2021年高考學科基地押題卷之10

數(shù)學

（本試卷滿分150分，用時120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位

置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求

作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。結束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合《=3-1<》<3,xeN},5={C|CcJ}；則集合8中元素的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

2.已知“為實數(shù)，若復數(shù)z=（°2—D+（a+i）i為純虛數(shù)，則1+i=（）

A.1B.0

C.1+iD.1-i

n,ilo々3z=sin（—+2）

3.已知實數(shù)x，％z滿足x=4一，=g5,2，則（）

Az<x<yBy<z<xQz<y<x口x<z<y

4.如圖的折線圖是某公司2018年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，若從6月至11月這6個月中

任意選2個月的數(shù)據(jù)進行分析，則這2個月的利潤（利潤=收入U支出）都不高于40萬的概率為

()

萬元

]_234

A.5B.5C.5D.5

5.函數(shù)/（""（“jx+i”的大致圖象是（）

6.安徽懷遠石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇樹，天下之名果''的美稱，今年又喜獲豐收.懷

遠一中數(shù)學興趣小組進行社會調查，了解到某石榴合作社為了實現(xiàn)10°萬元利潤目標，準備制定激

勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金?。▎挝唬喝f元）

隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的

20%.同學們利用函數(shù)知識，設計了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（）（參考數(shù)據(jù)：

1.015loo?4.432,lgll?1.041）

Ay=0.04xB.y=L015、—1cJD^=logH（3x-10）

7.已知正項等差數(shù)列中，若％+。2+%=15,若%+2,%+5,%+13成等比數(shù)列，則

%°等于（）

A.21B.23C.24D.25

8.如圖，在"Be中，若4B=@,AC=6BC=4BD,用&,b表示也為（）

—51-

AD=—a+—b

B.44

——31-—51-

AD=—a+—bAD=-a——b

C.44D.44

r2V2、/

口Rf-r=1（。>°，6>0）F（—\[10^

9.如圖，4分別是雙曲線a-b-的左、右焦點，過J的直線/與

雙曲線分別交于點48,若入4^^為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

—-/=1

B.6-

5x25y2

--------=1

D.287

10.《九章算術》卷七——盈不足中有如下問題：“今有共買羊，人出五,不足四十五；人出七，不

足三.問人數(shù)、羊價各幾何？”翻譯為：“現(xiàn)有幾個人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢，若每

人出七錢，還差三錢，問人數(shù)、羊價分別是多少”.為了研究該問題，設置了如圖所示的程序框圖，

若要輸出人數(shù)和羊價，則判斷框中應該填（）

A.k>20B,左>21

C.左>22D.左>23

11.已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得的幾何體的三視圖如圖所示，則該

幾何體的體積是（）

1+lnx,O<x<l

/G)=1,

12.已知函數(shù)[2'T',若方程/2(x)-(l+a)/(x)+a=°恰有三個不同的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為

A(-oo,0)B(0,+a))C.(1，+°°)D,(0,1)

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.在數(shù)列｛""｝中，"尸°,a“=2%（〃"2,〃eN）,前〃項和為S,，則

%=

14.設x〉0/>0,x+2y=2,則孫的最大值為.

15.設曲線‘一》在點(LD處的切線與曲線^=6'+1在點尸處的切線垂直，則點P的坐標為

16.已知拋物線C：y2=2Px(P>0)的焦點為F，點"(/，2偽(X">2)是拋物線°上一點,

=旦幽=2

2截得的弦長為百陽，若陰

以M為圓心的圓與線段板相交于點/,且被直線

則1477t.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-

21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

廠sin(/r-5)=—

17.在銳角三角形48c中，BC=1,AB=72,4

(1)求AC的值;

(2)求sin(，-8)的值

18.如圖，在四棱錐尸—/BCD中，平面"88,底面18CD是菱形，PA=AB=2,

NBAD=60°

(I)求證：直線80，平面尸ZC；

(口)求直線田與平面尸4。所成角的正切值；

5

(皿)設點”在線段PC上，且二面角C—加8一〃的余弦值為,，求點河到底面N8CD的距

離.

