡的軌跡為曲線G,直線/交G于例/V兩點(diǎn)，過8且與/垂直的直線與圓力交于UQ

兩點(diǎn)，求四邊形例戶/VQ面積的取值范圍.

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類型三參數(shù)法求軌跡方程

例3[2016高考新課標(biāo)m文數(shù)]已知拋物線C:>2=2》的焦點(diǎn)為/，平行于X軸的兩條直線44分

別交。于A,8兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于.P,。兩點(diǎn).

(I)若R在線段上,R是PQ的中點(diǎn)，證明AR//FQ；

(II)若AP。/7的面積是的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

類型四直譯法求軌跡方程

例4.已知?jiǎng)訄A。過點(diǎn)。(1,0)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2.

(I)求圓心。的軌跡方程；

(n)過點(diǎn)。(1,0)的直線/交軌跡。于4(%,乂),3(毛,為)兩點(diǎn)，證明:I-----[7+1-----[7為定值，并

|2A|2\QB\~

求出這個(gè)定值.

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【擴(kuò)展鏈接】

1.若一個(gè)圓G內(nèi)含于另一個(gè)圓。2，則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓

的圓心為焦點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為兩圓半徑之和；

2.在一個(gè)圓內(nèi)有一點(diǎn)，則過該點(diǎn)且與已知圓相切的圓的圓心的點(diǎn)的軌跡為一橢圓，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

已知圓的半徑。.

3.過兩點(diǎn)的兩條直線的斜率之積為一負(fù)常數(shù)，"的點(diǎn)的軌跡為一橢圓（兩點(diǎn)除外）。兩定點(diǎn)為橢圓

的頂點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離為長(zhǎng)軸長(zhǎng)。（-1＜加＜0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)加＜-1時(shí)，焦點(diǎn)在y軸

上）

4.將圓的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）拉伸或縮短為原來的加倍，該圓變成橢圓；

5.連接圓內(nèi)一定點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的線段的垂直平分線與圓上該點(diǎn)到圓心的連線的交點(diǎn)的軌跡為

一橢圓。方橢圓的長(zhǎng)半軸與圓的半徑長(zhǎng)相等；

6.兩個(gè)同心圓較大圓上任一點(diǎn)與圓心的連線與小圓交于一點(diǎn)，從大圓上該點(diǎn)作x軸的垂線，則

過小圓交點(diǎn)向該垂線作垂線，其垂足的點(diǎn)的軌跡為橢圓。

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【同步訓(xùn)練】

1.在平面直角坐標(biāo)系皿y中，設(shè)點(diǎn)尸(1，0),直線/:x=T,點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)，/?是線段

PF與)，軸的交點(diǎn)，異于點(diǎn)/?的點(diǎn)Q滿足：RQ±FP,PQLI.

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；

(2)記。的軌跡的方程為E,過點(diǎn)E作兩條互相垂直的曲線E的弦AB.CO,設(shè)AB.CD的

中點(diǎn)分別為M，N.問直線MN是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，說明理由.

2.已知點(diǎn)A為圓/+y?=8上一動(dòng)點(diǎn),AN1x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足0Q=mOA+(1-m)0N(其

中TH為非零常數(shù))

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)若「是一個(gè)中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且面積為8的正方形，當(dāng)機(jī)=日時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的

軌跡為曲線C，過點(diǎn)P(-4,0)的直線/與曲線C相交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)線段EF的中點(diǎn)落在正方形「內(nèi)(包

括邊界)時(shí)，求直線1斜率的取值范圍.

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3.在直角坐標(biāo)系中，已知定圓M:(x+l)2+V=36，動(dòng)圓N過點(diǎn)廠(1,0)且與圓M相切，記動(dòng)

圓圓心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)設(shè)A,P是曲線。上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為8(異于點(diǎn)P),若直線分別交x軸于

點(diǎn)S,T,證明：|0期0刀為定值.

22

4.已知圓G：/+y=r(r>0)與直線，o：y=|x+|而相切，點(diǎn)A為圓Q上一動(dòng)點(diǎn)，AN1%軸

于點(diǎn)N,且動(dòng)點(diǎn)M滿足而+2AM=(2V2-2)麗，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程；

(2)若直線/與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)0,求線段PQ長(zhǎng)

度的取值范圍.

