時域分析解析第2章連續(xù)時間信號分析[本章的教學目的與要求]模擬信號分析是信號分析的基本內(nèi)容之一，也是本課程的最基礎部分。通過對模擬信號的頻譜分析，掌握信號頻譜的概念以及周期信號、非周期信號和抽樣信號頻譜特點，為離散信號的分析打下良好的基礎。要求學生掌握周期信號、非周期信號和抽樣信號頻譜分析方法，理解與掌握周期信號、非周期信號和抽樣信號頻譜特點。2[本章基本內(nèi)容]連續(xù)信號的時域分析周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換3[本節(jié)課基本內(nèi)容]2.1連續(xù)信號的時域分析基本的連續(xù)信號連續(xù)信號的運算連續(xù)信號的分解連續(xù)信號的時域分析方法——卷積法2.2周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)2.2.1正交函數(shù)[本節(jié)課重點]典型信號及其函數(shù)和圖形表示卷積原理4信號分析是將一復雜信號分解為若干簡單分量的疊加，并以這些分量的組成情況去考察信號的特性。時域分析（波形分析）：是研究信號的幅值和相位等參數(shù)、信號的穩(wěn)態(tài)和交變分量隨時間的變化情況，其中最常用的是把一個信號在時域上分解為具有不同延時的簡單沖激信號分量的疊加，通過卷積的方法進行系統(tǒng)的時域分析。

5時域(Timedomain)：方法直觀；一般求解微分方程，對復雜信號的分解很難。頻域(Frequencydomain)：可得到直觀的頻譜圖；對復雜信號轉換成簡單代數(shù)方程求解。頻域分析：是把一個復雜信號分解為一系列正交函數(shù)的線性組合，把信號從時域變換到頻域中進行分析，其中最基本的是把信號分解為不同頻率的正弦分量的疊加，即用傅里葉變換（級數(shù)）的方法進行信號分析，也稱“頻譜分析”。62.1連續(xù)時間信號的時域分析

最為重要的方法是將信號分解為沖激信號的疊加，在這一基礎上，線性連續(xù)系統(tǒng)的響應，可應用卷積積分的方法來求解。重點掌握典型信號和卷積的原理。2.1.1基本的連續(xù)信號1、正弦信號（sine）x(t)=Asin(t+)A-振幅；-角頻率；-初相角。正弦信號常用于測試儀器儀表的頻率特性、相位差、穩(wěn)態(tài)響應等。tx(t)A2ππ7正弦信號是周期信號，周期為T，角頻率為Ω和頻率為f在信號與系統(tǒng)分析中，有時要用到衰減的正弦信號01x(t)t8

2、指數(shù)信號x(t)=Aeat(exponential)式中，a是實常數(shù)。若a>0,信號隨時間而增加。

若a<0，衰減。

若a=0，直流信號。a——速率，a越大，速率越快。

=1/a——時間常數(shù)。實際中，較多地將單邊衰減指數(shù)信號用于信號的衰減分析。010.368x(t)t指數(shù)信號的一個重要特性是對時間的積分和微分仍然是指數(shù)形式。tx(t)a=0a>0a<00A93、復指數(shù)函數(shù)(complexexponential)x(t)=Aest=Ae(+jΩ)t=Aet[cosΩt+jsinΩt]實際上不能產(chǎn)生復指數(shù)信號，但它概括了多種情況，可用復指數(shù)來描述各種基本信號，如直流信號、指數(shù)信號、正弦信號。復指數(shù)信號用于信號變換，目的是便于信號的分析。歐拉公式:ejΩt=cosΩt+jsinΩtEuler'sformula

e

jΩt=cosΩtjsinΩtcosΩt=[e

jΩt+e

jΩt]/2sinΩt=[e

jΩte

jΩt]/2j104、Sa(t)函數(shù)（抽樣信號）(sampling)性質:①

偶函數(shù)②振幅逐漸衰弱③當t=

,2

,3

,…時，Sa(t)=0④抽樣信號主要用于信號變換與分析注意t形式的統(tǒng)一1Sa(t)t

2

0115、單位階躍信號1(t),u(t),(t)(step)矩形脈沖G(t)G(t)=u(t)

u(tt0)