C：金+片=1

19.設橢圓,/b2(4>^>0)的左、右焦點分別為《、工，過鳥的直線交橢圓于

48兩點，若橢圓C的離心率為5,A'BG的周長為8.

（I）求桶圓C的方程；

（D）已知直線/：歹="+2與橢圓c交于“、N兩點，是否存在實數(shù)人使得以"N為直徑的圓

恰好經過坐標原點？若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由.

20.設函數(shù)/（x）=xJa（lnx+l）

（1）當。=1時，求y=/a）在點a/⑴）處的切線方程；

a，f（］（唔

（2）當e時，判斷函數(shù)”X）在區(qū)間I"'J是否存在零點？并證明.

21.2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間

車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20?10:40這一時間段內通過的車

輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直

方圖如圖所示，其中時間段9:20?9：40記作區(qū)間［20,40）,9:40?10:00記作［皿，60）,

10:00?10:20記作［60,80）,I。：2。?10:40記作比方：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20?10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中

隨機抽取4輛，記X為9:20?10:00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布N（〃，/），其

中〃可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，/可用樣本的方

差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該

收費點，估計在9:46?10:40之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若則P(〃-cr<T?〃+cr)=0.6826

尸（〃一2CT<T<〃+2cr）=0.9544P（/j-3cr<TW〃+3cr）=0.9974

（-）選考題：共10分.請考生在22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

x=2Gcos（3

<

在直角坐標系x°y中，曲線C的參數(shù)方程卜=2sm”（'為參數(shù)）.直線/的參數(shù)方程

x=6+1CGSa

[y=l+fsin?！閰?shù)）

（I）求曲線C在直角坐標系中的普通方程；

（n）以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當曲線C截直線/所得線段的中

點極坐標為I6J時，求直線/的傾斜角.

23.選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/（勸=12x-31+12x-11的最小值為M.

（1）若加，求證：2|w+/?|^|4+W/71；

21

——I——

（2）若。，be（0，+°°）.a+2b=M,求。b的最小值.

2021年高考學科基地押題卷10

數(shù)學

（本試卷滿分150分，用時120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位

置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求

作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。結束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合N=3-l<x<3,xeN},B={C\C^A]則集合8中元素的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

C

【分析】

先根據(jù)題意解出集合力,再根據(jù)題意分析8中元素為〃中的子集，可求出.

【詳解】

解：因為集合工={劉7<》<3,xeN},

所以，={。，1,2},

因為8={C|C</},

所以5中的元素為“的子集個數(shù)，即B有2'=8個,

故選：C.

本題考查集合，集合子集個數(shù)，屬于基礎題.

a+i2016

2.已知a為實數(shù)，若復數(shù)z=(a2—i)+g+i)i為純虛數(shù)，貝ij1+i=()

A.1B.0

C.1+iD.1—i

D

因為2=(/-1)+(。+1》為純虛數(shù)，所以/-1=0，。+1-0,得。=1,則有ut1I+Ii

l+i^l+l^2(l-i).

1+i1+i(l+i)(l-i),故選口.

.~z=sin(—+2)

3.已知實數(shù)XJ*滿足x=4°s,J-ogs,2，則()

Az<x<yB.y<z<xc,z<y<xD.x<z<y

x=4°5=〃〉1O=log5\<y=log*<log$5=1

z=§山(,+2)<0

綜上所述，故z<V<x

故選C

4.如圖的折線圖是某公司2018年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，若從6月至11月這6個月中

任意選2個月的數(shù)據(jù)進行分析，則這2個月的利潤(利潤=收入口支出)都不高于40萬的概率為

()

萬元

_L234

A.5B.5C.5D.5

B

【分析】

從7月至12月這6個月中任意選2個月的數(shù)據(jù)進行分析，基本事件總數(shù)〃=C；=15,由折線圖得

6月至11月這6個月中利潤（利潤=收入一支出）低于40萬的有6月，9月，10月，由此即可得

到所求.

