2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練：函數(shù)的奇偶性

一、選擇題（共20小題）

1.如圖是偶函數(shù)y=/（x）的局部圖象，根據(jù)圖象所給信息，下列結(jié)論正確的是（

A./(-2)-/(6)=0B./(-2)-/(6)<0

C./(-2)+/(6)<0D./(-2)-/(6)>0

2.函數(shù)f(x)=(x-COSX(-TT0XWit且x#0)的圖象可能為()

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=sinxB.y=tanxC.y=x3D.y=

5.已知定義在R上的函數(shù)y=/(%)滿足下列三個(gè)條件：

①對(duì)任意的％CR都有/(x)=f(x+4)：

②對(duì)于任意的04rL<冷W2,都有/(%!)</(不)；

③丁=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

則下列結(jié)論中，正確的是()

A./(4.5)</(6.5)</(7)B./(4.5)</⑺</(6.5)

C.f(7)</(4.5)</(6.5)D./(7)</(6.5)<“4.5)

6.設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(x)=x2,若對(duì)任意的工€匕￡+2],不等式

/(x+0>2/(%)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.[A/2,4-00)B.[2,4-00)

C.(0,2]D.[-A-1]U[V2,V3]

7.設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)工工0時(shí)，/(%)=2x2-x,則/(I)=()

A.-3B.-1C.1D.3

8.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且滿足：/(%)是偶函數(shù)，“％-1)是奇函數(shù)，若/(0.5)=3,則

/(2012)+/(2014)+/(-2.5)等于()

A.-9B.9C.-3D.3

9.已知函數(shù)/(￡)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)*20時(shí)，/(尤)="|》-1|+|》一2|-3),若Wx€

R./(x-a)<f^x),則a的取值范圍是()

A.a>3B.-3<a<3C.a>6D.-6<a<6

10.設(shè)Sn是數(shù)歹ij{Qn}前n項(xiàng)和，若Sn=4—an,則S?與S3的等差中項(xiàng)為()

A.-B.--C.-D.--

4422

11.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x20時(shí)，/(x)=膘當(dāng)￡:J則函數(shù)“切=

/(x)-a(0<a<l)的所有零點(diǎn)之和為()

A.1-2aB.2a-1C.1-2-aD.2-a-i

12.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=2㈤B.y=*C.y=|lnx|D.y=x2+x

13.己知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)與/2,不等式xJQi)+

x2/(x2)<X!/(X2)+不/(%)恒成立，則不等式/(%)<0的解集為()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,1)D.(1,+8)

14.設(shè)函數(shù)/(x)=In(巖)則/。)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,e)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,e)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

15.設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又八—3)=0,則f(x)<0的解集是()

A.{%|-3<x<0或%>3}B.%V—3或0cxV3}

C.[x\x<—3或%>3}D.[x]—3V%V0或0V%<3}

16.設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％N0時(shí)，f(x)=X2,若對(duì)任意的％€匕t+2],不等式

/(%+t)Z2/(%)恒成立，則實(shí)數(shù)￡的取值范圍是()

A.[72,4-00)B.[2,4-oo)

C.(0,2]D.[-72,-1]U[V2,V3]

17.已知函數(shù)/(%)=ex-e-x,則關(guān)于x的不等式/(%)+/(%2-2)<0的解集為()

A.(—2,1)B.(-00,-2)U(1,+oo)

C.(-1,2)D.(-00,-1)u(2,+oo)

18.已知函數(shù)f(%)是R上的偶函數(shù),若％1，亞€&則“%1+%2=0”是“/(%1)=/(必)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

19.已知函數(shù)/(%)=ax3-3x2+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)質(zhì),且右>0,則Q的取值范

圍為()

A.(2,+oo)B.(l/+oo)C.(-00,-2)D.(-8,-1)

3

20.已知m,n,p€R,若三次函數(shù)/(%)=A+7n/十九%十0有三個(gè)零點(diǎn)b,c,且滿足

/(-1)=/(1)<|,/(0)=/(2)>2,則，￡+十的取值范圍是()

A.(MB.(那0I.職)D.職)

二、填空題(共6小題)

21.己知/'(X)是定義在|-2,0)U(0,2]上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí)，f(x)的圖象如右圖所示，那么

/(%)的值域是.

