1.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義,熟悉常見(jiàn)的全稱量詞和存在量詞.2.能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題并能判斷命題的真假.3.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,理解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的意義.4.能正確地對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定.

全稱量詞命題與存在量詞命題1|全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的詞符號(hào)表示“?x”表示“①對(duì)任意x

”全稱量詞命題含有②全稱量詞

的命題形式“③

?x∈M,p(x)

”,其中,M為給定的集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的語(yǔ)句全稱量詞命題的真假判斷全真為真,一假為假2|存在量詞與存在量詞命題存在量詞“存在”“有的”“有一個(gè)”等表示部分或個(gè)體的詞符號(hào)表示“?x”表示“④存在x

”存在量詞命題含有⑤存在量詞

的命題形式“⑥

?x∈M,p(x)

”,其中,M為給定的集合,p(x)是一個(gè)關(guān)于x的語(yǔ)句存在量詞命題的真假判斷一真為真,全假為假3|全稱量詞命題與存在量詞命題的否定命題的類型命題的符號(hào)表示命題的否定的符號(hào)表示結(jié)論全稱量詞命題?x∈M,p(x)⑦

?x∈M,?p(x)

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題存在量詞命題?x∈M,p(x)⑧

?x∈M,?p(x)

存在量詞命題的否定是⑨全稱量詞

命題對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定,就得到了一個(gè)新的命題,這兩個(gè)命題不能同時(shí)為真,也不能同時(shí)為假,它們的關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.1.“一切”“每一個(gè)”“任意”是全稱量詞.

(√)2.“有些”“有一個(gè)”“有的”是存在量詞.

(√)3.全稱量詞命題“自然數(shù)都是正整數(shù)”是真命題.

(

?)提示:0是自然數(shù),但0不是正整數(shù),因此“自然數(shù)都是正整數(shù)”是假命題.4.“有些三角形中三個(gè)內(nèi)角相等”是存在量詞命題.(√)提示:命題中含有存在量詞“有些”,所以是存在量詞命題.5.在全稱量詞命題和存在量詞命題中,量詞都可以省略.

(

?)提示:在存在量詞命題中,量詞不能省略,有些全稱量詞命題的量詞可以省略.6.命題“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,?p(x)”,它們可以同真同假.

(

?)7.若命題?p是存在量詞命題,則命題p是全稱量詞命題.(√)提示:因?yàn)?p的否定是p,所以p是全稱量詞命題.判斷正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.8.命題“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”.(

?)提示:命題“正方形是矩形”是省略量詞“所有”的全稱量詞命題,它的否定是

“有的正方形不是矩形”,而存在量詞命題中的存在量詞不能省略.9.用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式是唯一的.(

?)提示:用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式不唯一,如“所有的菱形都是

平行四邊形”的否定可以是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”,也可以是

“有些菱形不是平行四邊形”.1|全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷問(wèn)題1.哥德巴赫猜想是全稱量詞命題嗎?提示:是.含有全稱量詞“任何”.2.你能寫(xiě)出哥德巴赫猜想的否定形式嗎?提示:全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.3.你能舉例驗(yàn)證陳氏定理的否定是假命題嗎?提示:不能.1.判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關(guān)鍵是看命題中含有的量詞是全稱量詞還是存在量詞.需要注意的是有些全稱量詞命題的全稱量詞可以省略不寫(xiě).2.要判定全稱量詞命題“對(duì)任意x∈M,p(x)成立”是真命題,需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立.但要判定該命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0,使p(x)不成立即可.要判定存在量詞命題“存在x∈M,p(x)成立”是真命題,只要在集合M中能找到一個(gè)x=x0,使p(x)成立即可;否則,這一命題就是假命題.3.全稱(存在)量詞命題的否定是將其全稱量詞(存在量詞)改為存在量詞(全稱量詞),并把結(jié)論否定.4.命題與命題的否定的真假性相反.當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí),可以通過(guò)判斷原命題的真假來(lái)得出命題的否定的真假.常用的正面敘述詞語(yǔ)和它的否定詞語(yǔ):原詞語(yǔ)等于(=)小于(<)有是都是至少一個(gè)至多一個(gè)至多有n個(gè)否定詞語(yǔ)不等于(≠)不小于(≥)沒(méi)有不是不都是一個(gè)也沒(méi)有至少兩個(gè)至少有(n+1)個(gè)寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.(1)?x∈R,|x|=x;(2)至少有一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn);(3)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);(4)?x,y∈Z,使得

