人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第18章平行四邊形單元練習(xí)卷含答案一．選擇題（共6小題）1．在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（）兩組對邊分別平行—組對邊平行且另一組對邊相等兩組鄰邊相等對角線互相垂直如圖在ABCD中，ZABC=60°,BC=2AB=8,點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為E,連接BE交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG,BG.則ABEG的面積為（）C.8/1C.8/1如圖，菱形ABCD中，NBAD=60,AC與BD交于點(diǎn)O,E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD=DE,連結(jié)BE分別交AC,AD于點(diǎn)F、G,連結(jié)0G,則下列結(jié)論：①2OG=AB；②與AEGD全等的三角形共有5個(gè)；③S四邊形ODGf>Smbf；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形,其中正確的是（）A.①④B.①③④C.①②③D.②③④在菱形ABCD中，ZA=110°,E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP丄CD,垂足為P,則ZEPF=（）A．35°B．45°C．50°D．55°A．35°B．45°C．50°D．55°如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6，點(diǎn)P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE則線段EF的最小值為（則線段EF的最小值為（D.5如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF〃CD,交AD于F，交對角線BD于G,取DG的中點(diǎn)H,連結(jié)AH，EH，F(xiàn)H.下列結(jié)論：①FH〃AE；②AH=EH且AH丄EH；③ZBAH=ZHEC:④厶EHF^^AHD；⑤若，則.其中哪些結(jié)論SAAHEECSadunSAAHE是正確（）BCDBCDA.①②④⑤B.②③④C.①②③D.②③④⑤二.填空題（共6小題）7?如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線BD上的點(diǎn)，要使四邊形AFCE是平行四邊形,還需添加的一個(gè)條件是（只需添加一個(gè)正確的即可）.如圖，在AABC中，ZACB=90°,D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且TOC\o"1-5"\h\zAE=AD,BF=BD.若DE=問，DF=2,則ZEDF=°，線段AB的長度=.平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-l,m)、B(-4,0)、C(1,0)、D(a,m),且m>0,若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.如圖，在矩形ABCD中，過點(diǎn)D作DE丄AC,垂足為E,延長線ED至F,使DF=AC，連接BF交AD于G.若AB=1,AD=2，則ZABG=,GF=.在矩形ABCD中，M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，對于任意矩形ABCD,下面四個(gè)結(jié)論中，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形.所有正確結(jié)論的序號(hào)是.如圖，在AABC中，AB=13,BC=12，點(diǎn)D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接DE,CD,如圖，平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點(diǎn)作AE丄BD,CF丄BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N.

求證：四邊形CMAN是平行四邊形.已知DE=2,FN=1,求BN的長.如圖，AD是AABC的中線，AE〃BC,BE交AD于點(diǎn)F,交AC于G,F是AD的中點(diǎn).求證：四邊形ADCE是為平行四邊形；若EB是ZAEC的角平分線，請寫出圖中所有與AE相等的邊.如圖，已知E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)，AC是對角線，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)BF.(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；如圖，以AABC的各邊為邊長，在邊BC的同側(cè)分別作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,連接AD,DE,EG.求證：△BDE竺△BAC；①設(shè)ZBAC=a,請用含a的代數(shù)式表示ZEDA,ZDAG；②求證：四邊形ADEG是平行四邊形；當(dāng)AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是正方形？請說明理由.

如圖，已知正方形ABCD,P是對角線AC上任意一點(diǎn)，PM丄AD,PN丄AB,垂足分別為點(diǎn)M和N,PE丄PB交AD于點(diǎn)E.求證：四邊形MANP是正方形；求證:EM=BN.衛(wèi)-VB如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)0是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且AB=AE,連接E0并延長交AD于點(diǎn)F.過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為H,交AC于點(diǎn)G.若AH=3,HE=1,求AABE的面積；若ZACB=45°，求證:DF=；2CG.如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、0、Q,連接BP、EQ.求證：四邊形BPEQ是菱形；若AB=6,F為AB的中點(diǎn)，0F+0B=9，求PQ的長.