22.已知定義域?yàn)椋踑-4,2a-2］的奇函數(shù)/(x)=2020x3-5x+b+2,則/(a)+f(b)的值

為.

23.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以5為周期的奇函數(shù)，若f(2)>l,f(3)=立等，則a的取值范

Q—3

圍是.

24.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+x/,(x)>0,且/'(3)=0,則不等

式xf(x)>0的解集是.

25.設(shè)函數(shù)f(x)=案磬的最大值為M,最小值為m，則M+M=.

26.設(shè)/⑺為定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3X+1,則/(嗨之卜.

三、解答題(共8小題)

27.已知函數(shù)/(x)=ax-2(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,以，其中a>0,且a芋1.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)y=f(x)(x20)的值域.

28.己知函數(shù)/(x)=x+?(a>0).

(1)若/(1)=3,求a的值；

(2)判斷函數(shù)/(%)的奇偶性并證明.

29.已知函數(shù)/(x)=為奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值并證明/(%)是增函數(shù).

(2)若實(shí)數(shù)t滿足不等式/(￡)+/(-1)>0,求t的取值范圍.

x

30.已知函數(shù)/(%)=log2(4+1)+mx.

(1)若/(%)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

2

(2)當(dāng)m>0時(shí)，，關(guān)于x的方程f［8(log4x)+210g2：+、-可=1在區(qū)間［1,2間上恰有兩

個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求ni的取值范圍.

31.己知/(x)=a(x+1)+§(%H0),a6R.

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，求不等式/(%)4-1</(%+1)的解集；

(2)若/(%)是奇函數(shù)，求a的值.

32.已知函數(shù)/(%)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=/(%)+/(y).

(1)求證：/(%)是奇函數(shù)；

(2)若/(-3)=a,試用a表示/(12).

33.設(shè)常數(shù)a6R.己知函數(shù)/(x)=也+二+2.

(1)設(shè)Q=0,求函數(shù)/(X)的值域；

(2)討論函數(shù)/(二)的奇偶性，并說(shuō)明理由；“

(3)設(shè)。6?,2),試根據(jù)a的不同值，討論并求出函數(shù)/"(x)的值域中不能取到的整數(shù)的集合.

34.函數(shù)f(x)=竽匚(d>0).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)a>0,%i+%2>0，%2+%3>0，%1+%3>0，%|>專。=1,2,3),求證：/(%力+

〃冷)+/3)>竽；

(3)如果/(無(wú))有極小值九in=f(1)=2,試證明|嚴(yán)(x)|—|f(xn)|N2八一2.

答案

1.B

【解析】由圖象可知，/(2)</(6),又因?yàn)?"(X)為偶函數(shù)，

所以f(一2)=)(2),所以“-2)-/(6)<0.

2.D

【解析】函數(shù)/'(x)=(x-：)cosx可以看作是g(x)=與/i(x)=cosx兩個(gè)函數(shù)的乘積,

其中一TTWXWTT且x#0,

分別研究函數(shù)g(x)與/i(x)在各個(gè)區(qū)間的正負(fù)性，

可知函數(shù)f(x)的正負(fù)性符合D項(xiàng).

3.C

【解析】A選項(xiàng)：y=sinx是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)有增有減：

B選項(xiàng)：y=tanx是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性，要記牢；

C選項(xiàng)：y=/是奇函數(shù)，是在定義域內(nèi)遞增；

D選項(xiàng)：y=e，不是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)遞增.

4.C

5.B

【解析】由①②③三個(gè)條件知函數(shù)的周期是4,在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)且其對(duì)稱軸為x=2,

所以f(4.5)="0.5),

八7)=/(3)=/(2+1)=八2-1)=f(l),

/-(6.5)/(2.5)=f(2+0.5)=/(2-0.5)=/'(1.5),

因?yàn)?<0.5<1<1.5<2,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，

所以f(0.5)</(I)</(1.5),即f(4.5)</(7)</(6.5).

