小題狂練(31)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.己知全集U=R，集合4={-1,0,1,2},5={x|x21},貝()

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{x|x<l}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【解析】

【分析】

按照并集和交集的概念求解即可.

【詳解】由題可知a，6={x|x<l},則Ac&B)={-l,0}.

故選：B.

【點睛】本題考查并集和交集的求法，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，考查計算能力，屬于常考題.

2.“x<2”是—%>0”成立的()

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的關(guān)系進行判斷即可.

[詳解]bgi(f-1)一1。8]%>0可變形為1。81(9_1)>108]x,

2222

所以d一1<X且/一1>0,尤>0,解之得：1<X<土反，

2

所以由“尤<2"不能推出“1<》<匕且"，

2

但"l<x<土叵”可以推出“x<2”，

2

所以“x<2”是?logi（^2-D-logix>°”成立的必要不充分條件.

22

故選：B.

【點睛】本題考查必要條件和充分條件的判斷，考查邏輯思維能力和推理能力，考查計算能力，屬于常考

題.

3.若向量￡=（2,3）,石=（x,2）且?、谝恢?3,則實數(shù)x的值為（）

A.--B.—C.—3D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意列出方程，求解即可得出結(jié)果.

【詳解】因為向量丑=（2,3）,6=（X,2）,所以@一如=（2——

又無僅—25）=3,所以2（2-2x）-3=3,解得x=—

故選A

【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

4.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片的數(shù)字之和為奇數(shù)

的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

和為奇數(shù)，則取出的兩張卡片一張奇數(shù)一張偶數(shù)，得到概率.

C1C'42

【詳解】根據(jù)題意：和為奇數(shù)，則取出的兩張卡片一張奇數(shù)一張偶數(shù)，則P==：=

C463

故選：C.

【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.己知q=43,_y>C=In—）則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

由43<3「從而可得a<。，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得“=4：>4。=1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有

c=ln-<lne=l,從而得出答案.

2

/I\12

【詳解】由4K=43<33=34,所以4；<3(

\7\7

所以。<匕，又a=1>4°=l，而c=ln"|<lne=l

所以c<a<〃

故選：C

【點睛】本題考查對數(shù)運算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題題.

6.在三棱錐尸—ABC中，PA±AB,PCLCB,AB=l,BC=2,點P到底面ABC的距離為2,當

三棱錐體積達到最大值時，該三棱錐外接球的表面積是（）

A.12萬B.9兀C.3乃D.6萬

【答案】B

【解析】

【分析】

作尸。_L平面ABC于。，連接由體積最大，及已知垂直可得A3CD是矩形，又由已知

PALAB，PC±CB,得是尸—ABC。外接球的直徑，求出長即可得球表面積.

【詳解】作PO_L平面ABC于D，連接￡>A,￡>C,r>8,因為點P到底面ABC的距離為2為定值，當三棱

錐體積達到最大值時，AABC面積最大，只有時，AABC面積最大，所以

由「。，平面48。，ABu平面ABC，得PD_LAB，同理又B4_LAB，PAC\PD=P,

所以AB_L平面A4D，而ADu平面PAD，所以鉆_LAD,同理BCd.CZ）,所以ABCO是矩形，

BD=A/12+22=75-又PD=2,所以P8=J（有>+2?=3,

由P4_LA6，PCVCB,知心中點到RARC四點距離相等，因此總是P—A3CD外接球的直徑，

所以外接球表面積為S=4^x（3]=9萬.

故選：B.

【點睛】本題考查球的表面積，由已知垂直易知是P-ABCD外接球的直徑，解題關(guān)鍵是證明「在平

面A8C上的射影。與A良C構(gòu)成矩形ABCD.

7.若曲線y=ln(x+a)的一條切線為y=ex-A?為自然對數(shù)的底數(shù))，其中為正實數(shù)，則-L+J的

eab

取值范圍是()

A.[2,e)B.(e,4]C.[2,+oo)D.[e,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】

In(x0+a^-ex0-h

設(shè)切點為(小，％)，由題意知=e，從而可得&/+匕=2,根據(jù)“1”的代換，可求出

—+7=^-|2+—+^-1,由基本不等式可求出取值范圍.

eab2veab)

ln(x0+6r)=ex0-/?

；._/=」一，設(shè)切點為(％),%)，則，

【詳解】解：：y=ln(x+a)1

x+a-----=e

%0+。

111f1lbbea\,八

:.ea+b-2,一+-=--+-\(ea+bM)=-\2+—+—.".?a,b,e>0

eab2\eab)2\eab)

原式N3=2,當且僅當2=半，即力=1時等號成立,

eabe

即

eab

故選:C.

