第1講簡單幾何體的表面積與體積(重點題型方法與技巧)目錄類型一：棱柱的表面積與體積類型二：棱錐的表面積與體積類型三：棱臺的表面積與體積類型四：圓柱的表面積與體積類型五：圓錐的表面積與體積類型六：圓臺的表面積與體積類型七：球的表面積與體積類型八：幾何體的表面積（體積）的最值問題類型九：內(nèi)切球問題類型十：外接球問題類型十一：內(nèi)切球與外接球的綜合問題類型十二：新定義題類型一：棱柱的表面積與體積典型例題例題1．（2022秋·上海黃浦·高二?？茧A段練習(xí)）若長方體的對角線的長為，其長、寬、高的和是，則長方體的全面積是______．【答案】【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，，即長方體的全面積為.故答案為：.例題2．（2022秋·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）如圖一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積為______.【答案】【詳解】由題設(shè)，一個底面的面積為，一個側(cè)面矩形面積為，所以茶葉盒的表面積為.故答案為：例題3．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.(1)求該幾何體的表面積；(2)若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值.【答案】(1)(2)(1)，，，，三棱柱的上下底面面積之和為；又三棱柱為直三棱柱，側(cè)面均為矩形，三棱柱的側(cè)面積為；三棱柱的表面積.(2)若要拼接而成的大棱柱表面積最小，則需面積最大的側(cè)面相接，即側(cè)面；大棱柱表面積的最小值為同類題型演練1．（2022·高一單元測試）側(cè)面均為面積為4的正方形的正三棱柱的表面積為______．【答案】##【詳解】如圖，四邊形均為正方形，故該三棱柱的所有棱長均為2，故側(cè)面積為，底面積之和為，故表面積為，故答案為：2．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，底面半徑為3，高為的圓錐有一個內(nèi)接的正四棱柱．(1)設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，試將棱柱的高h表示成x的函數(shù)；(2)當(dāng)x取何值時，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)；48．(1)如圖，是圓錐的軸截面，內(nèi)接矩形是正四柱的對角面，由，可得，即，解得．(2)設(shè)該正四棱柱的表面積為，則有關(guān)系式．，當(dāng)時，．故當(dāng)正四棱柱的底面邊長為時，正四棱柱的表面積最大值為48．3．（2022秋·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．【答案】【詳解】①拼成一個三棱柱時,有三種情況：將上下底面對接,其全面積為：；3a邊可以合在一起時,；4a邊合在一起時，.②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側(cè)面重合,其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為:,,，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：.由題意得：，解得：.故答案為：類型二：棱錐的表面積與體積典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（????）A． B． C．4 D．【答案】C【詳解】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點E，連接.因為正四棱錐的體積是8，所以，解得.因為，所以在直角三角形中,，則的面積為，故該四棱錐的側(cè)面積是.故選：C例題2．（2022春·江西九江·高一校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵（qiàn?）．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑（biē?nào）．”這里所謂的“鱉臑”，就是在對長方體進行分割時所產(chǎn)生的四個面都為直角三角形的三棱錐．已知三棱錐是一個“鱉臑”，其中平面，，三棱錐的外接球的半徑為2，則、的面積之和的最大值為_____________．【答案】【詳解】將三棱錐A－BCD還原成一個直四棱柱（長方體），如圖所示，則該棱柱的體對角線AD即為外接球的直徑2R，則．于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故的最大值為．故答案為：．例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在中，，．若平面外的點和線段上的點，滿足，，則四面體的體積的最大值是______．【答案】##【詳解】解法一：由，，可得．要求四面體的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積和點P到平面BCD的距離h，易知．設(shè)，則，，，其中，且．∴．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故四面體的體積的最大值是．解法二：設(shè)，∵，，（h為三棱錐的高）．當(dāng)平面平面BDC時，使四面體PBCD的體積較大．作，垂足為H，則平面BCD，．此時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，當(dāng)，即時，最大值為．解法三：∵（h為三棱錐的高），在中，，，則，，設(shè)，則，．在中，由余弦定理，有．代入整理得，在中，由余弦定理，有，代值整理得．∴．過P作，垂足為M，則PM為四面體的高．∴．故，令，∵，∴，∴．在上單調(diào)遞減．∴當(dāng)，即時，四面體的體積最大為．同類題型演練1．（2022秋·河南商丘·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在體積為16的斜三棱柱中，P為棱上一點，三棱錐P-ABC的體積為4，則三棱錐的體積為（????）A． B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】設(shè)三棱柱的底面積為S，其高為h，設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，則，，所以，即，又，即，所以，所以．故選：A2．（2022秋·山西·高二校聯(lián)考期末）已知在菱形中，，平面外一點P滿足，，則四棱錐體積的最大值為___________.