7.2.4誘導(dǎo)公式角α與α＋k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系終邊相同的角，同名三角函數(shù)值相等(“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同)．不難看出，α與α＋k·2π(k∈Z)的終邊相同，所以當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，有sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα.(誘導(dǎo)公式①)角α與－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．角－α與角α的終邊關(guān)于__x__軸對(duì)稱．如圖所示．2．誘導(dǎo)公式②：sin(－α)＝__－sin__α__，cos(－α)＝__cos__α__，tan(－α)＝__－tan__α__．角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．角π－α和α的終邊關(guān)于角eq\f(π,2)的終邊所在的直線對(duì)稱，角π＋α與角α的終邊關(guān)于__原點(diǎn)__對(duì)稱．如圖所示．2．誘導(dǎo)公式③：sin(π－α)＝__sin__α__，cos(π－α)＝__－cos__α__，tan(π－α)＝__－tan__α__．3．誘導(dǎo)公式④：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.角α與eq\f(π,2)－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．α和eq\f(π,2)－α的終邊關(guān)于角eq\f(α＋（\f(π,2)－α）,2)＝eq\f(π,4)的終邊所在的直線(即直線y＝x)對(duì)稱．2．角α與eq\f(π,2)－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．誘導(dǎo)公式⑤：sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)－α)＝sinα.其他一些三角函數(shù)值之間的關(guān)系誘導(dǎo)公式⑥：sin(eq\f(π,2)＋α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα.誘導(dǎo)公式⑦：cos(eq\f(3π,2)＋α)＝sinα，sin(eq\f(3π,2)＋α)＝－cosα.誘導(dǎo)公式⑧：cos(eq\f(3π,2)－α)＝－sinα，sin(eq\f(3π,2)－α)＝－cosα.公式作用：利用公式(四)，我們可以用0°～360°的三角函數(shù)值表示為0°～180°的三角函數(shù)值．利用公式(三)，我們可以用0°～180°的三角函數(shù)值表示為0°～90°的三角函數(shù)值．注：(1)公式(一)～(八)都稱為誘導(dǎo)公式，利用誘導(dǎo)公式可以求三角函數(shù)式的值或化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，誘導(dǎo)公式本身還反映了我們后面要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的性質(zhì)．(2)八組誘導(dǎo)公式可以總結(jié)為如下口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．前四組公式的特點(diǎn)：符號(hào)看象限，函數(shù)名不變；后四組公式的特點(diǎn)：符號(hào)看象限，函數(shù)名改變．事實(shí)上，這8組誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得到角α的同名三角函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得到角α的余名三角函數(shù)值，然后特別需要注意，在前面加上把α看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).給角求值1．coseq\f(113π,6)＝eq\a\vs4\al(（C）)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：coseq\f(113π,6)＝coseq\f(5π,6)＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).故選C.2．?α∈R，下列各式中與sinα相等的是eq\a\vs4\al(（D）)A．sin(－α)B．cos(eq\f(π,2)＋α)C．sin(π＋α)D．sin(π－α)解析：∵sin(－α)＝－sinα；cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα；sin(π＋α)＝－sinα；sin(π－α)＝sinα.∴與sinα相等的是sin(π－α)．故選D.3．下列等式成立的是eq\a\vs4\al(（C）)A．cos(－eq\f(π,6))＝－coseq\f(π,6)B．sin(－eq\f(5π,3))＝－sineq\f(π,3)C．cos(－eq\f(11π,9))＝－coseq\f(2π,9)D．taneq\f(11π,6)＝taneq\f(π,6)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，cos(－eq\f(π,6))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，sin(－eq\f(5π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，cos(－eq\f(11π,9))＝cos(π＋eq\f(2π,9))＝－coseq\f(2π,9)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，taneq\f(11π,6)＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，故錯(cuò)誤．故選C.給值求值4．已知tanα＝eq\f(2,3)，則tan(2π－α)＝eq\a\vs4\al(（A）)A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)解析：tanα＝eq\f(2,3)，則tan(2π－α)＝－tanα＝－eq\f(2,3).故選A.5．角α的終邊在直線y＝2x上，則eq\f(sin（α－π）＋cos（π－α）,sin（π＋α）－cos（π－α）)＝eq\a\vs4\al(（C）)A.eq\f(1,3)B．1C．3D．－1解析：∵角α的終邊在直線y＝2x上，∴tanα＝2.∴eq\f(sin（α－π）＋cos（π－α）,sin（π＋α）－cos（π－α）)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)C.6．已知sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，則eq\f(sin（π－α）tan（－π－α）,sin（\f(π,2)＋α）)＝eq\a\vs4\al(（D）)A.eq\f(5,8)B．－eq\f(5,8)C.eq\f(16,9)D．－eq\f(16,9)解析：∵sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(4,5)，∴cos2α＝1－sin2α＝eq\f(9,25)，∴eq\f(sin（π－α）tan（－π－α）,sin（\f(π,2)＋α）)＝eq\f(sinα（－tanα）,cosα)＝－eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(\f(16,25),\f(9,25))＝－eq\f(16,9).故選D.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明7．已知θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，則2cosθ＋eq\r(1－2sin（π－θ）cosθ)＝eq\a\vs4\al(（A）)A．sinθ＋cosθB．sinθ－cosθC．cosθ－sinθD．3cosθ－sinθ解析：因?yàn)棣取?eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，則sinθ＞cosθ，所以2cosθ＋eq\r(1－2sin（π－θ）cosθ)＝2cosθ＋eq\r(（sinθ－cosθ）2)＝2cosθ＋sinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.故選A.8．化簡(jiǎn)：eq\f(cos（180°＋α）sin（α＋360°）,tan（－α－180°）cos（－180°＋α）).解：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos[－(180°－α)]＝cos(180°－α)＝－cosα，所以原式＝eq\f(－cosαsinα,（－tanα）（－cosα）)＝－cosα.9．