6.A

【解析】(排除法)當(dāng)￡=魚，則為€［魚，企+2］,得/(x+魚)22f(x),

即(x+V2)2>2%2=/一2V2x-240在xe［或,戊+2］時(shí)恒成立，

而M—2或％-2最大值，是當(dāng)無(wú)=或+2時(shí)出現(xiàn)，

故/-2&X-2的最大值為0,則f(x+t)22/Q)恒成立，排除B項(xiàng)；

同理再驗(yàn)證t=3時(shí)，/。+。32/0)恒成立，排除C項(xiàng)；

1=一1時(shí)，f(x+t)22f(x)不成立，故排除D項(xiàng).

7.A

【解析】因?yàn)楫?dāng)xWO時(shí)，/(X)=2x2-x,

所以/(-1)=2(-1產(chǎn)-(-1)=3,

又因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以-1)=一/(-1)=-3.

8.C

【解析】因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，f(x-1)為奇函數(shù)，

所以f(一X)=f(x),f(T-1)=-f(X-1),

所以f(x+l)=-f(x-l),

所以/(2014)=-/(2012),

所以/(2014)+/(2012)=0,

又f(-2.5)=/-(-1.5-1)=-/(1.5-1)=-f(0.5)=-3.

9.C

f—x,0<x<1

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)x20時(shí)，/(%)=1(lx-1I+1%-2|-3)=-1,1<x<2,

(x-3,x>2

又由函數(shù)為奇函數(shù)，知其圖象如圖.

若VxWR,/(x-a)</(%),即點(diǎn)。-a,/(匯一。))在點(diǎn)(%,/(%))的下方，分析可得Q>6,即Q的

取值范圍為Q>6.

10.A

(解析】n=1時(shí)，S]=a[=4一a]，

所以為=2,

因?yàn)镾九=4一冊(cè)，...①

SytT=4-a九T，...②

由①一②得an=a71T-an,

所以Cln——dn—1?

所以｛4J是首項(xiàng)為2,公比為g的等比數(shù)列.

所以S2=2+1=3,§3=2+1+[=：.

所以S2與S3的等差中項(xiàng)為丁=

11.B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù),

當(dāng)x20時(shí)，“久)=愣彳：？X6[0,1)

U%—oI—1,xG[1,4-00)*

故函數(shù)/Q)的圖象如圖所示:

y

5

4

3

2

-4~

-5L

故關(guān)于x的方程f(x)=a(0<a<1)共有5個(gè)根：x2>x3,x4,x5,

則Xi+%2+%+%5=0，+%2+X3+%4+%5=X3,

a

由log2(x3+1)=a得：x3=2-1,

故關(guān)于x的方程/(x)=a(0<a<1)的所有根之和為2a-1.

12.A

【解析】令fix')=2|X|,貝?。?(-x)=2l-xl=/(x),

所以y=2㈤為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱且在(0,+8)上單調(diào)遞增，符合題意，

y=或是偶函數(shù)，則(0,+8)上是減函數(shù).

y=ln|%|是偶函數(shù)，當(dāng)工>0時(shí)，y=In%是增函數(shù)，滿足條件.

y=x2+2x,對(duì)稱軸％=-1,不是偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞增，但不符合題意.

13.B

【解析】由已知，%"01)+(%2)<%J(%2)+勺/(%1)=Ul-X2)f(x1)4-(%2-%1)/(%2)<0=

(與-％2)(/(%1)-/(%2))<0，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知函數(shù)在給定定義域內(nèi)為減函數(shù)，且/(0)=0,

因此可知不等式/(%)<0的解集為(0,+8).

14.A

15.B

【解析】因?yàn)?(%)是奇函數(shù)，/(-3)=0,

所以/(-3)=—/(3)=0,解"3)=0.

因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，

所以當(dāng)0VXV3時(shí)，/(%)<0.

當(dāng)x>3時(shí)，/(%)>0,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是奇函數(shù)，

所以當(dāng)—3VXV0時(shí)，/(%)>0.

當(dāng)％<—3時(shí)，/(%)<0,

則不等式/(%)<0的解是0VXV3或％V-3.