=_1tu(t)01tG(t)0

t01tu(t)01tu(tt0)0

t0單位階躍是一個開關信號，含有豐富的頻率分量，可用于測試頻率響應。t＝0處未定義。126.符號函數(shù)sgn(t)(signum)sgn(t)=2u(t)1單邊信號可利用階躍函數(shù)來表示：

單邊正弦信號:sint·u(t)

單邊指數(shù)信號:e-t

·u(t)

單邊衰減的正弦信號:e-t

sint·u(t)01e-t

·u(t)t01e-tsint·u(t)t符號函數(shù)主要用于信號變換與分析1tsgn(t)0-1t

sint·u(t)02ππ137、單位沖激信號(t)（狄拉克（Dirac）函數(shù)）有一些物理現(xiàn)象，他們持續(xù)時間極短，而取值極大，如力學中的爆炸、沖擊、碰撞，電學中的放電、雷擊等。沖激函數(shù)是對這種物理現(xiàn)象的科學抽象與描述。1)單位沖激函數(shù)(t)的定義(unitimpulse)（6種）(1)矩形脈沖定義方式矩形脈沖，寬為，高為1/，其面積為1。保持脈沖面積不變，逐漸減小，則脈沖幅度逐漸增大，當

0，矩形脈沖的極限稱為單位沖激函數(shù)(t)

，記為函數(shù)。t(t)10t

1

G

(t)用于模擬時間短、強度大的信號。14(2)三角形脈沖定義方式(3)雙邊指數(shù)函數(shù)定義方式t1/t1/215(4)鐘形脈沖定義方式(5)抽樣函數(shù)定義方式k/

Sa(kt)tt1/16(6)狄拉克（Dirac）的定義方式

tt0處所出現(xiàn)的沖激(tt0)t(tt0)10t017(iv)階躍函數(shù)在除t=0以外的各點都取固定值,其變化率都等于零.

(iii)2)沖激信號

(t)的性質（ii）(t)=(t)（i）抽樣特性(或“篩選”特性)182.1.2信號的運算

在信號的傳輸與處理過程中往往需要進行信號的運算，它包括信號的移位（時移或延時）、反褶、尺度倍乘（壓縮或擴展）、微分、積分以及兩信號的相加或相乘。我們需要熟悉在運算過程中表達式對應的波形變化。

190x(t)t0x(tt0)tt00x(t+t0)tt0在雷達、聲納以及地震信號檢測等問題中，容易找到信號移位的實例。如果發(fā)射信號經(jīng)同種介質傳送到不同距離的接收機時，各種接收信號相當于發(fā)射信號的移位，并具有不同的t0值（同時有衰減）。1.信號的移位（shift）若x(t)表達式的自變量t更換為(t

t0)，則x(t

t0)相當于x(t)波形在t軸上的整體移動。當取“+”時，波形左移；當取“”時，波形右移。202.信號反褶（reverse）表示將x(t)的自變量t更換為t，此時x(t)的波形相當于將x(t)以t=0為軸反褶過來。此運算也稱為時間軸反轉。0x(t)t0x(t)t21o12x(t)to1x(2t)to24x(t/2)t3.尺度倍乘(scaling)（壓縮或擴展）如果將x(t)表達式的自變量t乘以正實數(shù)系數(shù)a，則x(at)的波形是將x(t)波形的壓縮(a>1)或擴展(a<1)。此運算也稱為時間軸的尺度倍乘或尺度變換，也可簡稱尺度。22【例2-1】已知信號x(t)的波形如圖，試畫出x(3t2)的波形。（和書上第12頁的例2-1比較）21o1x(t)t21o1x(3t)t21o1x(3t)t21o1x(3t2)t因為倍乘（尺度）關系，所以，時間軸t上的移位應該是尺度變換以后的數(shù)值。2/3234.信號微分(differential)

信號x(t)的微分運算是指x(t)對t取導數(shù)，即o12x(t)tox(t)t12信號x(t)經(jīng)微分后突出了它的變化部分。24ox(t)t121

5.