【答案】##【詳解】由于四邊形為菱形，，則，設(shè)，連接，由于，則，由余弦定理得，則，整理得：；同理由，可得，于是，解得，∵當(dāng)平面，四棱錐體積取到最大值，∴四棱錐體積的最大值．故答案為：．3．（2022春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，已知，，則當(dāng)最大時，求三棱錐的表面積.【答案】【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以是等腰三角形，又，所以底邊上的高為，所以，，，三棱錐的表面積為：類型三：棱臺的表面積與體積典型例題例題1．（2022春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某個正四棱臺的上、下底面邊長和高的比為，若側(cè)棱長為，則該棱臺的側(cè)面積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，高為，上底面正方形對角線長為，下底面正方形對角線長為，又側(cè)棱長為，所以，解得，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該棱臺的側(cè)面積為.故選：A.例題2．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，，方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側(cè)面的面積之和為，則方亭的體積為______.【答案】【詳解】解：由題意得，設(shè)，則，.過點，在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為點、，在等腰梯形中，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，則，因為，，，所以，所以，在中，由勾股定理得，所以等腰梯形的面積為，所以.所以，，方亭的高，故方亭的體積為.故答案為：同類題型演練1．（2022秋·廣東揭陽·高二普寧市華僑中學(xué)?？计谥校┰谡睦馀_中，，則該四棱臺的體積為（????）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：作出軸截面如圖所示，過點作，垂足為，因為正四棱臺中，所以，，，即梯形為等腰梯形，所以，，所以，該四棱臺的體積為故選：B2．（2022·高一課時練習(xí)）一個幾何體共有六個側(cè)面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長為10cm，下底長為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．【答案】【詳解】如圖所示其中一個等腰梯形,分別過A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分別為垂足，則四邊形AEFB為矩形.其中EF=AB=9,，所以.所以該幾何體的側(cè)面積,上下底面積的和，所以該幾何體的全面積.類型四：圓柱的表面積與體積典型例題例題1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）早在一萬多年前的新石器時代，生活在金麗衢地區(qū)古人就開始制作各種石器，今天在浦江上山遺址、水康湖西遺址、義烏橋頭遺址等還可以見到各種當(dāng)時的石器，現(xiàn)在農(nóng)村還在使用的石磨就是從古代的石器演變而來的.如果一個石磨近似看作兩個圓柱體拼合而成，每個圓柱體的底面直徑是80cm，每個圓柱體的高為30cm，那么這兩個圓柱體的表面積之和為（????）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意可得一個石磨底面積為：底=，側(cè)=所以一個石磨的表面積為：，所以兩個石磨的表面積為：.故選：D例題2．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，半徑為的半球內(nèi)接一個圓柱，這個圓柱表面積的最大值為____________.【答案】【詳解】如圖設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則，設(shè)圓柱的表面積為S，則，∴當(dāng)，即時，S有最大值.故答案為：.例題3．（2022秋·上海虹口·高二上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知一個圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個圓錐中有一個高為的圓柱.(1)當(dāng)時，求圓柱的體積；(2)當(dāng)為何值時，此圓柱的側(cè)面積最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積取最大值【詳解】（1）設(shè)圓柱的半徑為，則，，當(dāng)時，，所以圓柱的體積．（2）由（1）知，則圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積取最大值．同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的建筑物是號稱“神州第一圓樓”的福建土樓——二宜樓，其外形是圓柱形，圓樓直徑為73.4m，忽略二宜樓頂部的屋檐，若二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，則二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為（????）A．16m B．17m C．18m D．19m【答案】A【詳解】底面直徑為40m，高為10m的圓錐的母線長為，所以該圓錐的側(cè)面積為，設(shè)二宜樓外層圓柱墻面的高度為，則由，解得因為二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，所以二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為，故選：A2．（2022·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，則圓柱的體積為________．【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得，所以該圓柱的體積為.故答案為：.3．（2022春·河北邢臺·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為.(1)求圓錐的底面積；(2)在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，求圓柱的高.