高中數(shù)學(xué)必修四“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計襄陽市田家炳中學(xué)付丹教學(xué)內(nèi)容解析在角由“銳角”到“任意角”的推廣過程中,研究的視角由“靜態(tài)”到“動態(tài)”,同時研究的平臺也由“平面圖形”過渡到了“平面直角坐標系”.借助直角坐標系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“轉(zhuǎn)動的邊”的研究；另一方面也提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路.“任意角三角函數(shù)”是“銳角三角函數(shù)”概念的因襲和擴張，但為什么要作這樣的推廣呢？更合適的理由是任意角三角函數(shù)是描述周期變化為重要數(shù)模型。

任意角三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念,是刻劃圓周運動規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.“任意角三角函數(shù)”在圓周運動中,最基本、簡單的情形是質(zhì)點P繞著單位圓的圓心作勻速圓周運動,在此運動中,關(guān)鍵是抓住質(zhì)點P的坐標（x,y）隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化的函數(shù)關(guān)系.這種關(guān)系是確定的,至于如何更好地表達,合理的命名是非本質(zhì)的內(nèi)容.由于當(dāng)角為銳角時,y是的正弦,x是的余弦,是的正切,因此可以以此為據(jù),推廣到任意角相應(yīng)的三角函數(shù)定義.

引入銳角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究三角形中的邊角關(guān)系,因此定義側(cè)重幾何的角度,利用相似直角三角形的性質(zhì),得到銳角和三角形邊與邊的“比值”之間的確定關(guān)系；而引入任意角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究周期變化現(xiàn)象,因此定義側(cè)重代數(shù)的角度,在直角坐標系下,以單位圓為工具,得到角和它的終邊與單位圓的交點坐標之間的確定關(guān)系.兩者同時都是函數(shù)的下位概念,在弧度制下,歸結(jié)為數(shù)集到數(shù)集的映射.

教材中對任意角三角函數(shù)的定義有兩種——單位圓的定義和歐拉的傳統(tǒng)定義[1].從任意角三角函數(shù)的使命看,單位圓的定義顯得形式簡單,便于研究性質(zhì),同時借助圓周運動可以更直觀地體現(xiàn)函數(shù)的周期性,某種意義上說,任意角三角函數(shù)就是圓的性質(zhì)的幾何表示.但兩個定義本質(zhì)相同,相互之間一點就通.

二、教學(xué)目標解析

1．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義,經(jīng)歷“單位圓法”定義三角函數(shù)的過程；

2．會用定義求特殊角的三角函數(shù)值,會求已知終邊位置的角的三角函數(shù)值；

3．會從函數(shù)三要素的角度認識三角函數(shù)的對應(yīng)法則、自變量、函數(shù)值；4．體會定義三角函數(shù)過程中的數(shù)形結(jié)合、化歸、數(shù)學(xué)模型等思想方法．

三、教學(xué)問題診斷分析

1．三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù),因此本節(jié)課側(cè)重于在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下組織教學(xué),讓學(xué)生知道三角函數(shù)的是角與坐標（或比值）之間的對應(yīng)關(guān)系.學(xué)生雖有銳角三角函數(shù)的概念,但其認識只停留在三角函數(shù)是反映直角三角形的角與邊之間關(guān)系的層面上,有必要讓學(xué)生從角與比值的對應(yīng)角度重新認識.

2．銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣,并非簡單的特殊到一般意義上的推廣,而是觀念角度的變化,需要將直角三角形為載體的幾何定義方式轉(zhuǎn)化為以直角坐標系為載體的坐標定義方式.

3．將終邊上的任意一點化歸到單位圓上的點,不僅是求簡,更是三角函數(shù)本質(zhì)的體現(xiàn),但學(xué)生的理解很難到位,需要在今后的學(xué)習(xí)中循序漸進.

4．在弧度制下（用單位圓的半徑度量角）實現(xiàn)角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng),再實現(xiàn)數(shù)到坐標的對應(yīng),會造成一定的理解困難,為分散難點,本節(jié)課暫時不作過度的解釋

四、教學(xué)支持條件分析

由于隨著任意角的終邊的“轉(zhuǎn)動”,角的大小、終邊上點的坐標等也隨之變化,為了更好體現(xiàn)多元聯(lián)系性,宜適當(dāng)采用《幾何畫板》進行動態(tài)演示.五、教學(xué)過程設(shè)計問題1

本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標系，這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受?，F(xiàn)在請你回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)呢？（設(shè)計意圖：將已有知識坐標化,分化難點。用新的觀點再認識學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移作用，同時使本課時的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗緊密聯(lián)系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）預(yù)計的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)解答過程：（1）再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐標化：如圖2，建立平面直角坐標系，設(shè)點P的坐標為（x，y），那么，于是問題2

回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據(jù)是什么？寫出最簡單的形式。（設(shè)計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預(yù)計的困難：由于學(xué)生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。解答過程：單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標表示為：問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。（設(shè)計意圖：具體認識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設(shè)計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計中再次強調(diào)要借助于單位圓，利用坐標，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計算器算cosπ的現(xiàn)象。）活動形式：由學(xué)生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學(xué)生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導(dǎo)——用坐標表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認識三角函數(shù)的定義域。預(yù)計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學(xué)生寫出，針對其中的圖（4）學(xué)生寫出，針對其中的圖（5）學(xué)生寫出，tanα無意義。

結(jié)論：給出三角函數(shù)的定義：（略）。問題4：根據(jù)上述過程，你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎？你能用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進行分析嗎？（設(shè)計意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數(shù)的定義進行同化，通過這樣的活動強化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達到對概念的初步精致。）預(yù)計的困難：學(xué)生對三角函數(shù)的自變量認識可能會存在問題。教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預(yù)計的答案：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。(六)概念的鞏固例1已知角的終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦和正切值

例2

求的正弦、余弦、正切值設(shè)計意圖：讓學(xué)生熟悉定義,從中概括出用定義解題的步驟.

(七)探究與發(fā)現(xiàn)

不求值,你能判斷三角函數(shù)值的符號嗎？你能總結(jié)一般的規(guī)律嗎？設(shè)計意圖：通過豐富的實例,從不同的角度讓學(xué)生進一步理解任意角三角函數(shù)的定義.

小結(jié)反思

通過學(xué)習(xí),你對任意角三角函數(shù)有了哪些新的認識？還有哪些