信號積分(integration)信號x(t)的積分運算是指x()在(，t)區(qū)間內(nèi)的定積分(definite

integration)，即信號x(t)經(jīng)積分后，突變部分可變的平滑，利用這一作用可削弱信號中的毛刺的影響。ot12125（三）兩信號的相加或相乘x1(t)=sint

x2(t)=sin8tx1(t)+x2(t)=sint+sin8t縱軸上平移x1(t)x2(t)=sintsin8t幅值鉗位26x1(t)tx2(t)tx1(t)+x2(t)t27x1(t)tx2(t)tx1(t)x2(t)t282.1.3連續(xù)信號的時域分解為了便于分析與處理，有時需要將信號分解為一些簡單的基本信號之和，猶如在力學中將任一方向的力分解為幾個分力一樣。信號可以從不同角度分解：1.直流分量與交流分量信號平均值即為信號的直流分量。從原信號去掉直流分量即為信號的交流分量。x(t)=xD+xA(t)x(t)txA(t)txD(t)t292.奇分量與偶分量(odd&even)

xe(t)=xe(t)xo(t)=

xo(t)x(t)=0.5[x(t)+x(t)+x(t)x(t)]=0.5[x(t)+x(t)]+0.5[x(t)x(t)]xe(t)=0.5[x(t)+x(t)]xo(t)=0.5[x(t)x(t)]-21o12xe(t)t10.5x(t)t1-21o12xo(t)t0.5-21o1230x(t)to1xe(t)to0.5xo(t)to0.531t

0x(t)t1

t1

在任意時刻t=t1時,脈沖可表示為3.脈沖分量（impulse）一個復雜信號可以分解為一系列具有不同時延的矩形窄脈沖的疊加（LinearSystem）。x(t1){u(tt1)u[tt1t1)]}32當t1０,窄脈沖變?yōu)闆_激函數(shù)。所以,任意復雜信號分解為具有不同時延沖激信號的疊加,其沖激強度即為沖激處的函數(shù)值x(t1)與t1的乘積。

上式實際上是函數(shù)的卷積積分表達式,表明：時域里任意函數(shù)等于這一函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積,卷積的幾何解釋是上述一系列矩形窄脈沖的求極限過程。33

4.實部分量與虛部分量(real&imaginary)若x(t)是復函數(shù)

x(t)=xr(t)+jxi

(t)共軛函數(shù)x*(t)=xr(t)jxi

(t)x(t)x*(t)=|x(t)|2=

xr2(t)+xi2(t)

雖然實際信號都是實函數(shù)，但在信號分析理論中，常借助復信號來研究實信號的問題。它可以建立某些有益的概念或簡化運算。345.正交函數(shù)分解（§2.2.1中詳細介紹）(orthogonal)

如果用正交函數(shù)集來表示一個信號，那么組成信號的各分量就是相互正交（垂直，夾角為90度）的。例如，用各次諧波(harmonic

)的正弦與余弦信號疊加表示一個矩形脈沖，各正弦、余弦信號就是此矩形脈沖信號的正交函數(shù)分量。把信號分解為正交函數(shù)分量的研究方法，在信號與系統(tǒng)理論中占有重要地位，這將使本課程的主要課題之一。352.1.4連續(xù)信號的時域分析方法—卷積法(convolution)(i)輸入信號可分解為一系列矩形窄脈沖Δτ→０時的極限——不同時延沖激信號分量的疊加(ii)分別求出每個沖激信號分量的響應(iii)根據(jù)LS的疊加性（additivity），各分量響應的疊加得到系統(tǒng)總的輸出響應。h(t)y(t)x(t)1、卷積法求線性系統(tǒng)（LS）的零狀態(tài)響應設一線性系統(tǒng)，其初始條件為0（齊次性，homogeneity），若系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當輸入為x(t)時，可用卷積法求出其零狀態(tài)響應y(t)。36t

0x(t)ττt

0

x(τ)h(tτ)t

0

y(t)372.卷積運算的圖解(i)變量置換t→τ，將x(t),h(t)→x(τ),h(τ)；(ii)反褶h(τ)

→h(τ)[時間軸反轉]；(iii)平移h(τ)→h(t

τ)；(iv)相乘x(τ)與h(t

τ)兩圖形相乘，有重疊部分即為乘積值，不重疊部分乘積為零；(v)積分求和x(τ)與h(t

τ)乘積曲線下的面積，就是t時刻的卷積值。不斷平移h(t-τ)，h(t-τ)和x(τ)兩圖形無重合面積為止，即可得到所有響應時刻的卷積值。舉例說明

１0１x(t)t0.50１h(t)t38（a）變量置換（d）最終卷積結果

１0１x(τ)τ0.50１h(τ)τ（b）反褶0.5

10h(τ)τ（c）平移相乘0t１x(τ)τh(tτ)0１x(τ)τh(tτ)y(t)t0１20１tτx(τ)h(tτ)0１tτx(τ)h(tτ)39t<0y(t)=x(t)h(t)