【答案】(1)(2)【詳解】（1）沿母線AB剪開，側(cè)展圖如圖所示：設(shè)，在半圓⊙A中，，弧長，這是圓錐的底面周長，所以，所以，故圓錐的底面積為；（2）設(shè)圓柱的高，，在中，，∽，所以，即，，圓柱側(cè)面積為：，所以，當(dāng)，時，圓柱的側(cè)面積最大.類型五：圓錐的表面積與體積典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個圓錐的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，該圓錐的底面半徑為，因此，該圓錐表面積為故選：A例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個圓錐的側(cè)面積為，若其左視圖為正三角形，則該圓錐的體積為________.【答案】##【詳解】由題設(shè)，令圓錐底面半徑為，則體高為，母線為，所以，則，故圓錐的體積為.故答案為：例題3．（2022春·吉林長春·高一長春市第二實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，圓錐的底面半徑為2，為母線的中點，側(cè)面展開圖是一個中心角為的扇形．(1)求圓錐的表面積和體積；(2)若圓錐的底面圓周和和頂點都在球的球面上，求球的表面積；(3)若一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓錐側(cè)面爬行，穿過母線，繞圓錐側(cè)面爬行一周后來到母線的中點，試求螞蟻爬行的最短路程．【答案】(1)表面積為，體積為(2)(3)（1）依題意，圓錐的底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖是一個中心角為的扇形，設(shè)圓錐的母線長為，則，所以圓錐的高，所以圓錐的表面積為，體積為.（2）設(shè)球的半徑為，則,所以球的表面積為.（3）依題意圓錐側(cè)面展開圖是一個中心角為的扇形，,所以螞蟻爬行的最短路程為.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知母線與圓錐底面的夾角的正弦值為，故母線與圓錐底面的夾角為，設(shè)底面半徑為r，圓錐的高為h，母線長為l，則①，則圓錐的表面積為，將①代入，解得，圓錐的體積為；故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點為A，過母線AB，AC的截面面積是.若AB，AC的夾角是，且AC與圓錐底面所成的角是，則該圓錐的表面積為________.【答案】【詳解】如圖所示,的夾角是是等邊三角形，，解得.與圓錐底面所成的角是，圓錐底面半徑.則該圓錐的表面積.故答案為：.3．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在底面半徑為1，高為的圓錐中，O是底面圓心，P為圓錐頂點，A，B是底面圓周上的兩點，，C為母線PB的中點.(1)求該圓錐的表面積；(2)求在該圓錐的側(cè)面上，從A到C的最短路徑的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）圓錐的底面半徑為1，高為，則母線長，因此將圓錐側(cè)面展開得到一個半圓，因此圓錐的側(cè)面積為：，圓錐的底面圓面積為：，所以圓錐的表面積為：.（2）在底面圓中，，側(cè)面展開圖中，如圖，聯(lián)結(jié)AC，即線段的長為最短路徑，設(shè)圓心角為，，，即到的最短路徑長為.類型六：圓臺的表面積與體積典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某圓錐的側(cè)面積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺的側(cè)面積為（????）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，設(shè)圓臺的母線為，則圓錐的底面半徑為，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積記為，截去的小圓錐的側(cè)面積即為，故圓臺的側(cè)面積為,故選：C例題2．（2022·云南昆明·高三昆明一中?？奸_學(xué)考試）某圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（????）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)圓臺的母線長為，高為，因為圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側(cè)面積為，可得，解得，所以圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故選：B.同類題型演練1．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓臺上?下底面圓的圓周都在一個半徑為5的球面上，其上?下底面圓的周長分別為和，則該圓臺的側(cè)面積為（????）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為圓臺下底面的半徑為，球的半徑為，所以圓臺下底面圓的圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖所示，設(shè)圓臺上底面圓的半徑，則，，所以球心到上底面圓的距離，即圓臺的高為3，所以母線長，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：C2．（2022秋·四川·高二?？茧A段練習(xí)）若圓臺的高是3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，母線與下底面成角，則這個圓臺的側(cè)面積是（????）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，可作該圓臺的軸截面，如下圖所示：則圓臺的高，上底面半徑，下底面半徑，即，母線，即，在中，，，易知在正方形中，，則，即，綜上，，圓臺的側(cè)面積.故選：B.類型七：球的表面積與體積典型例題例題1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一個實心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，圓錐母線長，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個實心銅球，不計損耗，則銅球的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：依題意圓錐的底面半徑，母線，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，設(shè)銅球的半徑為，則，解得，所以銅球的表面積.