16.A

【解析】因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，

且當(dāng)％之0時(shí)，/(%)=%2,

所以當(dāng)％V0時(shí)；有一%>0,/(—%)=(―%)2,

所以一/(%)=/，即/(%)=-％2，

所以f(x)=fx2,%>0

V—X2,XV0’

所以/(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f(x)=/(V2x),

因?yàn)椴坏仁絝(x+t)>2/'為)=f(y/2x),在匕t+2］上恒成立,

所以x+t2或》在［t,t+2］上恒成立，解得xW(1+魚-在［t,t+2］上恒成立,

所以t+2W(l+&)t,解得則實(shí)數(shù)t的取值范圍是［&,+8).

17.A

【解析】根據(jù)題意，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ex-e-，

所以有/(-%)=e--ex=-(ex-ef=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

又因?yàn)橛?'(%)=ex+e~x>0,則函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù)，

/(x)+f(x2-2)<0=f(x)<-f(x2-2)=fix')<f(2-x2)=>x<2-x2,

即/+%—2<0,

解得-2<x<l,即其解集為(一2,1).

18.A

【解析】己知函數(shù)/(x)是R上的偶函數(shù)，則/(x)=/(—x),

若X1,X2€R，'%+X2=0",則X1=-x2,

所以/■01)=/(-x2)=/(上)，

若匕/2eR,/(%!)=/(%2)-

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，

所以f(%l)=f(.X2-)=f(-X2\

所以/=一工2，或XI=-X2+7,T是函數(shù)的周期，

所以X］+g=。，或X］+g=T，

故X1,X2GR,則工+x2=0”是“fQi)=八名)”的充分不必要條件?

19.C

20.D

【解析】因?yàn)?(-1)="1)<"

/(0)=/(2)>2,

斫以1―1+m—九+P=l+m+^+P，

加以(p=8+4m+2n+p,

即?［n+1=0,

2m+n4-4=0,

m=-

解得

n=-1,

所以f(x)=X3-|x2-X+p,

因?yàn)閒(-1)<Mf(0)>2,

所以［T—l+l+P.

Ip>2,

解得2<p<3,

設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為/(x)=(x-a)(x-b)(x-c),

比較系數(shù)得ab+be+ca=-1,abc=-p,

abcabcp\32j

21.［-3,-2)U(2,3］

22.0

23.(-oo,-2)U(0,3)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)以5為周期，

所以-2)=/(—3)，

又因?yàn)閒(3)=片"，函數(shù)是奇函數(shù)，

所以〃-3)=-/(3)=-^2,

所以/'(2)=-絲3>1,解得0<a<3或a<—2.

ct—3

24.(—oo,—3)U(3,+oo)

25.2

【解析】令￡=sinx6［一11］，則y=/W=1+7^7,

令z=言p則當(dāng)亡=0時(shí)z=0,

且函數(shù)z為奇函數(shù)，

所以Zmax+Zmin=。f

又因?yàn)镸+m=(1+zmax)+(1+Zmin)，

所以M+m=2+(zmax+Zmin)=2.

26.-6

【解析】因?yàn)?(%)為R上奇函數(shù)，

設(shè)xV0,則一%>0,則/(-%)=3-x+1,

因?yàn)?(一%)=TG)，

所以/(%)=一3一七

而log3^=Tog32<0,

所以，(嚙3=-31。*=-京=-6?

27.(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,

所以a"2:十(丁

所以a1

3,

(2)/(%)=0(x>0),由％NO,得％-2N-2,

二。〈(曠

??.函數(shù)y=7(x)(%>0)的值域?yàn)?0,9].

28.(1)由題意知，/(l)=l+a=3,

所以a=2>0滿足題意.

(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，證明如下：

函數(shù)/(%)=x+?(a>0)的定義域?yàn)?-8,0)u(0,4-oo)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又因?yàn)?'(—X)=-x+-^=-(x+^=-/(x),

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

29.(1)因?yàn)?Xx)=舒為奇函數(shù)，

所以f(0)=m=0,

所以a=l,f(x)=W=l-島，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)/'(x)為奇函數(shù)，故a=1.

設(shè)V%2，則

、乙、222(2X1-2X2)

/(%1)-/(%2)-i+2%2?1+2%1-(1+2X1)(1+2X2)V，

所以/(%)</(%2)，

所以/(%)是增函數(shù).

