線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/191系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)設(shè)計必須已知數(shù)學(xué)模型本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型辨識方法：由實驗數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時變第三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識本章要點簡介第四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.1連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

模型與MATLAB表示線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型3.1.2線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型3.1.3線性系統(tǒng)的零極點模型3.1.4多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣模型第五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及MATLAB表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為階次，為常數(shù)，物理可實現(xiàn)第六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)的引入

Pierre-SimonLaplace(1749--1827)，法國數(shù)學(xué)家

Laplace變換Laplace變換的一條重要性質(zhì)：若則第七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)表示數(shù)學(xué)方式MATLAB輸入語句第八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)可以表示成兩個多項式的比值，在matlab中，多項式可以用向量表示。將多項式的系數(shù)按s降冪次序排列可以得到一個數(shù)值向量，用這個向量就可以表示多項式。分別表示完分子和分母后，再利用控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)tf（）就可以用一個變量表示傳遞函數(shù)模型。第九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)輸入舉例例3-1輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語句在MATLAB環(huán)境中建立一個變量G第十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19顯示結(jié)果為：Transferfunction:12s^3+24s^2+12s+20-------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+2第十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19另外一種傳遞函數(shù)輸入方法例3-2如何處理如下的傳遞函數(shù)？定義算子，再輸入傳遞函數(shù)第十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19Maltab顯示為：Transferfunction:3s^2+9--------------------------------------------------------------s^7+8s^6+30s^5+78s^4+153s^3+198s^2+140s+40第十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19采用上面第一種方法很容易輸入，方法真直觀，但如果分子或分母多項式給出的不是完全的展開式，而是若干個因式的乘積，則事先需要將其變換為完全展開式的形式，兩個多項式的乘積在matlab中可以用conv（）函數(shù)得出：p＝conv（p1，p2）其中p1和p2是兩個多項式，調(diào)用這個函數(shù)就能返回多項式乘積p如果有3個多項式的乘積，就需要嵌套使用此函數(shù)。第十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19conv的嵌套使用p=conv(p1,conv(p2,p3))或者p=conv(conv(p1,p2），p3)例如上面的例子：num=3*[103];den=conv(conv(conv(conv([121],[105]),[12]),[12]),[12]);G=tf(num,den)第十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19MATLAB的傳遞函數(shù)對象第十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)屬性修改例3-4延遲傳遞函數(shù)，即若假設(shè)復(fù)域變量為，則第十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19傳遞函數(shù)參數(shù)提取由于使用單元數(shù)組，直接用不行有兩種方法可以提取參數(shù)這樣定義的優(yōu)點：可以直接描述多變量系統(tǒng)第i輸入對第j輸入的傳遞函數(shù)第十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.1.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型狀態(tài)方程模型狀態(tài)變量，階次n

，輸入和輸出非線性函數(shù)：一般非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述第十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19線性狀態(tài)方程時變模型線性時不變模型(lineartimeinvariant,LTI)第二十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19線性時不變模型的MATLAB描述MATLAB輸入方法矩陣是方陣，為矩陣為矩陣，為矩陣可以直接處理多變量模型給出矩陣即可注意維數(shù)的兼容性第二十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19獲取狀態(tài)方程對象參數(shù)可以使用ssdata（）函數(shù)[A,B,C,D]=ssdata(G)或者使用G.a命令提取A矩陣。第二十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-5第二十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19帶時間延遲的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型MATLAB輸入語句其他延遲屬性：ioDelay第二十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.1.3線性系統(tǒng)的零極點模型零極點模型是因式型傳遞函數(shù)模型零點、極點和增益零極點模型的

MATLAB表示第二十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-5零極點模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法第二十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19Matlab顯示結(jié)果：Zero/pole/gain:6(s+5)(s^2+4s+8)-----------------------(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)注意，在零極點模型顯示中，如果有復(fù)數(shù)零極點存在，則用二階多項式來表示兩個因式，而不直接展成復(fù)數(shù)的一階因式。第二十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19獲得零極點模型之后，可以給出pzmap（）命令在復(fù)數(shù)平面上表示出該系統(tǒng)的零極點位置，用×表示極點位置，用o表示零點位置。第二十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.1.4多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型傳遞函數(shù)矩陣為第i輸出對第j輸入的傳遞函數(shù)可以先定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義第二十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-7多變量模型第三十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.2線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型單變量系統(tǒng)：差分方程取代微分方程主要內(nèi)容離散傳遞函數(shù)離散狀態(tài)方程第三十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.2.1離散傳遞函數(shù)模型數(shù)學(xué)表示（Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期）算子輸入方法：第三十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-8離散傳遞函數(shù)，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法第三十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19顯示結(jié)果Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.1第三十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19離散延遲系統(tǒng)與輸入數(shù)學(xué)模型延遲為采樣周期的整數(shù)倍MATLAB輸入方法第三十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19H.iodelay=2

Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12z^(-2)*-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.1第三十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19set(H,'ioDelay',3)>>H

Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12z^(-3)*-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.1第三十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記，則第三十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19MATLAB表示方法例3-9第三十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19H=zpk(z,p,1/120,'Ts',0.1)Zero/pole/gain:0.0083333(z-0.5)(z^2-z+0.5)-----------------------------------(z+0.5)(z+0.3333)(z+0.25)(z+0.2)