【詳解】

如圖的折線圖是某公司2017年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，

從6月至11月這6個月中任意選2個月的數(shù)據(jù)進行分析，

基本事件總數(shù)〃由折線圖得6月至11月這6個月中利潤（利潤=收入-支出）不高于

40萬的有6月，8月，9月，10月，

,這2個月的利潤（利潤=收入一支出）都不高于40萬包含的基本事件個數(shù)加=盤=6,

p_m_6_2

,這2個月的利潤（利潤=收入一支出）都低于40萬的概率為一〃一15一^,

故選：B

本題主要考查了古典概型，考查了運算求解能力，屬于中檔題.

5.函數(shù)/（"）=（"一?+1”的大致圖象是（）

【分析】

用X<°排除8,C；用x=2排除Q；可得正確答案.

【詳解】

解：當x<0時，X2-4X+1>0,ev>0,

所以"x）〉°,故可排除8,C；

當x=2時，/（2）=-36-<0,故可排除D

故選：A.

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎題.

6.安徽懷遠石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇樹，天下之名果''的美稱，今年又喜獲豐收.懷

遠一中數(shù)學興趣小組進行社會調查，了解到某石榴合作社為了實現(xiàn)10°萬元利潤目標，準備制定激

勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金?。▎挝唬喝f元）

隨銷售利潤%（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的

20%.同學們利用函數(shù)知識，設計了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（）（參考數(shù)據(jù)：

1.015loo?4.432,lgll?1.041）

y=1.015x-lc.'='3nmD,y=bgu（3xT0）

Ay-0.04xB

D

【分析】

根據(jù)獎勵規(guī)則，函數(shù)必須滿足：xe（6，l0°L增函數(shù)，>V3/"（）.2X

【詳解】

對于函數(shù)：V=0O4x,當尤=100時，歹=4>3不合題意；

對于函數(shù)：k1?015,一1,當x=10。時，尸3.432>3不合題意；

（X八

y—tan-----1

對于函數(shù)：U9人不滿足遞增，不合題意；

對于函數(shù)：歹=嘀（31°）,滿足：xe（6,100],增函數(shù)，

且”logH（3x100-10）=logn290<logu1331=3,結合圖象:

符合題意.

故選：D

此題考查函數(shù)模型的應用，關鍵在于弄清題目給定規(guī)則，依次用四個函數(shù)逐一檢驗.

7.已知正項等差數(shù)列中,若《+出+。3=15,若4+2,%+5,%+13成等比數(shù)列，則

%。等于（）

A.21B.23c.24D.25

A

；正項等差數(shù)列MJ中，4+生+。3=15,a?=5,d>0,「q+2,牝+5,%+13構成等比數(shù)

列，即7一d，l°，18+d構成等比數(shù)列，依題意，有°一"）08+"）=10°,解得"=2或

d=-13（舍去），??9。=。2+（10-2）1=5+8x2=21,故選人

8.如圖，在中，若4B=G,AC^b,BC=4BD,用用在表示石為（）

AD=-a+-b

B.44

一51-

AD=-a——b

D.44

【分析】

根據(jù)向量的加減法運算和數(shù)乘運算來表示即可得到結果.

【詳解】

AD=JB+BD=AB+-BC=JB+-(AC-JB}=-AB+-AC=-a+-b

4八74444

本題正確選項：。

本題考查根據(jù)向量的線性運算，來利用已知向量表示所求向量；關鍵是能夠熟練應用向量的加減法

運算和數(shù)乘運算法則.

22

FF三-a=l（a〉0,b>0）片

9.如圖，分別是雙曲線。曠的左、右焦點，過rJ的直線/與

雙曲線分別交于點48,若以8月為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

^-/=1

B.6.

