課時跟蹤檢測(二十四)零點的存在性及其近似值的求法[A級基礎鞏固]1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)的，且其中的四組對應值如下表，那么在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)不一定存在零點的是()x1235f(x)3－120A．(1，2) B．[1，3]C．[2，5) D．(3，5)解析：選D由圖表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)＜0，可知函數(shù)f(x)在(1，2)上一定有零點；則函數(shù)f(x)在[1，3]上一定有零點；由f(2)·f(3)＜0，可知函數(shù)f(x)在(2，3)上一定有零點；則函數(shù)f(x)在[2，5)上一定有零點；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零點．所以函數(shù)f(x)不一定存在零點的是(3，5)．故選D.2．在用二分法求函數(shù)f(x)零點的近似值時，第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A．[1，4] B．[－2，1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：選D∵第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).3．函數(shù)f(x)＝x3－9的零點所在的大致區(qū)間是()A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)解析：選D因為函數(shù)f(x)＝x3－9在R上單調(diào)遞增，f(2)＝8－9＝－1＜0，f(3)＝27－9＝18＞0，所以根據(jù)零點存在定理，可得函數(shù)f(x)＝x3－9的零點所在的大致區(qū)間是(2，3)．故選D.4．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：選A因為f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以方程在(－3，－1)內(nèi)必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以方程在(2，4)內(nèi)必有根．5．(多選)若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說法正確的是()A．f(x)在區(qū)間(0，1)上一定有零點B．f(x)在區(qū)間(0，1)上一定沒有零點C．f(x)在區(qū)間(1，2)上可能有零點D．f(x)在區(qū)間(1，2)上一定有零點解析：AC因為f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，所以f(0)·f(1)<0，又函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不斷，由零點存在定理，可得f(x)在區(qū)間(0，1)上一定有零點．又f(1)·f(2)>0，因此無法判斷f(x)在區(qū)間(1，2)上是否有零點．故選A、C.6．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，4]上零點的近似值，經(jīng)驗證有f(2)·fx1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計算得f(2)·f(x1)＜0，則此時零點x0∈________(填區(qū)間)．解析：因為f(2)·f(3)＜0，所以零點在區(qū)間(2，3)內(nèi)．答案：(2，3)7．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，則a，b的關系是____________．解析：∵函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法，∴函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b圖像與x軸相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.答案：a2＝4b8．求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間(1)內(nèi)的一個零點(精確度ε＝0.1)，用“二分法”逐次計算列表如下：端(中)點的值中點函數(shù)值符號零點所在區(qū)間|an－bn|(1)f(1.25)<0)f(1.375)>0)1.3125f(1.3125)<0(1.3125)0.0625則函數(shù)零點的近似值為________．解析：∵精確度ε，由表可知|1.375－1.3125|＝，∴函數(shù)零點的近似值為1.3125.答案：1.31259．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4，求下列條件下，實數(shù)a的取值范圍．(1)零點均大于1；(2)一個零點大于1，一個零點小于1；(3)一個零點在(0，1)內(nèi)，另一個零點在(6，8)內(nèi)．解：(1)由題可得方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，結合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（－2a）2－16≥0，,f（1）＝5－2a>0，,a>1.))解得2≤a<eq\f(5,2).(2)由題可得方程x2－2ax＋4＝0的一個根大于1，一個根小于1，結合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理，得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2).(3)由題可得方程x2－2ax＋4＝0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一個根在(6，8)內(nèi)，結合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝4>0，,f（1）＝5－2a<0，,f（6）＝40－12a<0，,f（8）＝68－16a>0，))解得eq\f(10,3)<a<eq\f(17,4).10．已知函數(shù)f(x)＝2x3－1(x∈R)．