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（）兩組對邊分別平行—組對邊平行且另一組對邊相等兩組鄰邊相等對角線互相垂直【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個(gè)判斷即可.【解答】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；B、一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形，不是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩組鄰邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對角線互相平分的四邊形才是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A.如圖在ABCD中，ZABC=60°，BC=2AB=8,點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為E,連接BE交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG，BG.則ABEG的面積為（）C.8C.8/I【分析】如圖，取BC中點(diǎn)H,連接AH,連接EC交AD于N,作EM丄CD交CD的延長線于M.構(gòu)建S=S+S-S計(jì)算即可；△BEG△BCEECG△BCG【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)H,連接AH,連接EC交AD于N,作EM丄CD交CD的延長線于M.

HC/MTBC=2AB,BH=HC/MTBC=2AB,BH=CH,ZABC=60°,.??△ABH是等邊三角形，.?.HA=HB=HC,.??ZBAC=90°,ZACB=30°,TEC丄BC,ZBCD=180°-ZABC=120°,.??ZACE=60°,ZECM=30°,TBC=2AB=8,CD=4,CN=EN=2七,EC=4T3,EM=2T3,?S=S+S-S△BEG△BCEECG△BCG4X8X△BEG△BCEECG△BCG=16遷+2七-4/1=14/1故選：B.如圖，菱形ABCD中，NBAD=60,AC與BD交于點(diǎn)O,E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD=DE,連結(jié)BE分別交AC,AD于點(diǎn)F、G,連結(jié)0G,則下列結(jié)論：①2OG=AB；②與AEGD全等的三角形共有5個(gè)；③S四邊形ODGF>S/F；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形，其中正確的是（）

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④【分析】由AAS證明△ABG^^DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=*CD=*AB，①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD.△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；由菱形的性質(zhì)得得出△ABG^^BDG^^DEG，由SAS證明△ABG^^DCO，得出AABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG，得出②不正確；證出OG是AABD的中位線，得出OG〃AB,OG=*AB,得出△GODs^ABD,△ABFs^OGF,由相似三角形的性質(zhì)和面積關(guān)系得出S四邊形ODGF=S人加③不正確；即可得出結(jié)果.四邊形ODGF△ABF【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，.??AB=BC=CD=DA,AB#CD,OA=OC,OB=OD,AC丄BD,???ZBAG=ZEDG,AABO竺△BCO竺ACDO竺△AOD,CD=DE，AB=DE，在AARG和ADEG中，Vbag=Zedg乂ZAGB=ZDGE,lab=de.??△ABG竺ADEG(AAS),AG=DG，???OG是AACD的中位線，.?.0G=*CD=*AB,?.2OG=AB，①正確；AB〃CE，AB=DE，.??四邊形ABDE是平行四邊形，VZBCD=ZBAD=60°,.??△ABD'ABCD是等邊三角形，?.AB=BD=AD,ZODC=6O°,.??OD=AG，四邊形ABDE是菱形,④正確；

.?.AD丄BE,由菱形的性質(zhì)得：△ABG^ADEG(SAS),△BDG^ADEG(SAS),在AARG和ADCO中，rOD=AG乂ZODC=ZBAG=60°,tAB=DC??.△ABGMDCO(SAS),.△ABO竺△DEG(SAS),△BCO^ADEG(SAS),△CDO^ADEG(SAS),△AOD^ADEG(AAS),△ABG^ADEG(SAS),△BDG^ADEG(SAS),.②不正確；VOB=OD,AG=DG,??.OG是4ABD的中位線，???OG〃AB,OG=*AB,??.△GODsAABD(ASA),△ABFsAOGF(ASA),.△GOD的面積=+△ABD的面積，AABF的面積=AOGF的面積的4倍，AF：OF=2：1,???△AFG的面積=4OGF的面積的2倍，又?.?△GOD的面積=AAOG的面積=^BOG的面積，四邊形ODGF△ABF不正確；正確的是①④．故選：A．在菱形ABCD中，ZA=110°,E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP丄CD,垂足為P,則A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】延長PF交AB的延長線于點(diǎn)G.根據(jù)已知可得ZB,ZBEF,ZBFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到ZEPF的度數(shù)，從而求得ZFPC的度數(shù)，根據(jù)余角的定義即可得到結(jié)果．【解答】解：如圖，延長PF交AB的延長線于點(diǎn)G.在與ACPF中，Vgbd=Zpcf乂BF=CF,tZBFG=ZCFP??.△BGFMCPF(ASA),.??GF=PF,???F為PG中點(diǎn).又?.?ZBEP=90°,???EF=*PG=PF,.\ZFEP=ZEPF,VZBEP=ZEPC=90°,.?.ZBEP-ZFEP=ZEPC-ZEPF,即ZBEF=ZFPC,??四邊形ABCD為菱形，?AB=BC,ZABC=180°-ZA=70°,???E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，.??BE=BF,ZBEF=ZBFE=*(180°-70°)=55°,?ZFPC=55°,?ZEPF=90°-55°=35°,如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6，點(diǎn)P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE丄AC于E,PF丄BC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,則線段EF的最小值為（）