22

-5x---5-y=1

D.287

根據(jù)雙曲線的定義，可得|ARHAF2|=2a,

?.?△ABF?是等邊三角形，即|AF2|=|AB|

，|BF]|=2a

又：|BF2|-|BF||=2a,

,,.|BF2|=|BFi|+2a=4a,

?.?△BF|F2中，|BF1|=2a,|BF2|=4a,ZFlBF2=120°

222

.".|F1F2|=|BF1|+|BF2|-2|BFI|*|BF2|COS120°

]_

即4c2=4a2+i6a2-2*2ax4ax（-2））=28a2>

2

解得c2=7a2,又c=?所以/2=6方程為X2_6￡=1

故選C

點睛：本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質，考查了余弦定理解三角形，根據(jù)條件求出

a,b的關系是解決本題的關鍵.

10.《九章算術》卷七——盈不足中有如下問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三.問人數(shù)、羊價各幾何？”翻譯為：“現(xiàn)有幾個人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢，若每

人出七錢，還差三錢，問人數(shù)、羊價分別是多少”.為了研究該問題，設置了如圖所示的程序框圖，

若要輸出人數(shù)和羊價，則判斷框中應該填（）

A.左>20B.%>21

C.k>22D.k>23

A

【分析】

根據(jù)程序框圖確定X，歹表示的含義，從而可利用方程組得到輸出時X的值，從而得到輸出時左的取

值，找到符合題意的判斷條件.

【詳解】

由程序框圖可知，X表示人數(shù)，V表示養(yǎng)價

5x+45=y

<

該程序必須輸出的是方程組卜=3+7x的解，則》=21

；4=21時輸出結果?.?判斷框中應填％〉2°

本題正確選項：4

本題考查根據(jù)循環(huán)框圖輸出結果填寫判斷框內容的問題，關鍵是能夠準確判斷出輸出結果時左的取

值，屬于常考題型.

11.已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得的幾何體的三視圖如圖所示，則該

幾何體的體積是（）

17

D.—

3

D

該幾何體是正方體截去一個三棱臺所得，體積為P=23-』x2x2+/2、!+」=",故選

3V22）3

D.

1+lnx,O<x<l

/（x）=,1.

12.已知函數(shù)12,,若方程廣。）-（1+。）/（》）+a=°恰有三個不同的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為

A.（一8,0）B.（°，+8）C.（1，+8）D.（°，1）

D

【分析】

.尸⑶一（1+。）仆）+”0等價于/（x）=?；?（x）=l,由/GR有唯一解可得?。?。有

兩個不同的根，轉化為V=/（*）'、="的圖象有兩個交點，利用數(shù)形結合可得結果.

【詳解】

尸⑴-（1+a）/（x）+a=0可變形為[/（x）-?][/（%）-1]=0,

日1[/（%）=*/（x）=1

即\，或\,

由題可知函數(shù)“X）的定義域為（0,+8）,當xw（O，l]時,

函數(shù)/（X）單調遞增；當xe（l，+8）時，函數(shù)/（X）單調遞減，

畫出函數(shù)八對的大致圖象，如圖所示,

當且僅當x=l時，/（x）=l,

因為方程廣（X）一（1+a）/（x）+a=°恰有三個不同的實數(shù)根,

所以‘（'）="恰有兩個不同的實數(shù)根，

即丁=/（x），V=a的圖象有兩個交點，

由圖可知°＜。＜1時，、="x）,y=a的圖象有兩個交點，

所以實數(shù)。的取值范圍為（°/），故選D.

