學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題1.8一題多變利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或曲線交點問題【經(jīng)典母題】設(shè)函數(shù)f(x）＝lnx＋eq\f(m,x）,m∈R.討論函數(shù)g（x)＝－eq\f(x，3)零點的個數(shù)。【遷移探究1】設(shè)函數(shù)f（x)＝lnx＋eq\f(m,x),m∈R。已知函數(shù)g（x)＝－eq\f（x，3）有兩個零點，求m的范圍？【答案】0＜m＜eq\f（2，3)【遷移探究2】若條件改為有零點，求m的范圍？【答案】【解析】由題設(shè)g（x)＝－eq\f（x,3）＝eq\f(1，x）－eq\f（m，x2)－eq\f(x,3)（x＞0），令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3）x3＋x（x＞0).設(shè)φ(x）＝－eq\f（1，3）x3＋x（x＞0)，則φ′（x)＝－x2＋1＝－（x－1)（x＋1），當x∈(0，1)時，φ′(x）＞0，φ(x)在（0,1)上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，φ′（x)＜0，φ(x）在(1,＋∞)上單調(diào)遞減?！鄕＝1是φ（x）的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是φ(x)的最大值點?！唳?x）的最大值為φ(1)＝eq\f(2，3）。又φ(0）＝0,結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)，則當時,函數(shù)g（x)有零點.規(guī)律方法函數(shù)的零點、方程的根、曲線的交點，這三個問題本質(zhì)上同屬一個問題，它們之間可相互轉(zhuǎn)化,這類問題的考查通常有兩類：(1)討論函數(shù)零點或方程根的個數(shù);(2)由函數(shù)零點或方程的根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍。常用兩種方法:(1)運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖象來解決零點問題；(2）將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用方程的同解變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.處理策略：變量分離；直接討論；討論零點個數(shù)的答題模板第一步:求函數(shù)的定義域；第二步：分類討論函數(shù)的單調(diào)性、極值;第三步：根據(jù)零點存在性定理,結(jié)合函數(shù)圖象確定各分類情況的零點個數(shù)?！咀兪接?xùn)練】1.函數(shù)f（x）＝(ax2＋x)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R。(1)當a>0時，解不等式f（x)≤0;（2）當a＝0時,求整數(shù)t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在［t，t＋1］上有解.(2)當a＝0時,方程即為xex＝x＋2,由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等價于ex－eq\f(2,x)－1＝0。令h(x）＝ex－eq\f(2，x)－1，因為h′(x）＝ex＋eq\f（2,x2)>0對于x∈(－∞,0）∪（0，＋∞)恒成立,所以h（x）在(－∞，0）和（0,＋∞）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，又h(1）＝e－3<0,h（2）＝e2－2〉0，h（－3)＝e－3－eq\f(1,3)<0，h(－2)＝e－2〉0,所以方程f(x）＝x＋2有且只有兩個實數(shù)根且分別在區(qū)間[1，2］和［－3，－2]上，所以整數(shù)t的所有值為｛－3，1｝。2．設(shè)函數(shù)，若對于在定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”．若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是（）A。［1﹣，1+)B.[﹣1，2］C。［﹣2,2]D.［﹣2，1﹣]3．定義在上的函數(shù)，滿足，且當時，,若函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍是(）A.B.C。D.【解析】設(shè)，則，因為且當時,,所以,則，4．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足時，，若方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A。B.C.D。要使方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則由圖象可得直線的斜率必須滿足，由題意可得,則，．即有．故選A．5．已知定義在上的函數(shù)，周期為4,當時，當時，函數(shù)有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A。B.C.D.6已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根，則的取值范圍是A。B。C。D.（2,）【解析】函數(shù)，的圖象如圖：

關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根，必須有兩個不相等的實數(shù)根，由函數(shù)圖象可知，令，方程化為：，，開口向下，對稱軸為：，可知:的最大值為:，的最小值為2，故選D.7．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是A。B.C.D?！窘馕觥壳∮袃蓚€零點，等價于與有兩個交點，同一坐標系，畫出與的圖象,直線過時，,直線與，相切時,由圖知，時,兩圖象有兩交點，即的取值范圍是故選C.8．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是（)A。［-1，1）B。[—1，2）C。［-2，2)D。[0，2］9．已知函數(shù)，若正實數(shù)互不相等，且，則的取值范圍為（）A.B。C。D.【解析】函數(shù)，若a,b，c互不相等，且f(a）=f（b）=f(c），如圖，不妨a〈b<c,由已知條件可知：0〈a〈1<b<e〈c〈e2，∵?lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2?1nc∴bc=e2，∴，（1<b<e)，故選A.10．設(shè)函數(shù)的定義域為,若函數(shù)滿足條件:存在，使在上的值域是則稱為“倍縮函數(shù)"，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則的范圍是（）A.B.C。D.【解析】∵函數(shù)f(x）=f(x)=log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”,且滿足存在[a,b]?D,使f（x)在［a，b］上的值域是[],∴f（x）在［a，b]上是增函數(shù)；∴，即，∴a,b是方程2x?+t=0的兩個根，設(shè)m=，則m>0，此時方程為m2?m+t=0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；∴，解得：0〈t<,∴滿足條件t的范圍是（0,)，故選：A.11.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是____________.12.已知函數(shù)（）。（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意的，都有,求實數(shù)的取值范圍。解得：綜上可知,實數(shù)的取值范圍為.（2）由“當時，都有”得：,②∵,故②變形為:當時,不等式②簡化為，此時實數(shù)當時，有∴∴，∵當時，，當且僅當時取等號∴綜上可知,實數(shù)的取值范圍。13.已知函數(shù)（1)若函數(shù)的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍；(2)若