D．5【分析】連接PC,當(dāng)CP丄AB時(shí)，PC最小，利用三角形面積解答即可.解答】解：連接PC，?.?PE丄AC,PF丄BC,??.ZPEC=ZPFC=ZC=90°,???四邊形ECFP是矩形，???EF=PC,.:當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP丄AB時(shí)，PC最小，?AC=8,BC=6,?.AB=10,???PC的最小值為：年%=4.8.??.線段EF長的最小值為4.8.6?如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF〃CD,交AD于F,交對角線BD于G,取DG的中點(diǎn)H,連結(jié)AH,EH,FH.下列結(jié)論：①FH〃AE；②AH=EH且AH丄EH；③ZBAH③ZBAH=ZHEC:④厶EHF^^AHD；⑤若器=2，則&四邊形DHEC

SAAHE€■.其中哪些結(jié)論是正確（）BCDA.①②④⑤B.②③④C.①②③D.②③④⑤【分析】①根據(jù)正方形對角線互相垂直、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直即可得結(jié)論；根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等即可得結(jié)論；根據(jù)全等三角形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)進(jìn)行角的計(jì)算即可得結(jié)論；根據(jù)邊邊邊證明三角形全等即可得結(jié)論；根據(jù)割補(bǔ)法求四邊形的面積，再求等腰直角三角形的面積，即可得結(jié)論.【解答】證明：①在正方形ABCD中，ZADC=ZC=90°?.?EF〃CD.?.ZEFD=90°,得矩形EFDC.在RtAFDG中，H是DG中點(diǎn)，.?FH丄BD??正方形對角線互相垂直，過A點(diǎn)只能有一條垂直于BD的直線，.?.AE不垂直于BD,.?.FH與AE不平行.所以①不正確.??四邊形ABEF是矩形，.?.AF=EB,ZBEF=90°,?BD平分ZABC,.°.ZEBG=ZEGB=45°,..BE=GE,.°.AF=EG.在RtAFGD中，H是DG的中點(diǎn)，.FH=GH,FH丄BD.\ZAFH=ZAFE+ZGFH=90°+45°=135°ZEGH=180°-ZEGB=180°-45°=135°；.ZAFH=ZEGH.?.△AFH今△EGH,.；AH=EH,ZAHF=ZEHG；.ZAHF+AHG=ZEHG+ZAHG即ZFHG=ZAHE=90°.AH丄EH.所以②正確.?/AAFH^^EGH,.ZFAH=ZGEH,?.?ZBAF=CEG=90°?：ZBAH=ZHEC.所以③正確．④VEF=AD,FH=DH,EH=AH.?.△EHF竺AAHD所以④正確．設(shè)EC=FD=x,則BE=AF=EG=2x,.BC=DC=AB=AD=3x，AH2=(|>x)2+(*)2=參2,TOC\o"1-5"\h\zS=S-S四邊形DHEC梯形EGDC△EGH=*(2x+3x)?x-*X2廠*：<=2x2s=2ah?eh=2ah2=x2△AHE.S四邊形DHEC=2^2=g^■AAHEI?所以⑤不正確．故選：B.二．填空題（共6小題）7.如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線BD上的點(diǎn)，要使四邊形AFCE是平行四邊形,還需添加的一個(gè)條件是BF=DE（答案不唯一）（只需添加一個(gè)正確的即可）.【分析】由平行四邊形的判定定理，通過對角線互相平分得出結(jié)論【解答】解：添加的一個(gè)條件為BF=DE；理由如下：??四邊形ABCD是平行四邊形，.AO=CO、BO=DO，?BF=DE，.OE=OF，???四邊形AFCE是平行四邊形；故答案為：BF=DE（答案不唯一）.8如圖，在AABC中，ZACB=90°,D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且AE=AD,BF=BD.若DE=.邁，DF=2，則ZEDF=45。，線段AB的長度=_2柢_.【分析】延長FD到M使得DM=DF,連接AM、EM、EF,作EN丄DF于N，先證明ZEDF=45°，在RtAEMN中求出EM,再證明AAEM是等腰直角三角形即可解決問題.【解答】解：如圖，延長FD到M使得DM=DF，連接AM、EM、EF,作EN丄DF于N.VZC=90°，.\ZBAC+ZB=90°,?.?AE=AD,BF=BD,,\ZAED=ZADE,ZBDF=ZBFD,.?.2ZADE+ZBAC=180°,2ZBDF+ZB=180°,.\2ZADE+2ZBDF=270°,AZADE+ZBDF=135°,AZEDF=180°-(ZADE+ZBDF)=45°,VZEND=90°,DE=.4,.\ZEDF=ZDEN=45°,.??EN=DN=1,在ADAM和中，'DA=DB乂ZADM=ZBDF,tDM=DF/.△ADM^ABDF(SAS),.\BF=AM=BD=AD=AE,ZMAD=ZB,.：ZMAE=ZMAD+ZBAC=90.?.EM=T靳，在RtAEMN中，TEN=1,MN=DM+DN=3,???EM=滬+M護(hù)=T1°，AM=T5,AB=2AM=2■/5故答案為：45,2我平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-l,m)、B(-4,0)、C(1,0)、D(a,m),且m>0,若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4)或(-5,T可).【分析】作AM丄BC于M,由題意得出AD〃BC,OB=4,OC=1,OM=1得出AD=BC=5,BM=3,CM=2,①當(dāng)點(diǎn)D在y軸的右側(cè)時(shí)，由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=5，由勾股定理得出AM=；歸2-1^2=4，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4)；當(dāng)點(diǎn)D在y軸的左側(cè)時(shí)，由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=5,由勾股定理得出AM=出於-CM2=1可，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-6,??邁I).【解答】解：作AM丄BC于M,VA(-1,m)、B(-4,0)、C(1,0)、D(a,m),且m>0,.：AD〃BC,0B=4,OC=1,OM=1,.*.AD=BC=5,BM=3,CM=2,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：???以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，,*.AB=BC=5,???側(cè)=我哄-BM?=-/=4,???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4)；當(dāng)點(diǎn)D在y軸的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：??以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，?AB=BC=5,