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、方程的根與函數(shù)圖象交點的關系，考查了數(shù)形結合思想的應用,

屬于難題.函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)丁=/（》）一8（》）的零點=函數(shù)歹=/（幻一8（》）在

x軸的交點=方程/（X）-g（x）=0的根=函數(shù)》=/（X）與V=g（x）的交點.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.在數(shù)列｛%｝中，"產°,%=2%（〃N2,〃wN）,前〃項和為S,，則

?2

由題意可得,故數(shù)列｛a。｝為等比數(shù)列，且公比q=2,

.（1-力

S4_i-q_1-卜_15

故出%q"1-q）2

15

故2

14.設x>0」>0,x+2j=2,則孫的最大值為.

2

【分析】

已知x>°,y>0,x+2y=2,直接利用基本不等式轉化求解中的最大值即可.

【詳解】

x>0,歹>0,x+2歷2"石，即2》2阪面，兩邊平方整理得“

11

y=——

當且僅當x=l,2時取最大值2；

_1_

故2

本題考查基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力，注意基本不等式成立的條件.

15.設曲線’一工在點(U)處的切線與曲線歹=爐+1在點。處的切線垂直，則點P的坐標為

(0,2)

【分析】

1

V=—x1

分別求出.x,V=e+1的導數(shù)，結合導數(shù)的幾何意義及切線垂直可求

【詳解】

,=__[_=]_

設尸(%，%),因為‘一》的導數(shù)為%2,所以曲線在點(L1)處的切線的斜率為-1；因

為歹=e'+1的導數(shù)為V=e',曲線y=e'+1在點尸處的切線斜率為e』，所以(T)xe"=-1,

解得入。=°,代入蚱e'+l可得%=2,故尸(0,2)

本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)解決曲線的切線問題一般是考慮導數(shù)的幾何意義，側重考

查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

16.已知拋物線0：歹2=2「武?>0）的焦點為尸，點”（/,2及）（“。>5）是拋物線。上一點,

_P1^1-

以"為圓心的圓與線段板相交于點/,且被直線、x2截得的弦長為后若M司

則I3尸1=

/A\

_4.M-,272

將河點坐標代入拋物線方程得8=2"。，解得。

p,即)

2兀

\MF\^由于M國為圓的半徑，而以=西”4所以/"""一3,

ZBDM」--^=\MB\=^-\MA\=\\MF\

23

6,故P2兩邊

4p1

平方化簡得02,解得夕=2,故物M，叫=/可=）

本題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查圓和直線的位置關系，考查特殊的等腰三角形中解三角

形的方法.首先“點是在拋物線上的，坐標滿足拋物線的方程，由此求得無的坐標，然后根據(jù)直線

截圓所得弦長，得到四點橫坐標和圓半徑的關系，由此列方程求解出。的值.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-

21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分

r-sin(乃—B)=—

17.在銳角三角形”8C中，BC=1,48=12,4

(1)求AC的值；

(2)求sin(4-8)的值

V14

(1)^2(2)8

【分析】

./OXV14

sin（7r-B）=---

（1）由三角形ABC為銳角三角形，根據(jù)誘導公式化簡4，即可求出s加8的值，再利用同

角三角函數(shù)間的基本關系求出C0S8的值，由AB,BC及C0S8的值，利用余弦定理即可求出AC的長；

⑵由BC,AC及si〃B的值，利用正弦定理求出sin力的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出

cosZ的值，然后利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡$淪（'一㈤后，把各自的值代入即可求出值.

【詳解】

./小、爐

sin（乃-8）=---

解：（1）為銳角三角形，4

V14

.-.sinS=--

4

cosB-71-sin2B-.I1---

V164

?.?在△ZBC中，由余弦定理得：AC2AB2+BC2-2AB-BCcosB

=（V2）2+l2-2xV2xlx—

4=2

AC-V2

BC_AC

（2）在△NBC中，由正弦定理得sin/sin5

1V14

.,BCxsinBlx4V7

sin/=---------=-----^―二——

得/CV24

cos/4=Vl-sin2Ai-2=2

164

V?V23V14V14

—___x______x____—_____

?.sin(7l-5)=sinAcosB-cosAsin54444-8

此題考查了三角函數(shù)的恒等變形,正弦定理及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.

