專題04基本不等式及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.基本不等式

如果a>0方>0,那么，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.其中，土W叫作4、的算術(shù)平均數(shù)，，萬

22

叫作a,b的幾何平均數(shù).即正數(shù)4,6的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,bGR,則。2+/22"，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號；

基本不等式2：若則空出之而（或a+622，石），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，"二定”指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧與總結(jié)】

1.幾個(gè)重要的不等式

（1）a2>0（aGR）,4a>0（a>0）,|?|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,則竺22疝（當(dāng)且僅當(dāng)“a=此時(shí)取

2

特例：a>0,<2H—22;—I—22（a,/?同號）.

aha

（3）其他變形：

①片+/>S+"）（溝通兩和。+人與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

②abW絲之（溝通兩積ab與兩平方和a1+h2的不等關(guān)系式）

2

③。64（與2）（溝通兩積而與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：^^）依《今《產(chǎn)否（訴/?+）即

ah

調(diào)和平均值工幾何平均值4算數(shù)平均值4平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），則肛<（苫））=?（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果孫=P（定值），則歷=2，A（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：mx+—>2y[nm（in>0,?>0）,當(dāng)且僅當(dāng)犬=■時(shí)等號成立：

xVtn

模型二：mx+n=tn{x-a）+———Fma>2y[mn+ma（m>0,M>0）,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號成立；

x-ax-aVm

模型三：——=--一<-yl—（?>0,C>0）,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；

ax+bx+c+b+￡2y/ac4-bVa

x

士甘向rm，、/I,tnx+n-twc/八八八幾、業(yè)口z小〃口4?他口

模型四：x（n-mx）=---------<—?（----------）x2=—（w>0,/?>0,0<x<—）,當(dāng)且僅當(dāng)》=—時(shí)等號

mm24mm2m

成

立.

【題型歸納目錄】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

題型二：直接法求最值

題型三：常規(guī)湊配法求最值

題型四：消參法求最值

題型五：雙換元求最值

題型六：“I”的代換求最值

題型七：齊次化求最值

題型八：利用基本不等式證明不等式

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【典例例題】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

例I.（2022?寧夏?銀川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（）

A.x-\■—>2B.a+b>2\[ab

x

c/a+b丫、a-+廳c212c,

C.---->------D.6/->2ah

I2J2

例2.（2022?黑龍江?哈九中三模（理））已知居y都是正數(shù)，且、工九則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

A.晝>而B-泮立

C.^^<s/xyD.xy+-^->2

x+y孫

例3.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A5上，且O產(chǎn)，A5,設(shè)4C=〃，BC=b,

則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+b>\[ah(a>O,b>O)B.a2+b2>2\fab(a>0,b>0)

2

C.^-<4ab(a>0,b>0)Da^b\a>0,b>0)

a+b啖

例4.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））下列不等式中一定成立的是（）

A.—r—>1(XGR)B.sinx+——>手k/r,kwZ)

f+1I)sinx

C.Infx2+j>Inx(x>0)

D.X2+1>2|A|(XGR)

（多選題）例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為6的是（）

93

A.y=lnx+-----B->，=6|sin-r|+2M

\nx

X2+25

^77716

（多選題）例6.（2022?江蘇.揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)。>0,b>0,下列結(jié)論中正確的是（）

+2

A.(4+>9B.a2+b2>2(a-i-b+l)

h2a2.D.比乜疝

C,——+——>a+h

aba+b

【方法技巧與總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

題型二：直接法求最值

例7.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））若實(shí)數(shù)小〃滿足則曲的最大值為（）

A.2B.1cD.

-74

例8.（2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測（理））若x,y為實(shí)數(shù)，且x+2y=6,則3、+9,的最小值為（）

A.18B.27C.54D.90

例9.（2022?河南河南?三模（理））已知二次函數(shù)/（力=加+2%+。（xeR）的值域?yàn)椋?,+8）,則（+：的

最小值為（）

A.-4B.4C.8D.-8

例10.（2022?湖北十堰?三模）函數(shù)f（x）=16*+：+9的最小值為（）

A.4B.2&C.3D.472

（多選題）例11.（2022?廣東?汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知。，b是兩個(gè)正數(shù)，4是2"與16〃的

等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（）

A.必的最小值是1B.而的最大值是1

C.上1+1；的最小值是Q；D.I上+1；的最大值是:9

ab4ab2

例12.（2022.四川?廣安二中二模（文））若〃為eR",且1+6=1,則絲的最大值是.

aa

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x、丫滿足》+；=2,則上的最小值是___________.