x+y=3.思路點(diǎn)撥找到命題含有的量詞,從量詞的否定入手,寫(xiě)出命題的否定,再判斷其真假.解析

(1)“?x∈R,|x|=x”的否定是“?x∈R,|x|≠x”.若x=-1,則|-1|≠-1,所以命題的否定是真命題.(2)“至少有一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)”的否定是“所有二次函數(shù)的圖象與x軸都有交點(diǎn)”.如二次函數(shù)y=x2+2x+2,因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以?x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命題的否定是假命題.(3)“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是“存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù)”.如0的絕對(duì)值是0,所以命題的否定是真命題.(4)“?x,y∈Z,使得

x+y=3”的否定是“?x,y∈Z,

x+y≠3”.當(dāng)x=0,y=3時(shí),

x+y=3,所以命題的否定是假命題.2|全稱量詞命題、存在量詞命題中的參數(shù)問(wèn)題1.全稱量詞命題、存在量詞命題中參數(shù)問(wèn)題的求解方法(1)全稱量詞命題求參的問(wèn)題,常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考查,一般為“恒成立”問(wèn)題.解決此類問(wèn)題時(shí),可構(gòu)造函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍,也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍.(2)存在量詞命題求參的問(wèn)題,通常是假設(shè)存在滿足條件的參數(shù),然后利用條件求參數(shù)范圍,若能求出參數(shù)范圍,則假設(shè)成立;否則,假設(shè)不成立.還可轉(zhuǎn)化為“有解”問(wèn)題,求解時(shí)應(yīng)分離參數(shù).(1)?x∈R,y=0等價(jià)于方程y=0有實(shí)數(shù)根;(2)?x∈R,y>0,就是不等式y(tǒng)>0恒成立,等價(jià)于ymin>0;(3)?x∈R,y>0,就是不等式y(tǒng)>0有解,等價(jià)于ymax>0;(4)?x∈R,y<0,就是不等式y(tǒng)<0恒成立,等價(jià)于ymax<0;(5)?x∈R,y<0,就是不等式y(tǒng)<0有解,等價(jià)于ymin<0.3.“補(bǔ)集思想”的應(yīng)用對(duì)于命題p的有些問(wèn)題正面解決時(shí)很難或者很復(fù)雜,我們可以考慮它的反面,即把命題p的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成命題?p的問(wèn)題,從而把問(wèn)題簡(jiǎn)化,即“正難則反”的方法,也就是“補(bǔ)集思想”的應(yīng)用.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式x2+4x-1>m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)存在實(shí)數(shù)x,使不等式-x2+4x-1>m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路點(diǎn)撥(1)恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為m小于函數(shù)y=x2+4x-1的最小值,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解;(2)存在性問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為m小于函數(shù)y=-x2+4x-1的最大值,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.解析

(1)令y=x2+4x-1,則y=(x+2)2-5,易得二次函數(shù)y=(x+2)2-5的最小值為-5.因?yàn)?x∈R,不等式x2+4x-1>m恒成立,所以只要m小于函數(shù)y=x2+4x-1的最小值即可.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<-5}.(2)令y=-x2+4x-1,則y=-(x-2)2+3,易得二次函數(shù)y=-(x-2)2+3的最大值為3.因?yàn)?x∈R,-x2+4x-1>m有解,所以只要m小于函數(shù)y=-x2+4x-1的最大值即可.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<3}.已知命題p:?x∈R,x2+2x+a≥0,命題q:?x∈

,x2-a≥p和命題q至少有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥本題若從正面解題需分類討論,情況較多,所以從結(jié)論的反面入手,即考慮p、q均為假命題的情況,然后求其補(bǔ)集,即補(bǔ)集思想的應(yīng)用.解析

命題p和q至少有一個(gè)為真命題的否定為命題p和q均為假命題.當(dāng)命題p為假命題時(shí),其否定“?x∈R,x2+2x+a<0”為真命題,令y1=x2+2x+a,則(y1)min<0,故a-1<0,即a<1.當(dāng)命題q為假命題時(shí),其否定“?x∈

,x2-a<0”為真命題,令y2=x2-a,則(