18.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，力?1平面NBC。，底面/8C。是菱形，PA=AB=2,

ABAD=60°

(I)求證：直線8。,平面PNC；

(H)求直線與平面尸力。所成角的正切值;

5

(HI)設點N在線段PC上，且二面角C—的余弦值為5,求點〃到底面N8CO的距

離.

叵1

(1)證明見解析；(口)5；(m)2.

【分析】

(I)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

(口)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后求解線面角的正切值即

可；

(in)設麗=彳］，由題意結合空間直角坐標系求得九的值即可確定點也到底面48co的距

離.

【詳解】

（I）由菱形的性質可知BD1ACt

由線面垂直的定義可知：BD工AP,且/Pc/C=N,

由線面垂直的判定定理可得：直線80,平面尸/C；

（II）以點月為坐標原點，尸方向為y軸/軸正方向，如圖所示，在平面/BCD內與X。垂直的

方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系"一盯z,

尸（0,0,2）,8a,1,0）N（0,0,0）,。（0,2,0）

則直線尸8的方向向量=2）,很明顯平面尸的法向量為“

設直線PB與平面PAD所成角為6,

sin6=zjV5?sin。百V15

則陛卜阿辰1,能飛向蚱嬴^丁丁

（ID）設（',且（），

由于P（0,0,2）,C（s/5,3,0）8g,l,0）N（0,0,0）

x=>/32

,y=34

故：（X，…2）=乂百,3,-2）,據(jù)此可得Jz=2+2,

即點M的坐標為“⑼，34-2/1+2）

設平面。的法向量為：〃i=（X，M，zJ,則：

々?C5=（X］，M，Z］）?（O,-2,O）=—2必=0

Z7|?MB=（X］，M,Z］）.^\/3-V3A,1—32,2/1-2）=0

據(jù)此可得平面CMB的一個法向量為：巧=?，°，、Q）,

設平面的法向量為：〃2=（X2，％，Z2）,貝|J：

a2?/8=（%,%/2）（近』,0）=6%+72=0

?

n2-MB=（x29y29z2y^/3-百4,1一32,24—2）=0

=1,-73,

據(jù)此可得平面"A4的一個法向量為：

c32

2+——

1—2_______5

3萬7

5V7xJl+3+

二面角C-MB-A的余弦值為7,(1—"

整理得14%—-192+6=0,

2=-^2=-

解得.27

2

由點”的坐標易知點M到底面ABCD的距離為1或者7.

本題主要考查線面垂直的判定定理，空間向量在立體幾何中的應用，立體幾何中的探索問題等知識,

意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

X2V2

C?___|_2_=］

19.設橢圓,/b2（。>^>0）的左、右焦點分別為耳、F2,過g的直線交橢圓于

48兩點，若橢圓C的離心率為A'8耳的周長為8.

（I）求橢圓C的方程；

（口）己知直線八夕="+2與橢圓C交于M、N兩點，是否存在實數(shù)上使得以施v為直徑的圓

恰好經過坐標原點？若存在，求出A的值；若不存在，請說明理由.

工2+匕2=1c左=±2百

（I）43（n）存在，3

【分析】

(I)根據(jù)橢圓離心率、橢圓的定義列方程組，解方程組求得a*，。的值，進而求得橢圓的標準方程.

(II)設出“，N兩點的坐標，聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，計算判別式求得左的取值范圍，并寫

出根與系數(shù)關系，根據(jù)圓的幾何性質得到OMON=0,由此得到花X2+乂必=0,由此列方程，

解方程求得人的值.