4yx

【方法技巧與總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

題型三：常規(guī)湊配法求最值例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））若,則”/一21+2有（）

2%-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=3x+—[（*>1）的最小值是（）

X-]

A.4B.2癢3

C.2GD.26+3

例16.（2022.全國.高三專題練習(xí)）若x>0,y>0且*+）'=孫，則一^+工^?的最小值為（）

x-1y-\

A.3B.；+瓜C.3+y/6D.3+25/2

丫2_v-_i_1

例17.（2022.上海.高三專題練習(xí)）若x>l,則函數(shù)丁=：^—的最小值為.

x-l

例18.（2021?江蘇?常州市北郊高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知孫=1,且0<，則2最大值為______

2廠：+一16y

4

例19.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)y=x+—；（x>1）的最小值及此時(shí)x的值；

（2）已知函數(shù)y=xL+l°,xe（-2,+?）,求此函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值.

x+2

【方法技巧與總結(jié)】

1.通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型四：消參法求最值

例20.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）若直線以-勿-3=0（a>0力>0）過點(diǎn)（1,-1）,則67T+屈工的最大值

為.

例21.（2022.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足f一3孫+4丁-z=0,則當(dāng)值取得最大值時(shí)，

Z

212

一+----的最大值為（）

xyz

9

A.0B.3C.-D.1

4

例22.（2022,全國?高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)m。滿足他+2。-2=0,則的最小值是（）

A.2B.472-2C.46—2D.6

例23.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a,b滿足b+3a=2ab,則孚的最大值為______.

ab

例24.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若x,yeR*,（x-y）2=（孫兒則］+’的最小值為.

xy

例25.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）若a>0,6>0,4/+82—2點(diǎn)=2,則半斗的取值范圍是________.

2a+h

【方法技巧與總結(jié)】

消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題

過程中要注意“一正，二定，三相等“這三個(gè)條件缺一不可！

題型五：雙換元求最值

例26.（2022-浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)。>0,6>0,若/+62-6〃。=1，貝1」32-。。的最大值為（）

A.3+6B.2后C.1+&D.2+6

例27.（2022.天津南開.一模）若a>0,b>0,c>0,a+6+c=2,則2+史史的最小值為_____.

a+bc

1x

例28.（2022?天津市薊州區(qū)第一中學(xué)一模）已知x+y=Ly>0,x>0,則三+百萬的最小值為.

例29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知”>0,人>0,a+2Z>=l,則°:，取到最小值為.

例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若x,yeR+,且x+2y=l,則'+三的最小值為_________

x+1y+2

4x2v2

例31.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x,V滿足2x+y=2,則一+^^的最小值是__________.

y+12x4-2

【方法技巧與總結(jié)】

若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的

分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系.

1.代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型六：“1”的代換求最值

例32.（2022?遼寧?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足工+'=1,貝114丫丫-3》-6丫的最小值為（）

xy

A.2B.4C.8D.12

例33.（2022?河南?鶴壁高中模擬預(yù)測（文））設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S.，若5刈3=2013,則

11

—-的最小值為（）

02。2012

A.1B.2C.4D.8

例34.（2022.安徽.南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））若實(shí)數(shù)。，6滿足2a+8=3（a>4,6>l],則凸+々的最

I2）2（7-1b-\

小值為（）

A.6B.4C.3D.2

21

例35.（2022?安徽?南陵中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知。>0/>0,6。+1=1,則丁+6〃的最小值為（）

b2a

A.13B.19C.21D.27

例36.（2022?四川?石室中學(xué)三模（文））已知a>0,6>0且a+b=l,則的最小值是（）

A.49B.50C.51D.52

例37.（2022?河南?寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正數(shù)a,b滿足曲-a-b=。,則4a+6的最小

值為.

X24-1

例38.（2022?天津?南開中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)x>0,y>0,x+y=l,則=-的最小值為_____.

2xy

例39.（2022?新疆阿勒泰?三模（理））函數(shù)y=a*T+i圖象過定點(diǎn)A,點(diǎn)A在直線如+〃"3（〃?>1,〃>0）上，

則」17+±?最小值為.

m-\n

【方法技巧與總結(jié)】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程

中要特別注意等價(jià)變形.

1.根據(jù)條件,湊出“1”,利用乘"1”法.