.??他=理嚴(yán)一cm'=；52-護(hù)=｛肚???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6,?邁I）；綜上所述，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,4）或（-6,価）;故答案為：（4,4）或（-6,?邁I）.圖2圖1如圖，在矩形ABCD中，過點(diǎn)D作DE丄AC,垂足為E,延長線ED至F,使DF=AC，連接BF交AD于G.若AB=1,AD=2，則ZABG=45°,GF=_2：2.【分析】如圖，作FH丄AD交AD的延長線于H.由AADC^AFHD（AAS）,推出FH=AD=2,DH=CD=1,由AB〃FH,推出AG：GH=AB：FH=1：2,由AH=AD+DH=2+1=3,推出AG=1,GH=2,由此即可解決問題；【解答】解：如圖，作FH丄AD交AD的延長線于H.???四邊形ABCD是矩形，.°.AD=BC=2,AB=CD=1,NADC=NCDH=NH=NBAD=90°,VZACD+ZCDE=90°,ZCDE+ZFDH=90°,???ZACD=ZFDH,?AC=DF,..△ADC^^FHD(AAS).FH=AD=2,DH=CD=1,???AB〃FH,.AG：GH=AB：FH=1：2,?AH=AD+DH=2+1=3,.AG=1,GH=2,.AB=AG=1,GH=FH=2,.：ZABG=45°,FG=.：護(hù)+護(hù)=2〔2,故答案為45°,2?.邁.在矩形ABCD中，M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，對于任意矩形ABCD,下面四個(gè)結(jié)論中，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形.所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.【分析】根據(jù)矩形的判定和性質(zhì),菱形的判定,正方形的判定,平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論.【解答】解：①如圖，??四邊形ABCD是矩形，連接AC,BD交于O,