故選：B例題2．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┮阎獔A柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為，則球的表面積為______．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面直徑和高皆為，故圓柱的體積為，故球的表面積為，故答案為：例題3．（2022秋·上海黃浦·高二?？茧A段練習(xí)）已知球的兩個平行截面的面積分別為、，且兩個截面之間的距離是9，則球的表面積為______，體積為______．【答案】????????【詳解】下圖為球的一個大圓截面．，,則,（1）當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時，，解得，．（2）當(dāng)兩截面在球心異側(cè)時，，無解．故答案為：同類題型演練1．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知球的表面積為，則它的體積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】球的表面積為，設(shè)球O的半徑為R，則有，解得，所以球的體積為.故選：A2．（2022秋·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）已知一個實心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，側(cè)面積為，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個實心銅球，不計損耗，則銅球的半徑為（????）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】由已知圓錐底面半徑為4，所以底面周長為，圓錐的母線長為：，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為：，設(shè)球的半徑為,所以，解得.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知球的一個截面面積為，若球上的點到該截面的最大距離為3，則球的表面積為__________．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為到截面的距離為，則由題意得解得所以球的表面積為故答案為：類型八：幾何體的表面積（體積）的最值問題典型例題例題1．（2022秋·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學(xué)校考階段練習(xí)）（如圖）在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱．(1)求圓錐的表面積和體積；(2)為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出最大值．【答案】(1)=，(2)時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為【詳解】（1）解：,，；（2）解：設(shè)圓柱底面圓半徑為，顯然，∽，∴，∴時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放入一個底面為正方形的長方體內(nèi)，且長方體的正方形底面邊長為2，高為4，已知重合的底面與長方體的正方形底面平行，八面體的各頂點均在長方體的表面上．(1)若點，，，恰為長方體各側(cè)面中心，求該八面體的體積；(2)求該八面體表面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由點A，B，C，D恰為長方體各側(cè)面中心，∴，∴八面體．（2）如圖1，設(shè)平面ABCD截正方體所得截面為，且的中心為O，過點O作，垂足為G．圖1由對稱性，不妨設(shè)，則，，，．設(shè)AD的中點為H，如圖2，圖2則，，所以．因為，所以，則，故，所以，所以此八面體的表面積S的取值范圍為．例題3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱有外接圓柱，點，分別在棱和上，.(1)若，且三棱柱有一個內(nèi)切球，求三棱柱的體積；(2)若，連接，，將三棱柱的側(cè)面和展開成一個平面圖形，求展開圖形中面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)，是圓柱的上下底面圓心，而且點，分別在棱和上，由此可知是為斜邊的直角三角形.,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則由等面積法，可知:,，故三棱柱的內(nèi)切球的半徑也是，故三棱柱的高，進而三棱柱的體積.(2)三棱柱的側(cè)面和展開成一個平面圖形,設(shè)，則，，，所以.???????????同類題型演練1．（2022·高二課時練習(xí)）如圖：圓錐底面半徑為1，高為3．(1)求圓錐內(nèi)接圓柱（一底面在圓錐底面上，另一底面切于圓錐側(cè)面）側(cè)面積的最大值；(2)圓錐內(nèi)接圓柱的表面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為(1)解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，由相似性得：，解得，所以，當(dāng)時，內(nèi)接圓柱側(cè)面積取得最大值；(2)，，當(dāng)時，內(nèi)接圓柱表面積取得最大值.2．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，用一塊鋼錠澆筑一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器的高為h米，蓋子的邊長為a米．(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)h為何值時，容器的容積V最大？并求出V的最大值．【答案】(1)(2)(1)連接AC，BD，交點為O，則AO即為正四棱椎的高，取CD的中點E，連接OE，EF，則，由勾股定理得：，由題意得：，整理得：(2)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故.3．（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是長方形，底面周長為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高．