2.注意驗(yàn)證取得條件.題型七：齊次化求最值

例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,滿足3々萬—2a2—3h2+9=0,則':—F—的最小值是（）

ab

A.276B.4>/3C.476D.66

例41.（2022?浙江嘉興?二模）已知函數(shù)+反+03<份的定義域?yàn)镽，則4c的最大值是

例42.（2。22?全國高三專題練習(xí)（理））若〃，b,c均為正實(shí)數(shù)，則懸鼻的最大值為（）

72D.4

A1r

A?2L?----

2

例43.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)/。）=渥+加+5+以公力在R上單調(diào)遞增，則

b-a

最小值為（）

A2A/6+5Rm+5c7+6

D.--------------

232

已知a>0,b>0,且a+處=1,則，+的最小值為

例44.（2022?天津?高三專題練習(xí)）

b2a+b

例45.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）己知x,y,z為正實(shí)數(shù)，且x+2y-4z=o,則m的最大值為

若且V則一4+'r-1-3yV的最小值為

例46.（2022?全國?高三專題練習(xí)）x>0,y>0log23'+log,9=log481,

【方法技巧與總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問題,通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)

行求解.

題型八：利用基本不等式證明不等式

例47.（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知。>0,b>0.

23

（1）若2。+。=1,證明：一4a+3從<3；

48

(2)若加+b=a〃，證明：4a+b+ab>l0+4\[6.

例48.（2022?陜西渭南?二模（文））設(shè)函數(shù)/（x）=k+l|—|2x—4].

⑴求不等式/（x）>2x-3的解集.

⑵若/（x）的最大值為^+從+d，證明:ab+bc+ca<3.

例49.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)。，b,c滿足a+b+c=3.

⑴求血的最大值;

(2)證明：a3b+b'c+c1a>3abc.

例50.（2022.安徽省蕪湖市教育局高三期末（理））設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+6+c=l.證明:

八111、9

(1)-+------1-------2-；

a+bb+cc+a2

…、a―鼻、ab+be+ca-3abe

(2)a^b3+c3>-------------------------

例51.（2022?河南洛陽?一模（文））已知a,6,c都是正數(shù).

(1)證明：a+h+c>\[ah+\[bc+\[ac；

(2)若a+b+c=3,證明:JJ，鹿.

a+bb+cc+a2

【方法技巧與總結(jié)】

類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明.

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

例51.（2021?全國?高三專題練習(xí)（理））設(shè)計(jì)用32加的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門

的規(guī)定車廂寬度為2加，則車廂的最大容積是（）

A.（38—3折）m3B.16m3C.472m3D.14m3

例53.（2021?全國?高三專題練習(xí)）如圖，將一矩形花壇A8CO擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇要求點(diǎn)

8在AAf上，點(diǎn)。在AN上，且對角線MV過點(diǎn)C,已知A3=4,AD=3,那么當(dāng)3河=時(shí)，矩形

花壇的AMPN面積最小，最小面積為.

例54.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實(shí)

心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型.如圖所示的空心模型是體積為亞亙乃c〃尸的球挖去一個(gè)三

6

棱錐P-43C后得到的幾何體，其中8C_L平面抬B,BC=\cm.不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最

省時(shí)，AC的長.

[>\'￡例55.（2022.全國?高三課時(shí)練習(xí)）為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉

U依二二力

行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用t（G0）萬元滿足x=4--

（k為常數(shù)）.如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6

萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5

倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2019年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)廠家利潤最大？

【方法技巧與總結(jié)】

1.理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題.

2.注意定義域，驗(yàn)證取得條件.

3.注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022.甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)E是的中線3。上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若

_21

AE=xAB+yAC,則一+一的最小值為（）

x>

A.4B.6C.8D.9

19

2.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（文））已知〃力為正實(shí)數(shù)，S.a+b=6+-+^-,則匕的最小值為（）

ab

A.6B.8C.9D.12

3.（2022?安徽馬鞍山?三模（理））若a>0,b>0,lga+lg/?=lg（a+3Z?）,貝必+人的最小值為（）A.46

B.4+26C.6D.3+36

4.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知不，貳為平面的單位向量，且其夾角為與，若

+=則2x+y的最大值為（）

A.2-^3B.2>/2C.—\/3D.—2>/3

41

5.（2022.天津紅橋.一模）設(shè)。>0,b>\,若a+b=2,則一+「■的最小值為（）

ab-\

A.6B.9C.3亞D.18

6.（2022?山西運(yùn)城,模擬預(yù)測（理））已知等比數(shù)列｛%｝的公比為q,且牝=1，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