過點(diǎn)0直線MP和QN,分別交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,則四邊形MNPQ是平行四邊形，故當(dāng)MQ〃PN,PQ〃MN，四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；如圖，當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；故正確;如圖，當(dāng)PM丄QN時(shí)，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；故正確；當(dāng)四邊形MNPQ是正方形時(shí)，MQ=PQ,則厶AMQ竺△DQP,.??AM=QD,AQ=PD,?.?PD=BM,.：AB=AD,???四邊形ABCD是正方形與任意矩形ABCD矛盾，故錯(cuò)誤；故答案為：①②③.如圖，在AABC中，AB=13,BC=12，點(diǎn)D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接DE,CD,如果DE=2.5,那么CD的長是6.5.(?【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到AC=2DE=5,AC〃DE,根據(jù)勾股定理的逆定理得到ZACB=90。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC=BD=*AB.【解答】解:VD,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，.：AC=2DE=5,AC#DE,AC2+BC2=52+122=169,

AB2=132=169,.?.AC2+BC2=AB2,.??ZACB=90°,?.?AC〃DE,???ZDEB=90°，又VE是BC的中點(diǎn)，???直線DE是線段BC的垂直平分線，?.DC=BD=*AB=6.5,故答案是：6.5．三．解答題如圖，平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點(diǎn)作AE丄BD,CF丄BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N.求證：四邊形CMAN是平行四邊形.已知DE=2,FN=1,求BN的長.D電C【分析】(1)欲證明四邊形AMCN是平行四邊形，只要證明CM#AN,AM〃CN即可；(2)首先證明△MDE^ANBF,推出ME=NF=1,在RtADME中，根據(jù)勾股定理即可解決問題；【解答】證明：??四邊形ABCD是平行四邊形，CD〃AB,VAM丄BD,CN丄BD,AM〃CN,CM〃AN,AM〃CN,.??四邊形AMCN是平行四邊形.(2)V四邊形AMCN是平行四邊形，CM=AN,???四邊形ABCD是平行四邊形，.?.CD=AB,CD〃AB,.??DM=BN,ZMDE=ZNBF,在AMDE和Al^BF中，Vmde=Znbf乂ZDEM=ZNFB,tDM=BN.?.△MDE竺△NBF,?ME=NF=1,在RtADME中，TZDEM=90°,DE=4,ME=3,.?.BN=DM=；：de2+Me'=；尹+1'=我如圖，AD是AABC的中線，AE〃BC,BE交AD于點(diǎn)F,交AC于G,F是AD的中點(diǎn).求證：四邊形ADCE是為平行四邊形；若EB是ZAEC的角平分線，請寫出圖中所有與AE相等的邊.【分析】(1)首先證明AAFE^ADFB可得AE=BD，進(jìn)而可證明AE=CD，再由AE〃BC可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCE是平行四邊形；(2)圖中所有與AE相等的邊有：AF、DF、BD、DC.理由平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定即可解決問題；【解答】(1)證明：?AD是厶ABC的中線，?BD=CD,?AE〃BC,.\ZAEF=ZDBF,在AAFE和ADFB中，Vaef=Zdbf’ZAFE=ZBFD,laf=df/.△AFE^^DFB(AAS),.°.AE=BD,.°?AE=CD,?.?AE〃BC,???四邊形ADCE是平行四邊形；(2)圖中所有與AE相等的邊有：AF、DF、BD、DC.理由：??四邊形ADCE是平行四邊形，AE=DC,AD〃EC,BD=DC,AE=BD,BE平分ZAEC,；.ZAEF=ZCEF=ZAFE,AE=AF,△AFE^^DFB,AF=DF,AE=AF=DF=CD=BD．如圖，已知E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)，AC是對角線，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)BF.求證：四邊形ABFC是平行四邊形；若ZAEC=2ZABC,求證：四邊形ABFC為矩形.【分析】(1)由AABE與AFCE全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AB=CF；再由AB與CF平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABFC為平行四邊形，(2)根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到AE=EF,BE=EC；再由ZAEC為三角形ABE的外角，利用外角的性質(zhì)得到ZAEC等于ZABE+ZEAB，再由ZAEC=2ZABC，得到ZABE=ZEAB，利用等角對等邊可得出AE=BE，可得出AF=BC,利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出ABFC為矩形.【解答】證明：(1)7四邊形ABCD為平行四邊形，???AB〃DC,,\ZABE=ZECF，又7E為BC的中點(diǎn)，BE=CE，在AABE和AFCE中，Vabe=Zecf?CBE=CE，tZAEB=ZFEC(對頂角相等).?.△ABE竺AFCE(ASA)；AB=CF，又???四邊形ABCD為平行四邊形，AB〃CF，???四邊形ABFC為平行四邊形，(2)7四邊形ABFC為平行四邊形，BE=EC，AE=EF，又*/ZAEC=2ZABC,且ZAEC為△ABE的外角，.\ZAEC=ZABC+ZEAB，???ZABC=ZEAB,