19

2

5.已知橢圓?+丁=1,過點(diǎn)M(-1,0)作直線/交橢圓于AB兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求AB中點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)求△045的面積的最大值,并求此時(shí)直線/的方程.

6.已知圓。:尤2+丁2=4與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為圓。上異于A,B的任意一點(diǎn)，圓。在點(diǎn)M處的

切線與圓。在點(diǎn)A,6處的切線分別交于C,。,直線AO和6C交于點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)曲線E與)，軸正半軸交點(diǎn)為〃，則曲線E是否存在直角頂點(diǎn)為”的內(nèi)接等腰直角三角形

Rt\GHK,若存在,求出所有滿足條件的心AGHK的兩條直角邊所在直線的方程，若不存在,請(qǐng)說

明理由.

20

7.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)耳(-30),圓月:/+/一2后一13=0,以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓

經(jīng)過點(diǎn)耳，且圓P與圓F2內(nèi)切.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(n)若直線/過點(diǎn)(1,0),且與曲線E交于A8兩點(diǎn)，則在X軸上是否存在一點(diǎn)。Go)"/0),

使得x軸平分ZAT出?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.已知點(diǎn)4(1,0)、3(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足歸卻=2|削，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，將曲線C上所有

點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑱M坐標(biāo)不變，得到曲線￡

(1)求曲線E的方程；

(2)A,6是曲線E上兩點(diǎn)，且|=2,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MOB面積的最大值.

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9..已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為卜加,0),(夜，°)，直線加相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是

-,，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

2

(I)求￡的方程；

(n)過點(diǎn)*1,0)作直線/交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若RP=4PF,RQ=&QF,

證明：4+4為定值.

22

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，,N(X2，%)是橢圓?+'=1上的點(diǎn)，且3+2y%=。，設(shè)

動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OM+2ON.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。方程；

(2)若直線/:y=x+，MmwO)與曲線C相交于A,3兩個(gè)不同點(diǎn)，求AOAB面積的最大值.

22

11.已知圓C:（x-l）2+/=，（〃>1），設(shè)A為圓。與X軸負(fù)半軸的交點(diǎn)過點(diǎn)A作圓。的弦40,

并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上.

（I）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（口）延長(zhǎng)MC交曲線E于點(diǎn)N，曲線E在點(diǎn)N處的切線與直線AM交于點(diǎn)8，試判斷以點(diǎn)8為

圓心，線段8C長(zhǎng)為半徑的圓與直線MN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

12.已知點(diǎn)M（-3,0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)。在x軸的正半軸上，點(diǎn)N在直線PQ上,且滿足

MPPN=G,PN=；NQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在），軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)做直線/與軌跡C交于兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（$,0），使得AAEB是

以點(diǎn)上為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線/的斜率左的取值范圍.

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專題3圖形面積求最值，函數(shù)值域正當(dāng)時(shí)

【題型綜述】

1、面積問題的解決策略：

(D求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長(zhǎng)度，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用

坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底(或高)

(2)面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如

果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形

2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同

底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化

3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底

找高的過程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)單，便于分

析

【典例指引】

22/T

例1已知橢圓C*+]=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為M(O,-1)，離心率為三，直線/:丁=而+加

(左。0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若存在關(guān)于過點(diǎn)M的直線，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于該直線對(duì)

稱.

(I)求橢圓C的方程；

(II)求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(III)用，"表示AMAB的面積S,并判斷S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，

說明理由.

24

變式與引申：若過點(diǎn)M的直線交橢圓于D,求四邊形MADB的面積的取值范圍.

22/y

例2、已知橢圓，+方=1(。＞"0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為用入，離心率0=與，短軸長(zhǎng)為

2.

(1)求橢圓的方程；

(2)點(diǎn)A為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn))，AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn),A0的延長(zhǎng)線與

橢圓交于。點(diǎn)，求面積的最大值.

25

例3、已知點(diǎn)A(-4,4)、B(4,4),直線AM與BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM

的斜率之差為-2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)Q為直線y=-1上的動(dòng)點(diǎn)，過Q做曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E,求AQDE的面積S的最

小值.