11

A.生+%22B.%+422C.-2d!6+1>0D.—+—=4+4

a\%

7.（2022?河南?鶴壁高中模擬預(yù)測（文））已知a,bwR,滿足e'e'l,則下列錯(cuò)誤的是（）

A.a+b<-21n2B.+/?<0

C.ah>\D.2（e2fl+e2Z,）>l

8.（2022?河北保定?二模）已知”，匕?0,+oo）,且/+3他+4〃=7,則a+2b的最大值為（）

A.2B.3C.2近D.3五

二、多選題

9.（2022?河北張家口三模）己知—x+y=〃？（"是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

14

A.若一+---;的最小值為m+1,則6=3

xy+1

B.若My+D的最大值為4,則機(jī)=3

C.若五十J7的最大值為加，則加=2

D.若m=4,則立12的最小值為2

X

10.（2022?河北?模擬預(yù)測）已知。>0/>0,您+於=2,則以下不等式成立的是（）

A.a+b>2B.?3+^>2C.Ia+y||/>+-|>4D.-+->2

Ib）\a）ab

11.（2022.山東荷澤?二模）設(shè)”，6為兩個(gè)正數(shù)，定義a,b的算術(shù)平均數(shù)為A（a,b）=—,幾何平均數(shù)為

G（a"）=\/^.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”,即Lja,b）=…，

其中P為有理數(shù).下列結(jié)論正確的是（）

A.4.5（。力）〈4（4，6）B.4（a,A）4G（a,A）C.4（a,A）4A（a,A）

D.Ji（a,6）M4（a,b）

12.（2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模）已知函數(shù)〃x）=|log2X，且正實(shí)數(shù)“，力滿足/（。）+/S）=1,則下

列結(jié)論可能成立的是（）

3

A.a=2bB.2j+2-'的最大值為二

C.ab—2D.—的最小值為2&

三、填空題

13.（2022?黑龍江齊齊哈爾?三模（理））已知正實(shí)數(shù)x,y滿足則y+空+土的最小值為

xy

4

14.（2022?吉林?模擬預(yù)測（理））已知x>2,則一^+x的最小值是_____.

x-2

15.（2022?重慶?三模）已知a>0,b>0,&a2b+3ah2=3a+h,則a+36的最小值為.

2x2

16.（2022?浙江?模擬預(yù)測）己知正實(shí)數(shù)x,y滿足：x2+xy+—=2,則3x+2y+-的最小值為.

yy

四、解答題

17.（2022?江西?二模（理））已知函數(shù)/（x）=|2x+6|+|x-3].

⑴解不等式〃x）210的解集；

⑵設(shè)g（x）=/（x）-|x+3|到的最小值為乙若正數(shù)皿，〃滿足2m+〃=f,求丁二+」的最小值.

2機(jī)+171+1

18.(2022?江西南昌?三模(理))已知函數(shù)/(x)=k-2|+|x-4|,已知不等式化>0)恒成立.

(1)求左的最大值即；

ab、1

⑵設(shè)a>0,b>0,求證：.

a+2b2a+b3k0

19.(2022?江西九江?三模(文))設(shè)函數(shù)/(x)=|x-a|(aeR).

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)+/(2-x)24恒成立，求。的取值范圍；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，.r(x)+W1所圍成的區(qū)域面積為S,若正數(shù)b,c,4滿足仍+4)(c+d)=S,

求b+2c+%的最小值.

20.(2022?陜西?模擬預(yù)測(理))設(shè)函數(shù)〃力=卜-5+.1+：-4萬(4>0)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)4|的解集；

192

⑵已知不等式X+-的解集為{xlxWl},m>0,n>0,m+n=a,求一+-的最小值.

amn

21.(2022,河南?模擬預(yù)測(文))設(shè)m5為正數(shù)，且a+〃=L證明：

(1)?！?b\[a<^~：

2

⑵卜/+句W+Q)》/

22.(2022?云南昆明?模擬預(yù)測(理))設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+〃+c=L

(1)求上1+廠4一的最小值；

ab+c

\t\-a+\j\-b+Jl-cW^6

(2)證明:

專題04基本不等式及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.基本不等式

如果a>0方>0,那么，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.其中，土W叫作4、的算術(shù)平均數(shù)，，萬

22

叫作a,b的幾何平均數(shù).即正數(shù)4,6的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,bGR,則。2+/22"，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號；

基本不等式2：若則空出之而（或a+622，石），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，"二定”指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧與總結(jié)】

1.幾個(gè)重要的不等式

（1）a2>0（aGR）,4a>0（a>0）,|?|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,則竺22疝（當(dāng)且僅當(dāng)“a=此時(shí)取

2

特例：a>0,<2H—22;—I—22（a,/?同號）.

aha

（3）其他變形：

①片+/>S+"）（溝通兩和。+人與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

②abW絲之（溝通兩積ab與兩平方和a1+h2的不等關(guān)系式）

2

③。64（與2）（溝通兩積而與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：^^）依《今《產(chǎn)否（訴/?+）即

ah

調(diào)和平均值工幾何平均值4算數(shù)平均值4平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），則肛<（苫））=?（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即“和為定值，積有最大值”.