.：AE=BE,.?.AE+EF=BE+EC，即AF=BC,則四邊形ABFC為矩形.如圖，以△ABC的各邊為邊長，在邊BC的同側(cè)分別作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,連接AD，DE，EG.求證：△BDE^ABAC；①設(shè)ZBAC=a，請用含a的代數(shù)式表示ZEDA，ZDAG；②求證：四邊形ADEG是平行四邊形；四邊形ADEG四邊形ADEG是正方形？請說明理由.【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得ABDE^ABAC,(2)由ABDE^ABAC，可得全等三角形的對應(yīng)邊DE=AG.然后利用正方形對角線的性質(zhì)、周角的定義推知ZEDA+ZDAG=180°,易證ED〃GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證ZDAG=90。，且AG=AD.由口ABDI和口ACHG的性質(zhì)證得，AC=J2AB.【解答】(1)證明：???四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，.°.AC=AG,AB=BD,BC=BE,ZGAC=ZEBC=ZDBA=90°.???ZABC=ZEBD(同為ZEBA的余角).在ABDE和ABAC中，'BD=BA乂ZDBE=ZABC,tBE=BC.?.△BDE竺ABAC(SAS),(2)①解：?.?△BDE9ABAC,ZADB=45°,.*.ZEDA=a-45°,?ZDAG=360°-45°-90°-a=225°-a,②證明：???△BDE^ABAC,.°?DE=AC=AG,ZBAC=ZBDE.?AD是正方形ABDI的對角線，.??ZBDA=ZBAD=45°.?*ZEDA=ZBDE-ZBDA=ZBDE-45°,ZDAG=360°-ZGAC-ZBAC-ZBAD=360°-90°-ZBAC-45°=225°-ZBAC.\ZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=180°.?.DE〃AG,???四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）.解：結(jié)論：當(dāng)四邊形ADEG是正方形時(shí)，ZDAG=90°，且AG=AD.理由：由①知，當(dāng)ZDAG=90。時(shí)，ZBAC=135°.??四邊形ABDI是正方形，.??AD=.屜.又??四邊形ACHG是正方形，?AC=AG，??.AC=.1AB.??.當(dāng)ZBAC=135°且AC=iEaB時(shí)，四邊形ADEG是正方形.如圖，已知正方形ABCD,P是對角線AC上任意一點(diǎn)，PM丄AD,PN丄AB,垂足分別為點(diǎn)M和N,PE丄PB交AD于點(diǎn)E.求證：四邊形MANP是正方形；求證：EM=BN.衛(wèi)-VB【分析】（1）根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形證明四邊形MANP是矩形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：PM=PN,可得結(jié)論；（2）證明AEPM竺△BPN,可得結(jié)論.【解答】證明：（1）：?四邊形ABCD是正方形，.??ZDAB=90°,AC平分ZDAB,（1分）?.?PM丄AD,PN丄AB,.\ZPMA=ZPNA=90°,??.四邊形MANP是矩形，（2分）?AC平分ZDAB,PM丄AD,PN丄AB,???PM=PN,（3分）??.四邊形MANP是正方形；（4分）（2）7四邊形ABCD是正方形，；.PM=PN,ZMPN=90°,VZEPB=90°,；.ZMPE+ZEPN=ZNPB+ZEPN=90°,；.ZMPE=ZNPB,（5分）在AEPM和中，VPMA=ZPNB=90°?P肛PN,lZMPE=ZNPB.?.△EPM竺ABPN（ASA）,（6分）.??EM=BN.（7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)0是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且AB=AE,連接E0并延長交AD于點(diǎn)F.過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為H,交AC于點(diǎn)G.（1）若AH=3,HE=1,求AABE的面積；（2）若ZACB=45°，求證:DF=.^CG.【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的長，進(jìn)而運(yùn)用公式得出AABE的面積;(2)過A作AM丄BC于M,交BG于K,過G作GN丄BC于N,判定△AME竺△BNG(AAS),可得ME=NG,進(jìn)而得出BE=^GC，再判定△AFO^^CEO(AAS),可得AF=CE，即可得到D