=00<t<11<t<2t>2y(t)=x(t)h(t)

=0積分限表示的是x(τ)和h(τ)的交叉部分。如果交叉部分的長度一直在變，則積分限中有變量；如果在一段內(nèi)，交叉部分的長度不變，則積分限為常值。40３．卷積的性質（１）任意函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積仍為該函數(shù)本身x(t)(tt0)

=x(tt0)

（２）任意函數(shù)x(t)與階躍函數(shù)的卷積有（３）交換律

x1(t)x2(t)

=x2(t)x1(t)

（４）分配律x1(t)[x2(t)+

x3(t)]=x1(t)x2(t)+

x1(t)x3(t)41物理意義：

(i)線性系統(tǒng)對于幾個相加輸入信號的零狀態(tài)響應等于每個激勵單獨作用的疊加。(ii)由沖激響應為h1(t)及h2(t)的并聯(lián)系統(tǒng)等效于一個沖激響應為h1(t)+h2(t)的系統(tǒng)。

h(t)y(t)x1(t)+x2(t)y(t)++h(t)y1(t)x1(t)h(t)y2(t)x2(t)y(t)++h1(t)y1(t)h2(t)y2(t)x(t)h1(t)+h2(t)

y(t)x(t)42（５）結合律

[x1(t)x2(t)]x3(t)

=x1(t)[x2(t)x3(t)]若沖激響應分別為h1(t)和h2(t)的串聯(lián)系統(tǒng)可等效為一個沖激響應為h1(t)h2(t)系統(tǒng)。

h1(t)

x(t)h2(t)

y(t)h1(t)h2(t)

y(t)x(t)43（6）兩函數(shù)卷積后的導數(shù)等于其中一函數(shù)之導數(shù)與另一函數(shù)之卷積，即44（7）兩函數(shù)卷積后的積分等于其中一函數(shù)之積分與另一函數(shù)之卷積，即452.2周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)

2.2.1正交函數(shù)1、正交矢量（vector）斜投影xxyy當=90，稱v1與v2相互垂直的矢量為正交矢量。將一個平面中的任意矢量在直角坐標中分解為兩個正交矢量的組合。把相互正交的兩個矢量組成一個二維的“正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二維正交矢量集的分量組合來表示。

可推廣應用于n維信號矢量空間。垂直投影xyv462．正交函數(shù)假定，要在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)用函數(shù)x2(t)近似表示x1(t)x1(t)

c12x2(t)這里的系數(shù)怎樣選擇才能得到最佳的近似？我們選擇誤差的方均值（或均方值）最小，這時，可以認定已經(jīng)得到了最好的近似。均方誤差定義為47上式表示x1(t)有x2(t)的分量，此分量的系數(shù)是c12。如果c12等于零，則x1(t)不包含x2(t)的分量，這種情況稱為：x1(t)與x2(t)在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)正交。得出兩函數(shù)在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)正交的條件是【例2-2】試用正弦函數(shù)sint在區(qū)間[0，2

]內(nèi)來近似表示余弦函數(shù)cost。解：顯然，由于cost與sint兩函數(shù)正交。48【例2-3】設矩形脈沖x

(t)有如下定義波形如圖，試用正弦波sint在區(qū)間[0，2

]內(nèi)近似表示此函數(shù)，使均方誤差最小。解：函數(shù)x(t)在區(qū)間[0，2

]內(nèi)近似為x(t)=c12sint為使均方誤差最小，c12應滿足4950

3.正交函數(shù)集

定義：假設有n個函數(shù)g1(t)，g2(t)，…，gn(t)構成的一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間[t1，t2]內(nèi)滿足如下的正交特性其中ki為常數(shù)，則函數(shù)序列g1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]區(qū)間上的正交函數(shù)集。三角函數(shù)（trigonometricfunction）序列1,cos1t,cos21t,cos31t,…,cosn1t,…，sin1t,sin21t,sin31t,…,sinn1t,…