(2)由(1)得y=/(%)為定義域R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，

由f(專)+f(T)>0可得，層)>-/(D=f(T)，

所以白>1,

1—2

門口—、八

即--1--14=—3t>0,

t-2t-2

所以(t—2)(t—3)<0>

解2<tv3.

x

30.(1)/(%)=log2(44-1)4-mx,

-x

/(—x)=log2(44-1)—mx,

/(%)一/(一%)，

-x

即log2(4,+1)+mx=log2(4+1)—mx,

化簡(jiǎn)得到2x=—2mx,

所以m=-1.

(2)m>0,函數(shù)/(%)=log2(4*+1)+mx單調(diào)遞增，且/(0)=l,

2

f[8(log4x)+210g2；+,-4]=1=/(0),

2

故8(log4x)+210g2：+'-4=0,

設(shè)log2=t,tG[o,|],

即一2t2+2t+4=上，

m

畫出3=—2/+2土+4的圖象,如圖所示,

根據(jù)圖象知4^2

解得即

31.(1)(-1,0).

(2)由f(x)+f(-x)=0,可得a=0.

32.(1)由已知/(x+y)=/(x)+/(y))

令y=-x得/(0)=/(%)+/(-x),

令％=y=0得/(0)=2/(0),

所以*0)=0,

所以/⑺+―0,

即f(—X)=-f(X),

故/'(X)是奇函數(shù).

(2)由(1)知f(x)為奇函數(shù).

所以f(—3)=—/(3)=a,

所以f(3)=-a.

又f(12)=/(6)+/(6)=2*3)+2*3)=4/(3),

所以*12)=-4a.

33.(1)a=0時(shí)，f(x)=-+—+2=4--(x^0),

此時(shí)擊W(-00,0)U(0,1)U(1,4-00),

所以E(—8,0)U(0,2)U(2,+oo),

f(X)=4--G(-00,2)U(2,4)U(4,+oo),

即f(x)值域?yàn)?-00,2)U(2,4)U(4,+00).

(2)當(dāng)aHl時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

此時(shí)/"(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

當(dāng)a=l時(shí)，定義域?qū)ΨQ，/(刈=言+言+2=若，此時(shí)/(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).

(3)1。當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=W=4(l+W)，

x2-1G[-1,0)u(0,+oo),占e(—8,—1]u(0,+8),ie(-8,0]u(L+8),

/(x)G(-a>,0]U(4,+8),此時(shí)y(x)值域中不能取到的整數(shù)的集合為[1,2,3,4).

2°當(dāng)：<a<l或l<a<2時(shí)，設(shè)/(x)=k,kwZ.

則k(x—a)(x4-1)=4x2+2(1—a)x(%H—1且%工a).

當(dāng)％=-1時(shí)，0=4+2(Q—1),得Q=-1(舍去)；

當(dāng)％=Q時(shí)，0=4a2—2a2+2a,得a=-1或a=0(舍去).

所以關(guān)于%的方程(k-4)x2+(fc-2)(1-a)x-afc=0有解表明k在值域中.

①々=4時(shí)，(左一2)(1-a)H0有解，

所以4在值域中.

②時(shí)，/NO有解，

即

A=(fc-2)2(1—a)2+4afc(fc—4)

=(fc-2)2(1—a)2+4a[(fc-2)2-4]

=(fc-2)2(a+l)2—16a

>0.

因?yàn)閇vavl或lVa<2,

所以(k-2)2(a+l)2>16a<=>(fc-2)2>盧先=fc-2|>

3+1)2a+-+2｛a+；+2

因?yàn)椋?lt;a<l或l<a<2,以及函數(shù)t+(在區(qū)間0,1)上減，在區(qū)間(1,2)上增，

所以a+打(2,|1赤6偌,4),

所以Ik-2任JT-QIk一2|>1,

小+2

即此時(shí)函數(shù)f(x)值域中不能取到的整數(shù)的集合為[1,2,3).

綜上，當(dāng)a=l時(shí)，f(x)值域中不能取到的整數(shù)的集合為｛123,4｝：

當(dāng)或l<a<2時(shí)，f(x)值域中不能取到的整數(shù)的集合為｛1,2,3).

34.(1)/(x)=i(ax+i).

a=0時(shí)，f(x)=^'