設(shè)AB＝x．(1)當(dāng)x＝3時，求三棱錐A﹣PBC的體積；(2)四棱錐外接球的表面積的最小值．【答案】(1)；(2)17π.（1）當(dāng)x＝3時，AB＝3，BC＝1，則△ABC的面積為S△ABC，∴三棱錐A﹣PBC的體積為：VA﹣PBC＝VP﹣ABC．（2）將四棱錐P﹣ABCD補成長方體ABCD﹣A1B1C1P，如下圖，則四棱錐P﹣ABCD外接球和長方體ABCD﹣A1B1C1P的外接球相同，設(shè)AB＝x，則BC＝4﹣x，則四棱錐P﹣ABCD外接球半徑：R，當(dāng)x＝2時，R取得最小值為，此時外接球的表面積的最小值Smin＝4π×()2＝17π．類型九：內(nèi)切球問題典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點到直三棱柱各面的距離都相等，球是直三棱柱的內(nèi)切球，若球的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（????）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)直三棱柱的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內(nèi)切球O的半徑為r，則h＝2r，由題意可知球O的表面積為，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周長為4，即a＋b＋c＝4，∴連接OA，OB，OC，可將直三棱柱分成5個棱錐，即三個以原來三棱柱側(cè)面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的四棱錐，兩個以原來三棱柱底面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的的三棱錐，∴由體積相等可得直三棱柱的體積為h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，∴三棱錐的體積為h＝×4×4＝．故選：B．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圖是棱長為2的正八面體（八個面都是全等的等邊三角形），球是該正八面體的內(nèi)切球，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)已知的正八面體為，可知平面于球心，且點為正方形的中心，設(shè)球與正四棱錐的側(cè)面相切于點，連接并延長交于點，可知為的中點，連接，則，，由，得，即正八面體內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，故選A.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】B【詳解】旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示，其中為內(nèi)切球的球心，過作的垂線，垂足分別為，則（為內(nèi)切球的半徑），故，，故，故，故，故旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為，故選：B同類題型演練1．（2022秋·安徽宣城·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正四棱臺的上?下底面邊長分別為分別為，的中點，8個頂點構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：該十面體及內(nèi)切球的正投影為等腰梯形與內(nèi)切圓，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，如圖所示，，所以，可得，故該內(nèi)切球的表面積為.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為側(cè)棱長為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面分別切于點，則的長度為___________.【答案】【詳解】如圖，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，為內(nèi)切球與側(cè)面的切點，為側(cè)面上切點所在小圓的圓心，半徑為，為等邊三角形，,,,,,,即,，解得，,由正三棱錐的定義知，內(nèi)切圓與三個側(cè)面相切，切點構(gòu)成的三角形為等邊三角形，故,由余弦定理可得，所以故答案為：3．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，若球的表面積等于圓柱的側(cè)面積，則球的體積與圓柱的體積之比為_________.【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，高為，則圓柱的底面半徑為.由球的表面積等于圓柱的側(cè)面積，有，得.設(shè)球的體積為，則，圓柱的體積為,則所以故答案為：4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓臺的內(nèi)切球與圓臺側(cè)面相切的切點位于圓臺高的處，若圓臺的上底面半徑為，則球的體積為______.【答案】【詳解】圓臺的上底面半徑為，由于圓臺的內(nèi)切球與圓臺側(cè)面相切的切點位于圓臺高的處，根據(jù)切線長定理可知：圓臺的下底面半徑為，母線長為，所以圓臺的高為，也即球的直徑為，半徑為，所以球的體積為.故答案為：類型十：外接球問題典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點都在此球面上)的表面積為____．【答案】100π【詳解】依題意，該正六棱柱的外接球的球心應(yīng)是上、下底面中心連線的中點，∴其半徑等于＝5，其表面積等于4π×25＝100π.故答案為：．例題2．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知平行四邊形中，，，.若沿對角線將折起到的位置，使得，則此時三棱錐的外接球的體積大小是______.【答案】##【詳解】如圖示：在平行四邊形中，，，，則,所以,則在三棱錐中，，故可將三棱錐中補成一個長方體，如圖示：則，故，由題意可知三棱錐的外接球即為該長方體的外接球，設(shè)球的半徑為r,則，故外接球體積為，故答案為：例題3．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w中，為等邊三角形，，，若，則四面體外接球的表面積的最小值為______【答案】【詳解】解：由題意可得，，，，所以，則，，，得到：平面ABC，設(shè)，則，取正三角形ABC的外心為，四面體ABCD的外接球球心O，連接，則底面ABC，底面外接圓的半徑，，所以四面體外接球的半徑，當(dāng)時，R有最小值為，所以四面體ABCD外接球表面積的最小值為，故答案為：.