22

例4、已知橢圓C：\r+與v=1(。＞。＞0)的焦距為2,離心率e為1L

a2b22

(I)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)過點(diǎn)P乍圓f+丁=g的切線，切點(diǎn)分別為知、N,直線與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作

直線/交橢圓C于46兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于v軸的對(duì)稱點(diǎn)為G,求^GAB面積的最大值.

26

【擴(kuò)展鏈接】

橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式：

22n

(1)橢圓：設(shè)P為橢圓下方=1("＞。＞0)上一點(diǎn)，且4歲=。，則Spg=/ta吟

V2V21

(2)雙曲線：設(shè)「為雙曲線，一今=1(9〉0)上一點(diǎn)，且〃尸M=。,則S=戶?展

b~I?)

tan—

2

【同步訓(xùn)練】

22/T

1.已知橢圓C：5r+}=1(。＞。＞0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率為半，直線/：y=京+加與

橢圓。交于A,8兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線通過點(diǎn)(0,-￡|.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)AOB(。為坐標(biāo)原點(diǎn))面積取最大值時(shí)，求直線/的方程.

27

2.已知拋物線E：V=8x,圓M:(x-2)2+丁=4，點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求拋物線C的方程；

(2)點(diǎn)。5，x)(j25)是曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)。作圓M的兩條切線，分別與K軸交于A3兩點(diǎn)

求AQAB面積的最小值.

22

3.已知橢圓69+a=1(4">0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20,左焦點(diǎn),若過點(diǎn)8(-2。,0)的直線

與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：4MFB+NNFB=TU；

(3)求AFMN面積S的最大值.

28

4.已知點(diǎn)A（0,-2）,橢圓吟+￡=1（。>〃>0）的離心率為//是橢圓的焦點(diǎn)，直線河的

斜率為半,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線/與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時(shí)，求直線/的方程.

5.在平面直角坐標(biāo)系中,4（-2,0）,5（2,0）,P（工,?。M足尸&+「3=16,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為G，

從C,上一點(diǎn)。向圓G：f+產(chǎn)=/（=>0）作兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,且NMQN=60.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程和廣；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在第一象限時(shí)，連接切點(diǎn),分別交X,），軸于點(diǎn)C,。,求△OQ）面積最小時(shí)點(diǎn)。

的坐標(biāo).

29

22/y

6.如圖，已知橢圓E：5+與=1(?！?gt;0)的離心率為咚，A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到

a2b22

短軸端點(diǎn)的距離為2,P、。為橢圓E上異于A、8的兩點(diǎn)，且直線8。的斜率等于直線AP斜率的

2倍.

(I)求證：直線族與直線BQ的斜率乘積為定值；

(II)求三角形APQ的面積S的最大值.

7.已知橢圓C：，+，=l(a>“0)經(jīng)過點(diǎn)尸(1,孝),離心率ej.

(I)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)過點(diǎn)石(0,-2)的直線/與橢圓。相交于P、。兩點(diǎn)，求AOPQ的面積的最大值。

30

8.如圖，已知拋物線G：/=20?的焦點(diǎn)在拋物線G：y=f+1上，點(diǎn)尸是拋物線(；上的動(dòng)點(diǎn).

(I)求拋物線G的方程及其準(zhǔn)線方程；

(II)過點(diǎn)。作拋物線G的兩條切線，A、8分別為兩個(gè)切點(diǎn)，求APAB面積的最小值?

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F.(-1,0)，離心率e=^.

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線L:y=kx+mi與橢圓G交于A,B兩點(diǎn)，直線12:y=kx+m2()與橢圓G交于C,

D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|,如圖所示.

①證明：m1+m2=0；

②求四邊形ABCD的面積S的最大值.

31

10.已知橢圓G:]+%=1(。>0>°粕短軸長(zhǎng)為2以M為中點(diǎn)的弦AB經(jīng)過左焦點(diǎn)耳(-1,0),

其中點(diǎn)M不與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，射線OM與以。圓心的圓交于點(diǎn)P.

(I)求橢圓G的方程；

(II)若四邊形。4PB是矩形，求圓。的半徑；

(III)若圓。的半徑為2,求四邊形。4PB面積的最小值.

