第二課時(shí)向量的減法新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)邏輯推理，并理解其幾何意義直觀想象如圖，向量eq\o(AD,\s\up7(―→))是向量eq\o(AB,\s\up7(―→))與向量x的和．[問(wèn)題]你能作出向量x嗎？知識(shí)點(diǎn)向量的減法1．定義：平面上任意兩個(gè)向量a，b，如果向量x滿足b＋x＝a，則向量x叫作a與b的差，記為a－b．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫作向量的減法．2．作法：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up7(―→))．a(chǎn)－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．3．法則：當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，向量a，b，a－b正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此求兩向量差的作圖方法也常稱為向量作差的三角形法則．eq\a\vs4\al()對(duì)向量減法的三點(diǎn)說(shuō)明(1)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，即a－b＝a＋(－b)；(2)兩個(gè)向量作差的前提是將兩個(gè)向量移到共同的起點(diǎn)；(3)在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減”．1．下列計(jì)算正確的是()A．eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→)) B．eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))C．eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→)) D．eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))解析：選B∵eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))，∴B正確，A錯(cuò)誤；∵eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(OB,\s\up7(―→))，∴C錯(cuò)誤；∵eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(OB,\s\up7(―→))，∴D錯(cuò)誤．2．化簡(jiǎn)：eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(DC,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))等于()A．eq\o(AD,\s\up7(―→)) B．eq\o(AC,\s\up7(―→))C．eq\o(DA,\s\up7(―→)) D．eq\o(DB,\s\up7(―→))解析：選Aeq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(DC,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→)).向量的減法運(yùn)算[例1](1)如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up7(―→))＝eq\o(QC,\s\up7(―→))，則化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AP,\s\up7(―→))－eq\o(AQ,\s\up7(―→))的結(jié)果為()A．0 B．eq\o(BP,\s\up7(―→))C．eq\o(PQ,\s\up7(―→)) D．eq\o(PC,\s\up7(―→))(2)化簡(jiǎn)：①eq\o(BA,\s\up7(―→))＋eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(BC,\s\up7(―→))；②(eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BO,\s\up7(―→))＋eq\o(OA,\s\up7(―→)))－(eq\o(DC,\s\up7(―→))－eq\o(DO,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→)))．(1)[解析]eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AP,\s\up7(―→))－eq\o(AQ,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AP,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AQ,\s\up7(―→))＝eq\o(PB,\s\up7(―→))＋eq\o(QC,\s\up7(―→))＝0，故選A．[答案]A(2)[解]①eq\o(BA,\s\up7(―→))＋eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(eq\o(BA,\s\up7(―→))－eq\o(BC,\s\up7(―→)))＋(eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→)))＝eq\o(CA,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→)).②(eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BO,\s\up7(―→))＋eq\o(OA,\s\up7(―→)))－(eq\o(DC,\s\up7(―→))－eq\o(DO,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→)))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))－eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(OB,\s\up7(―→))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(CO,\s\up7(―→))＋eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))＝0.eq\a\vs4\al()向量減法運(yùn)算的常用方法[跟蹤訓(xùn)練]化簡(jiǎn)：(1)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))－eq\o(DC,\s\up7(―→))＋eq\o(DE,\s\up7(―→))＋eq\o(FA,\s\up7(―→))；(2)(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→)))－(eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(BD,\s\up7(―→)))．解：(1)eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CB,\s\up7(―→))－eq\o(DC,\s\up7(―→))＋eq\o(DE,\s\up7(―→))＋eq\o(FA,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(DE,\s\up7(―→))＋eq\o(FA,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))＋eq\o(FA,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))－eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(FE,\s\up7(―→)).(2)法一：(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→)))－(eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(BD,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(DC,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＋eq\o(DC,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→)))－(eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(BD,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→)))－eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(CB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(DB,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝0.法三：設(shè)O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則(eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→)))－(eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(BD,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(CD,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(eq\o(OB,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→)))－(eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OC,\s\up7(―→)))－(eq\o(OC,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→)))＋(eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→)))＝eq\o(OB,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→))－eq\o(OD,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))－eq\o(OC,\s\up7(―→))＋eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))＝0.向量減法及其幾何意義[例2](鏈接教科書(shū)第12頁(yè)例3)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.[解]法一：如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b，則eq\o(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up7(―→))＝c，則eq\o(CB,\s\up7(―→))＝a＋b－c.法二：如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b，則eq\o(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up7(―→))＝c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up7(―→))＝a＋b－c.eq\a\vs4\al()求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可；(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝c，求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.解：(1)以eq\o(OB,\s\up7(―→))，eq\o(OC,\s\up7(―→))為鄰邊作?OBDC，如圖，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up7(―→))＝eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(OD,\s\up7(―→))－eq\o(OA,\s\up7(―→))＝b＋c－a.(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如圖，作?OBEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up7(―→))＝eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))＝b＋c，連接AE，則eq\o(EA,\s\up7(―→))＝a－(b＋c)＝a－b－c.向量加、減法法則的綜合應(yīng)用[例3]如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AE,\s\up7(―→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up7(―→))，eq\o(BC,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→)).[解]因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))＝c，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝b－a＋c.[母題探究]1．(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，試用向量a，b，c表示eq\o(BE,\s\up7(―→))與eq\o(CE,\s\up7(―→)).解：eq\o(BE,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))＝c－b.2．(變條件)本例中的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn)”若換為“點(diǎn)B是該平行四邊形ACDE外一點(diǎn)”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？解：因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up7(―→))＝eq\o(AE,\s\up7(―→))＝c，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→))＝b－a＋c.eq\a\vs4\al()利用已知向量表示其他向量的一個(gè)關(guān)鍵及三點(diǎn)注意(1)一個(gè)關(guān)鍵：確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．(2)三點(diǎn)注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系；②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運(yùn)算律；③注意在封閉圖形中利用多邊形法則．1．在△ABC中，若eq\o(BA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝b，則eq\o(CA,\s\up7(―→))＝()A．a(chǎn) B．a(chǎn)＋bC．b－a D．a(chǎn)－b解析：選Deq\o(CA,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))－eq\o(BC,\s\up7(―→))＝a－b.故選D.2.如圖所示，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，則用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up7(―→))和eq\o(BD,\s\up7(―→))分別是()A．a(chǎn)＋b和a－b B．a(chǎn)＋b和b－aC．a(chǎn)－