(1)證明：函數(shù)f(x，1)內(nèi)有一個零點；(2)求出f(x，1)內(nèi)零點的近似解．(精確度為0.1)解：(1)證明：函數(shù)f(x)＝2x3，1]上連續(xù)．且f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝eq\f(1,4)－1＜0，所以函數(shù)f(x，1)內(nèi)有一個零點．(2)由(1)知f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3，1)內(nèi)有實數(shù)根．如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)根所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b)的中點f(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，1)f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＜0，1)f(0.75)＜0f(1)＞0f(0.875)＞0)0.8125f(0.75)＜0f(0.875)＞0f(0.8125)＞0，所以方程2x3－1＝0的一個近似解可取為0.75.[B級綜合運用]11．(多選)已知y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，下列命題正確的是()A．若f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)>0，則其在(a，b)內(nèi)沒有零點B．若f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，則其在(a，b)內(nèi)有零點C．若f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，則其在(a，b)內(nèi)有零點D．若f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線且單調(diào)，又f(a)·f(b)<0成立，則其在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點解析：選CD對于A，函數(shù)y＝x2，滿足f(－1)·f(1)>0，在(－1，1)內(nèi)有零點，故A不正確；對于B，若f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖像是條連續(xù)不斷的曲線，f(a)＝－1，f(b)＝1，且在(a，b)上f(x)>0恒成立，此時滿足f(a)·f(b)<0，但是其在(a，b)內(nèi)沒有零點，故B不正確；對于C，若f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，根據(jù)零點的存在定理，可得在(a，b)內(nèi)有零點，故C正確；對于D,若f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線且單調(diào)，又f(a)·f(b)<0成立，根據(jù)零點的存在定理，在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點，故D正確．故選C、D.12．(多選)已知函數(shù)f(x)，g(x)的圖像分別如圖①②所示，方程f(g(x))＝1，g(f(x))＝－1，g(g(x))＝－eq\f(1,2)的實根個數(shù)分別為a，b，c，則()A．a(chǎn)＋b＝c B．b＋c＝aC．a(chǎn)b＝c D．b＋c＝2a解析：選AD由題圖，方程f(g(x))＝1，－1<g(x)<0，此時對應4個解，故a＝4；方程g(f(x))＝－1，得f(x)＝－1或f(x)＝1，此時有2個解，故b＝2；方程g(g(x))＝－eq\f(1,2)，g(x)取到4個值，如圖所示：即－2<g(x)<－1或－1<g(x)<0或0<g(x)<1或1<g(x)<2，則對應的x的解有6個，故c＝6.根據(jù)選項，可得A，D成立．故選A、D.13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤m，,x－4，x＞m.))如果函數(shù)f(x)恰有兩個零點，那么實數(shù)m的取值范圍為________．解析：作出函數(shù)y＝－x2－2x和y＝x－4的圖像，如圖所示，要使函數(shù)f(x)恰有兩個零點，則－2≤m＜0或m≥4，即實數(shù)m的取值范圍是[－2，0)∪[4，＋∞)．答案：[－2，0)∪[4，＋∞)14．在一個風雨交加的夜里，某水庫閘房(設為A)到防洪指揮部(設為B)的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段查找，困難很多，每查一個點需要很長時間．(1)維修線路的工人師傅應怎樣工作，才能每查一次，就把待查的線路長度縮減一半？(2)要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50m～100m左右，最多要查多少次？解：(1)如圖所示，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，假設發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D查，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD段中點E來查，依次類推……(2)每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，因此只要7次就夠了．[C級拓展探究]15．對于函數(shù)f(x)，若存在x0，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點，已知f(x)＝x2＋bx＋c.(1)若f(x)的兩個不動點為－3，2，求函數(shù)f(x)的零點；(2)當c＝eq\f(1,4)b2時，函數(shù)f(x)沒有不動點，求實數(shù)b的取值范圍．解：(1)由題意知f(x)＝x有兩根，即x2＋(b－1)x＋c＝0有兩根，分別為－3，2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋2＝－（b－1），,－3×2＝c，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－6.))從而f(x)＝x2＋2x－6.由f(x)＝0，得x1＝－1－eq\r