32

專題4目標(biāo)范圍與最值，函數(shù)處理最相宜

【題型綜述】

圓錐曲線中的目標(biāo)取值范圍與最值問題關(guān)鍵是選取合適的變量健立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化函數(shù)的

取值范圍與最值問題，其求解策略一般有以下幾種：①幾何法：若目標(biāo)函數(shù)有明顯幾何特征和意

義，則考慮幾何圖形的性質(zhì)求解：②代數(shù)法：若目標(biāo)函數(shù)的幾何意義不明顯，利用基本不等式、

導(dǎo)數(shù)等方法求函數(shù)的值域或最值，注意變量的范圍，在對(duì)目標(biāo)函數(shù)求最值前，常要對(duì)函數(shù)進(jìn)行變

換，注意變形技巧，若一個(gè)函數(shù)式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，

則可以通過換元的方法把其轉(zhuǎn)化為分母為二次式、分子為一次式的函數(shù)式，這樣便于求解此函數(shù)式的最值.

【典例指引】

類型一角的最值問題

例112017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系g中，橢圓E的離心率為4,

焦距為2.

(I)求橢圓E的方程；

(n)如圖，動(dòng)直線/:尸板-暫交橢圓E于A8兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為期,

且他邛，"是線段"延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|明：|明=2:3,圓M的半徑為照|,OS6是圓M

的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T.求NSOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線/的斜率.

33

類型二距離的最值問題

例2.12017浙江，21］（本題滿分15分）如圖，已知拋物線d=y，點(diǎn)4」,），,

2424

13

拋物線上的點(diǎn)P（無,y）（-.過點(diǎn)8作直線力"的垂線，垂足為Q.

（I）求直線/戶斜率的取值范圍；

（口）求|PA|?|PQ|的最大值.

34

類型三幾何圖形的面積的范圍問題

例3【2016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分12分)設(shè)圓一+丁+2龍-15=0的圓心為4直線/

過點(diǎn)5(1,0)且與x軸不重合,/交圓2于兩點(diǎn)，過8作/U的平行線交于點(diǎn)E.

(I)證明|必|+怛目為定值，并寫出點(diǎn)￡的軌跡方程；

(II)設(shè)點(diǎn)￡的軌跡為曲線G,直線/交G于例/V兩點(diǎn)，過8且與/垂直的直線與圓力交于UQ

兩點(diǎn)，求四邊形例戶/VQ面積的取值范圍.

35

類型四面積的最值問題

例4.【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分14分)平面直角坐標(biāo)系中，橢圓。：

22/T

3+方=1(心力＞0)的離心率是半，拋物線￡：V=2)，的焦點(diǎn)尸是U的一個(gè)頂點(diǎn).

(I)求橢圓U的方程；

(n)設(shè)尸是￡上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，￡在點(diǎn)戶處的切線/與u交與不同的兩點(diǎn)/,8,線

段力8的中點(diǎn)為D,直線。。與過戶且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

(i)求證：點(diǎn)例在定直線上；

(ii)直線/與P軸交于點(diǎn)G,記△PFG的面積為耳，APDM的面積為S2,求g的最大值及取

得最大值時(shí)點(diǎn)"的坐標(biāo).

36

【擴(kuò)展鏈接】

2

1.過橢f圓=v+與=1（a>0,6>0）上任一點(diǎn)A（x。,%）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C

ab

,一2

兩點(diǎn)，則直線BC有定向且%BC=h"x（常數(shù)）.

a-y0

尤2V2八

2.若橢圓了+方=1（3>0,6>0）與直線/:>=h+加父于4（%,y）,8@2，%），則

(1)△=〃+/女2-〃?2>0

_-2kmcr2mb2

X1+x

2222X+>2222

(2)h+akh+ak

_m2a2-a2b2m2b2-k2a2b2

X]+xXI+x

2b2+a2k22b2+a2k2

22222

2abyj(\+k)(b+ak-m)ab\m\J"+a2k2一

(3)\AB\=

b~+crk2川+a2k2

【同步訓(xùn)練】

22

1.已知橢圓C?+'=1（a>b>0）的離心率e=F,橢圓過點(diǎn)（2倉(cāng)0）

（1）求橢圓。的方程；

（2）直線/的斜率為g,直線/與橢圓。交于A6兩點(diǎn)，已知P（2,l）,求Aft鉆面積的最大值.

