專題15相交線與平行線1、復(fù)習(xí)線段、角有關(guān)的概念、性質(zhì)及計(jì)算，并能應(yīng)用于解決實(shí)際問題；2、使學(xué)生認(rèn)識平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，在研究平行線時，能通過有關(guān)的角來判斷直線平行和反映平行線的性質(zhì)。一、線段1．線段的性質(zhì)所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，即過兩點(diǎn)有且只有一條直線．2．同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行，相交兩種。垂直與相交的的關(guān)系：垂直是特殊的相交。3．垂線及其性質(zhì)垂線：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直性質(zhì)：①經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短(簡說成：垂線段最短)．4．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等例1．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，若∠COE＝65°，則∠BOD為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義求得；然后根據(jù)余角的定義可以推知；最后由對頂角的性質(zhì)可以求得．【詳解】解：，；又，，（對頂角相等）．故選：．二、余角和補(bǔ)角：1、余角：定義：如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角。性質(zhì)：同角或等角的余角相等。2、補(bǔ)角：定義：如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角。性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等。例2．如圖，將直尺和直角三角板按如圖方式擺放，已知∠，則∠的大小是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和互為余角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖示：∴由題意可知，，∴，∴，故選：D．三、對頂角我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)且角的兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。例3．如圖，直線和交于點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．100° D．120°【答案】A【分析】根據(jù)對頂角相等可得：∠1=∠2=30°，從而得∠BOC=150°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=30°，∴∠BOC=180°-30°=150°，∵平分，∴==×150°=75°．故選A．四、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。例4．下列各圖中，∠與∠是一定相等的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角、同旁內(nèi)角、對頂角的定義，分別進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，A、∠與∠是鄰補(bǔ)角，不一定相等；B、∠與∠是同旁內(nèi)角，不一定相等；C、∠與∠是任意的兩個角，不一定相等；D、∠與∠是對頂角，則∠=∠；故選：D．五、平行線的判定1、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。2、兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。3、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。補(bǔ)充平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行。（2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行。（3）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線互相平行例5．下列命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；④垂線段最短．其中（）A．①④是真命題 B．①③是真命題C．②③是真命題 D．①②④是真命題【答案】A【分析】根據(jù)垂線段，平行線的判定和性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；該命題正確，②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；該命題不正確，應(yīng)改為：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；該命題不正確，應(yīng)改為：兩直線平行，同位角相等；④垂線段最短；該命題正確；故選擇：A六、平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。注意：已知平行用特征，探索平行用判定例6．如圖，已知直線a//b，c//b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的傳遞性可得，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】a//b，c//b，，，∠1=60°，．故選B．1．（2022·貴陽市第十九中學(xué)九年級月考）如圖，直線，交于點(diǎn)，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．104° C．142° D．76°【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義，對頂角相等即可求得．【詳解】射線平分，，，，．故選D．2．（2022·山東濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)）如圖，直線，將含有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)C放在直線b上，若，則的度數(shù)是（）A．25° B．20 C．35 D．30【答案】A【分析】過作直線，推出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，根據(jù)求出，即可得出答案．【詳解】解：過作直線，直線，∴，，，，，故選：A．3．（2022·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級二模）小明從處出發(fā)沿北偏東50°方向行走至處，又從處沿南偏東70°方向行走至處，則等于（）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B【分析】根據(jù)方向角求出∠EBC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABE即可得出答案．【詳解】解：如圖：∵小明從A處沿北偏東50°方向行走至點(diǎn)B處，又從點(diǎn)B處沿南偏東70°方向行走至點(diǎn)C處，∴∠DAB=50°，∠CBE=70°，∵向北方向線是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=50°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°．故選B．4．（2022·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級月考）如圖，AB∥EF，F(xiàn)D平分∠EFC，若∠DFC＝50°，則∠ABC＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】C【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再由平行線的性質(zhì)得到即可．【詳解】解：∵平分，，∴，∵AB∥EF，∴．故選C．5．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數(shù)是（）A．70° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】由已知條件，可得，由平角的性質(zhì)可得代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖，，，，．故選：．6．（2022·全國九年級課時練習(xí)）如圖，已知是的直徑，過點(diǎn)的弦平行于半徑，若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理計(jì)算即可；【詳解】∵，，∴，∵，∴．故選A．7．（2022·杭州市采荷中學(xué)九年級二模）如圖，，分別與，交于點(diǎn)，．若，，則______．【答案】25°【分析】直接利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠ABF=60°，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180°，∵∠EFC=120°，∴∠ABF=180°-∠EFC=60°，∵∠A+∠E=∠ABF，∠E=35°，∴∠A=25°．故答案為：25°．8．（2022·如皋市實(shí)驗(yàn)初中九年級期末）如圖，直線，直線與，分別交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，若，則__________度．【答案】55【分析】先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出∠1+∠ABC+∠2=180°，再根據(jù)BC⊥AB，∠1=35°，即可得出∠2的度數(shù)．【詳解】∵直線a∥b，∴∠1+∠ABC+∠2=180°，又∵BC⊥AB，∠1=35°，∴∠2=180°-90°-35°=55°，故答案為：559．（2022·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心九年級期中）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，點(diǎn)，在異側(cè)，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）70°【分析】（1）根據(jù)角角邊求證即可；（2）根據(jù)已知可得，根據(jù)等邊對等角可得結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴．10．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，點(diǎn)是的邊上的動點(diǎn)，，連接，并將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，作，垂足在線段上，當(dāng)時，判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；（2）如圖2，若，，求以、為鄰