【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了基本不等式.切線問題，一般設(shè)出切點，由切點處的導數(shù)值為

切線的斜率以及切點既在切線上又在函數(shù)圖像上，可列出方程組.運用基本不等式求最值時注意一正二定三

相等.

xV、.UUUUU

8.已知雙曲線c：j—\=l的右焦點為尸，過點尸的直線交雙曲線的右支于A、8兩點，且A尸=3尸8,

ab

點8關(guān)于坐標原點的對稱點為夕，且前2=所.而，則雙曲線的離心率為（）

/7口巫不

A.yj3D.Uc.-----nD.

222

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為F，連接尸B'、F'B、AF'，推導出四邊形5E6'廣為矩形，設(shè)忸同=忸尸|=加，

則|AE|=3〃Z,在△439中，利用勾股定理得出加=〃，然后在中利用勾股定理可得出a、c的

等量關(guān)系，由此可求得雙曲線。的離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為尸'，連接尸5'、FB、AF'，則四邊形3陽'尸為平行四邊形，

設(shè)忸耳=忸T7]=加,則目=3/〃，

由雙曲線的定義可得忸的=忸尸[=w+2a,|AF'|=3m+2a,

?.?療=喬詼，.?.而-前.胡=喬（而-硝=護斯=0,..B'FIAB，

所以，四邊形B/E尸為矩形，

由勾股定理得|A8「+忸/[2=|AF「，即（4〃?『+（m+2a）2=（3m+2a）2,解得機=a,

:.\B'F'\=a,\B'F\=3a,由勾股定理得忸'+忸'肝=|尸訐，即10/=4,2,

雙曲線C的離心率為e

故選：C.

【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查利用雙曲線的定義解決雙曲線的焦點三角形問題，考查計算

能力，屬于中等題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯

的得0分.

9.己知2"=5,二加，現(xiàn)有下面四個命題中正確的是（）

B.若機=10,則'+1=1

A.若a=b,則根=1

ab

D.若機=10,則4+,='

C.若4=/?,則帆=1()

ab2

【答案】AB

【解析】

【分析】

當a=b時，由（2）“=1可得”=0,進而得m=1,當機=10時，利用指對互化及換底公式可得2+!=1.

5ab

【詳解】當a=6時，由2"=5〃=機，可得（|）"=1，則。=0,止匕時加=1,所以A正確；

當機=10時，由2"=5"=川，可得。=log?10,占Togs10，

則L+』=lg2+lg5=l,所以B正確.

ab

故選：AB.

【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

22

io.若方程‘一+工=1所表示的曲線為c,則下面四個命題中錯誤的是（）

3-tt-1

A.若。為橢圓，則l<f<3B.若C為雙曲線，則f>3或，<1

c.曲線。可能是圓D.若c為橢圓，且長軸在》軸上，則i<r<2

【答案】AD

【解析】

【分析】

就f的不同取值范圍分類討論可得曲線C表示的可能的類型.

22

【詳解】若r>3,則方程可變形為上———=1,它表示焦點在V軸上的雙曲線；

t—1t—3

x2v2

若￡<1,則方程可變形為2---匚=1,它表示焦點在x軸上的雙曲線；

3-t\-t

若2<r<3,貝i」0<3-r<r—l,故方程」二+工=1表示焦點在y軸上的橢圓;

3-tt-1

若則0<好1<37,故方程工一+上一=1表示焦點在x軸上的橢圓;

3Tt-1

22

若t=2,方程工+'二=1即為/+y2=i,它表示圓,

3-tf-1'

綜上，選AD.

【點睛】一般地，方程如2+/=1為雙曲線方程等價于相〃<0,若加>0,〃<0,則焦點在x軸上，若

m<0,n>0,則焦點在>軸上；方程加小+肛；2=i為橢圓方程等價于機>0,〃>o且加彳〃，若〃?>〃，

焦點在y軸上，若加<〃，則焦點在x軸上；若加=〃>o,則方程為圓的方程.

11.如圖所示，在正方體45c〃中，MV分別是棱血，制的中點，△，姐戶的頂點P在棱CG與棱G"

上運動，貝I]()

A.平面，監(jiān)產(chǎn)_L.A"

B.平面明2L平面加M

C.△，監(jiān)仍在底面上的射影圖形的面積為定值

D.△，監(jiān)/在側(cè)面如4C上的射影圖形是三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】

A.由P,N重合時判斷；B.結(jié)合由正方體的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷C.

由△.她—在底面40上的射影的三角形的底邊是，監(jiān)，點尸的射影到,跖的距離不變判斷；D.由P，G重合

時判斷.