例題4．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在菱形中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為______．【答案】【詳解】設(shè)菱形的對角線交點為，因為四邊形為菱形，所以和均是邊長為2的等邊三角形，則，又因為，在中，，，由余弦定理可得：，所以，過球心作平面，則為等邊三角形的中心，因為，為公共邊，所以，則有，因為，為等邊三角形的中心，則，，在中，由，可得：????，在中，，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.【答案】【詳解】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，則，所以，兩球相交形成形成的圖形為圓，如圖，在中，，，在中，，所以交線所在圓的半徑為，所以交線長度為.故答案為：同類題型演練1．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為和，高為3，則該正四棱臺的外接球的體積為（????）A． B． C． D．【答案】D【詳解】過正四棱臺的對角面作截面，得等腰梯形，該梯形的外接圓是正四棱臺外接球的大圓，如圖，設(shè)球心為，設(shè)分別是中點，則是棱臺的高，在直線上，設(shè)球半徑為，由已知，，若在線段上，如圖1，，，，，此方程無實解若在線段延長線上，如圖2，，即解得，∴球體積為．故選：D．2．（2023·廣西柳州·二模）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側(cè)棱長為的正四棱柱的外接球，即，所以，則該正多面體外接球的表面積故選:A3．（2023·全國·模擬預(yù)測）若三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的體積為（????）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)的中心為，連接，的延長線交球面于點D，連SD，顯然CD是外接圓的直徑，則，而平面ABC，則平面ABC，因正邊長為3，則，，又，而，解得，在中，球O的直徑，球O的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故選：D4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（????）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，此三棱錐可補形為一個棱長為的正方體，三棱錐的外接球與補成的棱長為的正方體的外接球為同一個球，設(shè)正方體的外接球的半徑為，可得，即，所以此三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐的底面為矩形，，則其外接球的表面積為________．【答案】【詳解】如圖取中點，底面中心為，外接球的球心為，則底面，由因為，所以，，即，，，因此有，，，設(shè)球的半徑為，．在直角梯形中，在直角中，聯(lián)立得，即，故球的表面積為.故答案為：類型十一：內(nèi)切球與外接球的綜合問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，則（????）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】由于三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心相同，如圖，，，因為為正三角形，為的中心，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以，故選：A例題2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）在平面四邊形中，沿將折起，使得與全等.記四面體外接球球心到平面的距離為，四面體的內(nèi)切球球心到點的距離為，則的值為______.【答案】【詳解】因為得△ABC與△BAD全等，所以,且所以可以把該四面體放在長方體中求解，如圖，設(shè)長方體的長寬高為，則有解得，設(shè)四面體外接球的半徑為,則，在中，,則，設(shè)外接圓的半徑為，則有，所以，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為,因為四面體各個面全等，且，解得，因為，四面體各個面全等，則外接球的球心到各個面的距離相等，所以外接球的球心與內(nèi)切球的球心重合，所以，所以.故答案為:.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體，其外接球與內(nèi)切球的表面積之和為，過點的平面與正方體的面相交，交線圍成一個正三角形.(1)在圖中畫出這個正三角形（不必說明畫法和理由）；(2)平面將該正方體截成兩個幾何體，求體積較大的幾何體的體積和表面積.【答案】(1)答案見解析(2)，（1）解：連接，則為所求三角形（作法不唯一），如圖所示（2）解：設(shè)正方體的棱長為，正方體的體對角線即為外接球的直徑，正方體的棱長即為內(nèi)切球的直徑，所以，解得，平面將正方體截成三棱錐和多面體兩部分，所以，，因此體積較大的幾何體是多面體，其體積為，由，所以，，，故多面體的表面積為.同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（????）A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1【答案】C【詳解】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為，當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時，球的半徑等于正三棱柱的底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，所以，故正三棱柱的高為，當(dāng)球外接于正三棱柱時，設(shè)球的半徑為，則球心是上下底面中心連接線段的中點，如圖所示：因為，，所以，外接球與內(nèi)切球表面積之比為，故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某個圓錐的母線長為，底面半徑為，若，則此圓錐的內(nèi)切球表面積與外接球的表面積之比為________．【答案】【詳解】如圖該棱錐的內(nèi)切球被軸截面截得的圓為面的內(nèi)切圓，由題意知：，,又，從而得到，故內(nèi)切球表面積為：；如圖該棱錐的外接球被軸截面截得的圓為面的外接圓，由題意可知，，在三角形中，，即解得,故