Samplingtime:0.1第四十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19H=zpk(z,p,1/120,'Ts',0.1,'variable','q')Zero/pole/gain:0.0083333q(1-0.5q)(1-q+0.5q^2)---------------------------------------(1+0.5q)(1+0.3333q)(1+0.25q)(1+0.2q)

Samplingtime:0.1第四十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.2.2離散狀態(tài)方程模型數(shù)學(xué)形式注意兼容性MATLAB表示方法第四十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19離散延遲系統(tǒng)的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型MATLAB表示方法第四十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.3方框圖描述系統(tǒng)的化簡單環(huán)節(jié)模型前面已經(jīng)介紹了實際系統(tǒng)為多個環(huán)節(jié)互連，如何解決互連問題，獲得等效模型？主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)節(jié)點移動時的等效變換復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化第四十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.3.1控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)串、并聯(lián)串聯(lián)傳遞函數(shù)并聯(lián)傳遞函數(shù)第四十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19串、并聯(lián)狀態(tài)方程模型串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程第四十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19串、并聯(lián)系統(tǒng)的MATLAB求解若一個模型為傳遞函數(shù)、另一個為狀態(tài)方程，如何處理？將二者變換成同樣結(jié)構(gòu)再計算基于MATLAB的計算方法串聯(lián)注意次序：多變量系統(tǒng)并聯(lián)優(yōu)點，無需實現(xiàn)轉(zhuǎn)換第四十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19系統(tǒng)的反饋連接反饋連接正反饋負(fù)反饋第四十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19狀態(tài)方程的反饋等效方法其中若第四十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19反饋連接的MATLAB求解LTI模型符號運算(置于@sym目錄)第五十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-10第五十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19顯示結(jié)果Transferfunction:

60s^5+60156s^4+156132s^3+132136s^2+136060s+60000-----------------------------------------------------------------------2s^6+2004s^5+64006s^4+162002s^3+134002s^2+138000s+60000

第五十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-11控制器為對角矩陣反饋矩陣H為單位矩陣第五十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19第五十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19eye（）函數(shù)EYE(N)istheN-by-Nidentitymatrix.

EYE(M,N)orEYE([M,N])isanM-by-Nmatrixwith1'sonthediagonalandzeroselsewhere.EYE(SIZE(A))isthesamesizeasA.第五十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19Gc=[g11,0;0,g22]Transferfunctionfrominput1tooutput...2s+1#1:-------s

#2:0

Transferfunctionfrominput2tooutput...#1:0

5s+2#2:-------s第五十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19GG=feedback(G*Gc,H)Transferfunctionfrominput1tooutput...12s^4+30s^3+24s^2+26s+10#1:------------------------------------------s^5+14s^4+33s^3+25s^2+27s+10

#2:0

Transferfunctionfrominput2tooutput...#1:0

30s^4+72s^3+54s^2+62s+20#2:------------------------------------------s^5+32s^4+75s^3+55s^2+63s+20第五十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.3.2節(jié)點移動時的等效變換考慮模型難點：A點在回路間，移至輸出端第五十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19節(jié)點移動第五十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.3.3復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化例3-12原系統(tǒng)可以移動新支路模型第六十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19得出第六十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19G=feedback(C2*G1,H1)G=

G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1)第六十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19pretty(G)

G2G4G3G1----------------------------------------1+G4G3H3+G3G2H2+G2G4G3G1H1PRETTY(S)printsthesymbolicexpressionSinaformatthatresemblestype-setmathematics第六十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-13電機(jī)拖動模型

第六十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19collect()函數(shù)f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；collect(f,exp(-2*x))(-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)第六十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19信號單獨輸入得出另一個傳遞函數(shù)第六十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19Simplify()函數(shù)simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)顯示結(jié)果為1第六十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19最終得出傳遞函數(shù)矩陣第六十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.4系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內(nèi)容連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現(xiàn)狀態(tài)方程的最小實現(xiàn)傳遞函數(shù)與符號表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換第六十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.4.1連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換連續(xù)狀態(tài)方程的解析階采樣周期選擇第七十頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態(tài)方程模型MATLAB函數(shù)直接求解第七十一頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14雙輸入模型，第七十二頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19輸入模型、變換第七十三頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19模型第七十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-15時間延遲系統(tǒng)的離散化MATLAB求解零階保持器變換變換結(jié)果第七十五頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19Tustin變換數(shù)學(xué)表示其他轉(zhuǎn)換方法FOH一階保持器matched單變量系統(tǒng)零極點不變imp脈沖響應(yīng)不變準(zhǔn)則第七十六頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19離散模型連續(xù)化對前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解(無需)第七十七頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19例3-16對前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對結(jié)果再連續(xù)化，則

可以基本上還原連續(xù)模型第七十八頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/193.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則第七十九頁，共九十頁，2022年，8月28日2023/2/19因此可以得出傳遞函數(shù)難點基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結(jié)果由零極點模型，直接展開分子分母用MATLAB統(tǒng)一求解第八十頁，共九十頁，2022年，8