37

22

2.已知FL是橢圓器+￡=l(a>&>0)的左、右焦點(diǎn)點(diǎn)P(Te)在橢圓上，為橢圓的離心率，

且點(diǎn)M為橢圓短半軸的上頂點(diǎn)，dMF/2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)尸2作不與坐標(biāo)軸垂直的直線1,設(shè)/與圓/+y2=+匕2相交于兒B兩點(diǎn)，與橢圓相交

于C,。兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)?O=AfiAe1］時(shí),求*CD的面積S的取值范圍.

3.已知橢圓C:/+/=1(。>8>0)的離心率為當(dāng)

短軸長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若%：，求原點(diǎn)。到

直線/的距離的取值范圍.

38

22A

4.已知橢圓C：彳+與=l(q＞8〉0)的左、右焦點(diǎn)分別是大,居，離心率為手,過右焦點(diǎn)F,的直

ab2

線/與橢圓c相交于A、B兩點(diǎn),AFIAB的周長(zhǎng)為8.

⑴求橢圓C的方程；

⑵求△耳4?面積的最大值.

5.已知橢圓。：5+2=1(。＞。＞0)過點(diǎn)［1,用，橢圓。的左焦點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為8,點(diǎn)P是橢

圓。上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且MH+忸P|=4,直線ARB尸與直線y=3分別交于G,”兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程及線段G”的長(zhǎng)度的最小值；

(2)T是橢圓C上一點(diǎn)，當(dāng)線段GH的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求△乃法的面積的最大值.

39

6.已知橢圓。的離心率為有，點(diǎn)A,B,尸分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且

2

S1正

(1)求橢圓c的方程；

(2)已知直線/：丁=履+〃?被圓。：/+產(chǎn)=4所截得的弦長(zhǎng)為，若直線/與橢圓C交于M,

N兩點(diǎn)，求AMON面積的最大值.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系My中，已知圓C:(x+l)~+y2=16，點(diǎn)A(D)，點(diǎn)B(a,0)(|?|>3),

以B為圓心，|網(wǎng)為半徑作圓，交圓。于點(diǎn)P,且ZPBA的平分線交線段CP于點(diǎn)0.

(1)當(dāng)“變化時(shí)，點(diǎn)。始終在某圓錐曲線「上運(yùn)動(dòng)，求曲線7的方程；

(2)已知直線/過點(diǎn)C,且與曲線r交于M,N兩點(diǎn),記AOCM面積為5，AOCN面積為

P>0,0<￡<[,求普的取值范圍.

2S2

40

8.已知拋物線過點(diǎn)(2,1)且關(guān)于)，軸對(duì)稱.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知圓過定點(diǎn)0(0,2),圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)

|國(guó)=蜀。卸=4，求)+5的最大值.

,24

9.已知點(diǎn)/為圓/+y2=8上一動(dòng)點(diǎn),AN1x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足的=mOA+(1-m)0/V(其

中山為非零常數(shù))

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)當(dāng)小=?時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,斜率為-1的直線，與曲線C相交于B，。兩點(diǎn)，求

/08D面積的最大值.

41

10.已知拋物線c：y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,直線狡拋物線c于a(%"1),B(%2/2)兩點(diǎn)，

DQo，yo)為4B的中點(diǎn),且|4F|+\BF\=1+2x0.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若%i%2+yi72=-i/求溫的最小值.

11.已知橢圓巳「+營(yíng)=1(4>8>0)經(jīng)過，離心率為;.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)4尸分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)尸作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求四邊形

OCAO面積的最大值(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

42

12.已知拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在），軸上，拋物線C上一點(diǎn)Q（a,2）到焦點(diǎn)的距離為3,線段A8

的兩端點(diǎn),網(wǎng)9,％）在拋物線。上.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若y軸上存在一點(diǎn)M（O,m）（根＞0），使線段經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，以A8為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),

求，”的值；

（3）在拋物線C上存在點(diǎn)。（0力），滿足與＜%＜X?,若AABD是以角A為直角的等腰直角三角

形，求面積的最小值.