【詳解】A.當RN重合時，平面，如物不可能，故錯誤；

B.由正方體的性質(zhì)得M41ARM±DNADcD'N=。，所以肪」平面NDA,

又A/B|U平面姐戶，所以平面修/_!_平面物4,故正確；

C.△物P在底面48(力上的射影的三角形的底邊是奶，點P在底面/物上的射影在〃C上，所以點夕當歷

的距離不變，即射影圖形的面積為定值，故正確；

D.當P，G重合時，在側(cè)面〃上的射影重合，所以射影不能構(gòu)成三角形，故錯誤；

故選：BC

【點睛】本題主要考查直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系以及投影的概念，還考查了邏輯推理的能力，

屬于中檔題.

12.已知函數(shù)“X)的定義域為此且對任意xG/?,都有=及〃x+4)=/(x)+/⑵成立，

當為,與?0,2］且％7赴時，都有［/(耳)―/(%2)］(%一9)>0成立，下列四個結(jié)論中正確的是()

A."2)=0B.函數(shù)“X)在區(qū)間［-6,T］上為增函數(shù)

C.直線x=Y是函數(shù)/(x)的一條對稱軸D.方程/(x)=0在區(qū)間［-6,6］上有4個不同的實根

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由〃x)="-x)，得到函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，又由當司，wW0,2］且x產(chǎn)々時，都有

［/(%)—〃巧)］(5一為2)>0成立，得到“X)在2,2］為增函數(shù)，再根據(jù)/(x+4)=/(x)+〃2),得

出函數(shù)為周期為4的函數(shù)，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(X)的定義域為R,

以為對于任意xeR,都有"x)=/(-x),可得函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

又因為當％,當w［0,2］且x產(chǎn)々時，都有［〃與)-〃/)］(572)>0成立，

可得函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］為增函數(shù)，

又由/(x+4)"(x)+〃2),令》=一2,可得"2)="—2)+/(2),

解得2)=/(2)=0,所以〃x+4)=/(x),所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù),

則函數(shù)的圖形，如圖所示，

由圖象可得7(2)=0,所以A正確；

函數(shù)/(x)在區(qū)間［-6,-4］上為減函數(shù)，所以B不正確；

直線x=T是函數(shù)/(x)的一條對稱軸，所以C正確；

方程/(x)=0在區(qū)間［-6,6］上-6,-2,2,6,共有4個不同的實數(shù)根，所以D正確.

故選：ACD.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應用，此類問題解答的一般步驟為：先確定函數(shù)的定義域,

再化簡解析式，求出函數(shù)的解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)相似，根據(jù)函數(shù)的定義域和

解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象再分析函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.語文里流行一種特別的句子，正和反讀起來都一樣的，比如：“上海自來水來自海上”、“中山自鳴

鐘鳴自山中”，那么在所有的4位數(shù)中符合這個規(guī)律且四個數(shù)字不能都相同的四位數(shù)有種.

【答案】81

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知求4位數(shù)的回文數(shù)且四個數(shù)字不能都相同，由分步計數(shù)原理即可求解.

【詳解】設(shè)4位數(shù)的回文數(shù)為初即可知4位數(shù)的回文數(shù)為9x10=90,

又因為四個數(shù)字不能都相同，需減掉x=y,即形如xwc共9,

所以90—9=81

故答案為81

【點睛】本題考查分步計數(shù)原理，同時需理解“回文數(shù)”，屬于基礎(chǔ)題.

222

14.雙曲線C:y2-工=1的漸近線方程為____,設(shè)雙曲線G：毛-與=l(a>0,b>0)經(jīng)過點(4,1),且與

4a~b~

雙曲線c具有相同漸近線,則雙曲線G的標準方程為.

【答案】(1).y=(2).若-<=1

【解析】

【分析】

(1)由焦點在丁軸上的雙曲線的漸近線方程可得；(2)設(shè)丁一亍=幾，代入點(4,1)求得2即可.

【詳解】(1)雙曲線C：V一二二1的焦點在y軸上，且。=1力=2,漸近線方程為y=±-x,

4b

故漸近線方程為y=±gx

故答案為y=±gx

242

⑵由雙曲線G與雙曲線c具有相同漸近線,可設(shè)￡：r=4,代入(4,1)有r一亍=4=2=—3,故

G：/-三=-3,化簡得圣-工=1

174123

故答案為百.一手=1

123

22

【點睛】本題主要考查雙曲線馬-3=1漸近線的方程為y=±￡%，

22

V_X_1共漸近線方程可設(shè)為與

2b2a

15.若Gcosa+sina，貝ijcos(?-2a)=.

【答案】

9

【解析】

【分析】

先逆用兩角和的正弦得到如(￡+?)=#,令a=e—(,則cos[?—2"的值即為—COS26的值，利

用二倍角的余弦值可求此值.

【詳解】由6cosa+sina=2^可以得到2[母《光&+；S111。

所以sin[a+工]=設(shè)8=a+二，則a=6-工

I3J333

則尹八,竹71