【詳解】

C_1

a=2

a2

<4〃=8:<b=V3

Q2+/=。2

(I)由題意知、,所以所求橢圓的標準方程是43

(II)假設存在這樣的實數(shù)左，使得以"N為直徑的圓恰好經過原點.

x22

+y_i

,43

設M(X],必)、N(x2,y2)聯(lián)立方程組y=Ax+2,

消去歹得(3+4K)x~+16kx+4=0

由題意知，知馬是此方程的兩個實數(shù)解,

所以A=（16上）2-16（3+4左2）>0,解得〉5或<2

4-16k

X.x--------7,X|+%=----------r

所以I23+4-1-3+4k2

又因為以"N為直徑的圓過原點，所以°MON=0,所以中2+乂%=0,

2

而必72=(^i+2)(Ax2+2)=kx]x2+2k(x1+x2)+4

、4-32k2

???中2+必先=（1+公>/+2/+々）+4=0,即解得

k=±—V3

3

故存在這樣的直線使得以MN為直徑的圓過原點.

本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查圓的幾何性質，考查運算

求解能力，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

20.設函數(shù)/（x）=Y-"（lnx+1）

當。=1時,求N=&）在點（1,/（1））處的切線方程;

(1)

>2

(2)當e時，判斷函數(shù)"X）在區(qū)間是否存在零點？并證明.

y=x-1.,（2）函數(shù)〃x）在

(1)上存在零點，證明見解析.

【分析】

（1）求導，求出/⑴，/⑴，即可求解;

（2）根據(jù)/（X）的正負判斷

的單調性，結合零點存在性定理,即可求解.

【詳解】

f'(x\=――=—a

函數(shù)“X)的定義域為(0,+8)J—X-X

1?x2-1

乙、2[1/z(x)=2x——=------

(I)當a=]時，/(x)=xTnx—l,，、，xx

又/⑴=o,切點坐標為a，°）,切線斜率為

所以切線方程為丁=》一1；

所以/（x）在l上單調遞減,

aln-+l1<0

~2

=

又o<L<e-'r

f(e-0-')=e~2a~2+a2>0

所以函數(shù)/（X）在上存在零點.

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，考查函數(shù)零點的

存在性的判斷，屬于中檔題

21.2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策某路橋公司為掌握春節(jié)期間

車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20?10:40這一時間段內通過的車

輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直

方圖如圖所示，其中時間段9:20?9：40記作區(qū)間120,40）,9:40?10:00記作【他60）,

10:00~10:20記作［60,80）,10:20?10:40記作［8°1°°］.比方：10點04分，記作時刻64.

頻率/組距

0.020............................

0.015......................

0.010.....................................

0.005--1-

~~020406080100時間

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中

隨機抽取4輛，記X為9:20?10:00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望：

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻了服從正態(tài)分布N（〃，〃），其

中〃可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，『可用樣本的方

差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），己知大年初五全天共有1000輛車通過該

收費點，估計在9:46?10:4（）之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若1~N5冷,則尸（以-b<7W〃+b）=0.6826,

尸（〃一2b<TW"+2b）=0.9544P（〃-3b<TW〃+3cr）=0.9974

（1）10點04分；（2）詳見解析；（3）819輛.

【分析】

（1）用每組中點值乘以頻率，然后相加，得到平均值.（2）先用分層抽樣的知識計算出1°量車中

位于［20,60）的車輛數(shù)，然后利用超幾何分布的知識計算出分布列，并求得數(shù)學期望.（3）由（1）

可知〃=64,計算出方差人和標準差利用正態(tài)分布的對稱性，計算出在9:46?10:40這一時

間段內通過的車輛的概率，乘以100°得到所求車輛數(shù).

【詳解】

解：（1）這600輛車在9:20?10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為

（30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010）x20=64

即10點04分。

（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就

是位于時間分組中在［2°，6°）這一區(qū)間內的車輛數(shù)，即&005+0.015）x20x10=4,所以入的可

能取值為0，1，2,3,4。

心。）=*=5尸-a等4個=2）=等］

所以C1014,C10Z1,C10/

P（X=3）=^^=—尸（X=4）=冶

'/G235,'）