(2)如果孫=P(定值)，則歷=2，A(當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：nvc+—>>0,M>0),當(dāng)且僅當(dāng)犬=■時(shí)等號成立：

xVtn

模型二：mx+n=m(x-a)+———Fma>2y[mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號成立；

x-ax-aVm

模型三：——=---4——(?>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-E時(shí)等號成立；

ax+bx+c+b+￡2y/ac+bVa

x

士甘向rm，、mx(n-mx)I,)nx+n-mx./八八八幾、業(yè)口z小〃H姐「

模型四：x(n-mx)=------<—?(---------)2=—(m>0,n>0,Q<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)》=—時(shí)等號

mm24mm2m

成

立.

【題型歸納目錄】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

題型二：直接法求最值

題型三：常規(guī)湊配法求最值

題型四：消參法求最值

題型五：雙換元求最值

題型六：“I”的代換求最值

題型七：齊次化求最值

題型八：利用基本不等式證明不等式

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【典例例題】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

例I.(2022?寧夏?銀川一中二模(理))下列不等式恒成立的是()

A.X")"一>2B.a+b>2\fab

x

c/a+b丫、a~+b~c2,，c,

C.---->-------D.a~+b~>2ah

I2)2

【答案】D【解析】

【分析】

根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)x<0時(shí)、不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，a+h22而成立的條件為故錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)a=-6*0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，由于a?+。2-2a6=（a-b）220,故正確.

故選：D

例2.（2022?黑龍江?哈九中三模（理））已知-y都是正數(shù)，且“工九則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

A.X+y>y[xyB.—+—>2

2yx

C.^-<4xyD.W+W>2

x+yxy

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式判斷.

【詳解】

x,y都是正數(shù)，

由基本不等式，”2日,x+->2,三.苧=而，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)X=y時(shí)等號成

2xyx+y24xy

立，而題中xwy,因此等號都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；

孫+J-22中當(dāng)且僅當(dāng)孫=1時(shí)取等號，如x=:,y=2即可取等號，D中不等式不恒成立.

孫2

故選：D.

例3.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑48上，S.OFLAB,^AC=a,BC=b,

則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+^>\fah(a>0,b>0)Q.a2+h2>2>fah(a>0,h>0)

C.型箍

(a>Qb>0)(6f>0,Z;>0)

a+b

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)AC3Cm得到「。八啜OC嚀,在直角△比/中,利用勾股定理，求得上=亨

結(jié)合尸04FC,即可求解.

【詳解】

設(shè)AC=a,8C="可得圓0的半徑為r=0F=，AB=色吆

22

a+b,a-b

又由0c=08-BC=----h=---

22

在直角△如尸中，可得9=g+。尸=4）2+（空六子

因?yàn)閎OWFC,所以竺2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

2

故選：D.

例4.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））下列不等式中一定成立的是（）

A.—r—>l(xeR)B.sinx+——>2(x工k7i,kwZ)

r+1I)sinx

2

C.In(x+j>Inx(x>0)D,x2+l>2|^|(xeR)

【答案】D

【解析】

【分析】

由得出的范圍可判斷A；利用基本不等式求最值注意滿足一正二定三相等可判斷B；作差比較

/+；與X的大小可判斷C；作差比較產(chǎn)+1與2兇的大小可判斷D.

【詳解】

因?yàn)椤癊R,所以爐+1"所以°<±兒故A錯(cuò)誤;

21

sinx+」-22只有在sin%>0時(shí)才成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橐灰还?！=2。，所以丁+產(chǎn)，所以

sinx4

lnL2+lj>lnx,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閒+i—2國=（兇—1）20,所以犬+122此故D正確.

故選：D.

（多選題）例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為6的是（）

93

A.y=lnx+-----B-卜山小麗回

Inx

X2+25

C.y=3，+32TD.y=-1~-

VX2+16

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等“，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).

【詳解】

9

解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)xw（O,l）時(shí)，lnx<0?此時(shí)Inxd------<0,故A不正確.

\nx

對于B選項(xiàng)，>=6卜山X+疏622囪=6,當(dāng)且僅當(dāng)6卜inx|=萬氏不，即卜=g時(shí)取"="，故B正確