43

專題5參數(shù)范圍與最值，不等解建不宜遲

【題型綜述】

參數(shù)范圍與最值問題解題策略一般有以下幾種：

(D幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)構(gòu)造含參數(shù)的不等式，通過解

不等式解出參數(shù)的范圍和最值.

(2)代數(shù)法：在利用代數(shù)法解決范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的

取值范圍；

②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；

③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；

⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

參數(shù)的范圍問題，是解析幾何中的一類常見問題，解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造含參數(shù)的不等式，通過解不等式求出

參數(shù)的范圍，韋達(dá)定理、曲線與方程的關(guān)系等在構(gòu)造不等式中起著重要作用.

【典例指引】

類型一參數(shù)范圍問題

例1【2016高考江蘇卷】(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤中，已知以M為

圓心的圓A/:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).

(1)設(shè)圓N與*軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)平行于。4的直線/與圓M相交于B,C兩點(diǎn)，且BC=OA,求直線/的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)TQ,。)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和。，使得TA+TP=TQ,,求實(shí)數(shù)f的取值范圍。

44

類型二方程中參數(shù)范圍問題

例2.【2016高考江蘇卷】(本小題滿分10分)

如圖,在平面直角坐標(biāo)系X。/中，已知直線/：x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0)

(1)若直線/過拋物線U的焦點(diǎn)，求拋物線U的方程；

(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線I對(duì)稱的相異兩點(diǎn)戶和Q

①求證：線段"Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為p).;

②求夕的取值范圍.

45

類型三斜率范圍問題

例3[2016高考天津理數(shù)】(本小題滿分14分)設(shè)橢圓￡+==1(a>43)的右焦點(diǎn)為F,

a3

右頂點(diǎn)為A，已知需+4=與，其中。為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.

|OF||OA|\FA\

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于/的直線與/交于點(diǎn)M,

與y軸交于點(diǎn)”，若BhHF,且ZMO4WZM4O,求直線的/斜率的取值范圍.

46

類型四離心率的范圍問題

例4.[2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖，設(shè)橢圓￡+/=1(a>l).

(I)求直線片依+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用汰攵表示)；

(II)若任意以點(diǎn)/(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值.

范圍.

47

L若橢圓方程為J+￡=l（a>b>0），半焦距為c.,焦點(diǎn)耳（—c,O）,g（c,O），設(shè)

過大的直線/的傾斜角為a，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則有：①

MG=---'忸月|=—---；②二z*丁

a-ccosaa+ccosaa-ccosa

->2

若橢圓方程為*■+方=l（a>8>0）,半焦距為c,焦點(diǎn)耳（—c,0）,乙（c,0）,設(shè)

過F?的直線/的傾斜角為a，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則有：①

座|=，一，|叫=---；如卻=?2；J

a+ccosaa-ccosaa-ccosa

同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|=冒，%,（a為長(zhǎng)半軸，b為短半軸，c為半焦距）

2加

（焦點(diǎn)在x軸上）

a-c2cos2a

結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|A8|=<

2ab°

（焦點(diǎn)在y軸上）

a-csin2a

2.過橢圓捺+營(yíng)=1（"6>0）左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為48廁|蝴=24+6（七+%2）；過右焦

點(diǎn)的弦JAq=2。-6（%+x2）.

3.拋物線V=2px（p>0）與直線-、，=區(qū)+人相交于且該直線與y軸交于點(diǎn)C（OM，則

有L_L=L

乂％%

4.設(shè)AB為過拋物線V=2px（p>O）焦點(diǎn)的弦，&玉,％）、B（x2,y2）,直線AB的傾斜角為0,

則

2

?P2

①.中2=丁,必=_，；

P

②.+勺-因

14-COS6

③.|A河=玉+z+〃=

sin0

112

④.-----1-------=-I

\FA\\FB\P

48

2；sin；

⑤.OAOB=-^-p⑥.SMOB=^OA\\OB\ZAOB=--\OF[hF=

422zsinu

【同步訓(xùn)練】

22

1,已知橢圓刈+譽(yù)=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸2(3,0),離心率為e.

(1)若