2022年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(4分)已知實(shí)數(shù)集R,集合4={x|2WxW4},8={x|3WxW5},貝lj(CR4)U8=()

A.{x[4<xW5}B.{x|x<2或x>3}C.34Wx<5}D.{x|xW2或x》3}

2.（4分）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+z）”=2-i,則復(fù)數(shù)z的模為|z|=（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

3.（4分）已知雙曲線(xiàn)。與雙曲線(xiàn)C2：號(hào)一丫2=1有相同的漸近線(xiàn)，且它們的離心率不相

同，則下列方程中有可能為雙曲線(xiàn)G的標(biāo)準(zhǔn)方程的是（）

4.（4分）設(shè)x€R,則+是“xWl”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（4分）已知一個(gè)側(cè)棱均相等的三棱錐的三視圖（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：cm）,

可得這個(gè)三棱錐的體積是（）

11

V-3--

8D.4

12

6.（4分）已知某函數(shù)的圖象（如圖），則該函數(shù)的解析式可能為（）

第1頁(yè)共22頁(yè)

A.y=xln\x\B.y='^

1x—工

C-y=(x--)-el%lD.、=涓

7.(4分)將3只小球放入3個(gè)盒子中，盒子的容量不限，且每個(gè)小球落入盒子的概率相等.記

x為分配后所剩空盒的個(gè)數(shù)，y為分配后不空盒子的個(gè)數(shù)，則()

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(HB.E(X)=E(D,D(X)半D(D

C.E(X)WE(y),D(X)=D(y)D.E(X)手E(X),D(X)手D(K)

8.(4分)如圖，在正方體Z8C。-/181clz)i中，點(diǎn)E,尸分別為MS,8c的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)

點(diǎn)、E,F,的平面為a,則下列說(shuō)法正確的是()

A.在正方體ZG中，存在某條棱與平面a平行

B.在正方體/Ci中，存在某條面對(duì)角線(xiàn)與平面a平行

C.在正方體4。中，存在某條體對(duì)角線(xiàn)與平面a平行

D.平面a截正方體AC\所得的截面為五邊形

爐一3x,Xv0

■,若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,使得了

｛|l+Znx|,x>0

(a)=f(b)=f(c)=/(d),則Med的取值范圍為()

A.(0,e'2)B.(0,e'1)C.(0,2e-1)D.(0,1)

411

10.(4分)已知無(wú)窮項(xiàng)實(shí)數(shù)列｛“”｝滿(mǎn)足：a\=t,且——=---則()

Gn+1an1

A.存在f>l,使得。2011=。1

B.存在t<0,使得42021=41

C.若4221=〃”則。2=。1

D.至少有2021個(gè)不同的/,使得42021=。1

二、填空題：本大題共7小題，單空題每小題6分，多空題每小題6分，共36分。

11.(6分)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一

第2頁(yè)共22頁(yè)

直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”.在非等邊△/8C中，AB=AC=4,點(diǎn)

8坐標(biāo)為（-2,2）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,-1）,且其“歐拉線(xiàn)”與圓M：-2（r>0）

相切，則△Z8C的“歐拉線(xiàn)”方程為,圓〃的半徑/■=.

x+y-1>0

12.（6分）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件卜一y+lNO，則zi=2xtT的最小值為，z2=

2x—y—2>0

我最大值為.

13.（6分）已知（1-3立產(chǎn)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1024,*=,展開(kāi)

3

式中含H的項(xiàng)的系數(shù)為.

14.（6分）如圖，在△/8C中，/C=3,8c=2,NZC8=60°,點(diǎn)力在邊Z8上，且CZ）

=2,則/8=,△88的面積為.

15.（4分）某學(xué)校社會(huì)實(shí)踐小組共有7名成員，該小組計(jì)劃前往該地區(qū)的三個(gè)紅色教育基

地進(jìn)行“學(xué)黨史，頒黨恩，跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個(gè)基地，

每個(gè)基地至少有兩名成員前往，且甲、乙、丙三名成員作為負(fù)責(zé)人分別帶隊(duì)前往三個(gè)基

地，則不同的服務(wù)方案共有種.

K2

16.（4分）如圖，已知A/（1,0）,P,0是橢圓三+丫？=1上的兩點(diǎn)（點(diǎn)0在第一象限）,

且直線(xiàn)尸。用的斜率互為相反數(shù).若1PM=2?M，則直線(xiàn)?！ǖ男甭蕿?

17.（4分）已知a,b,e是平面向量，之是單位向量.若滔-4a*e+2e2=0,b2-3b*e+2e2=0,

則浸-2之1+2京的最大值為.

三、解答題

18.（14分）已知函數(shù)/'（x）=6si*3x+gsin23x-3（3>0）的最小正周期為4.

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(I)求3的值及函數(shù)/(X)的對(duì)稱(chēng)中心;

(H)若/(X。)=塢，且出6(-2,0),求/(&+/)?

19.(15分)如圖，在四棱錐P-48co中，底面4BCD是矩形，PD=CD,PC_L4D,點(diǎn)E

為側(cè)棱PC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).

(I)求證：平面平面PCD；

(H)若/。=1,CD=2,ZPCD=30°,是否存在點(diǎn)E使得直線(xiàn)尸8與平面/OE所成

PE

角為60°?若存在，求出「的值；若不存在，說(shuō)明理由.

20.(15分)已知公差不為。的等差數(shù)列｛利｝的前〃項(xiàng)和為S”，且。5=53=域.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S,:

(II)在數(shù)列｛d｝中，4=2,且加+加+-+b”=6”+i-2.若對(duì)任意的正整數(shù)小不等式入2.

n+1

bn-24入?(S“一1)恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

21.(15分)如圖，已知點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)C：丁=以上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)4(-2,0),

點(diǎn)Af,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)/位于x軸上方)，滿(mǎn)足尸尸N,AMUN,線(xiàn)段

PN分別交x軸正半軸、拋物線(xiàn)C于點(diǎn)。，Q,射線(xiàn)心交x軸正半軸于點(diǎn)E.

(I)若四邊形為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(II)記△OOP,△QE0的面積分別為Si，S2，求S「S2的最大值.

22.(15分)對(duì)于正實(shí)數(shù)a,b(a>b),熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b'),其中4(a,b)=—^―

為a,b的算術(shù)平均數(shù)，G(a,b)=融為a,b的幾何平均數(shù).現(xiàn)定義“，b的對(duì)數(shù)平均

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數(shù)」(a，乃=島訪(fǎng)

11

(I)設(shè)x>l,求證：Inx<2(x--)；

(II)(i)利用第(I)小問(wèn)證明不等式：G(〃，b)<L(a,b)；

(ii)若不等式左吆(a,b)<G(a,b)+A(a,b)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b(a>b)

恒成立，求正實(shí)數(shù)人的最大值.

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2022年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(4分)已知實(shí)數(shù)集R,集合4={x|2<xW4},8={x|3WxW5},貝ij(CRN)U8=()

A.{x[4<xW5}B.{x[x<2或x23}C.{x|4Wx<5}D.{x|xW2或x23}

【解答】解：???CM={x|x<2或x>4},

(CR/)U8={X|X<2或X23}.

故選：B.

2.（4分）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+z）”=2-i,則復(fù)數(shù)z的模為|z尸（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

【解答】解：：（1+z）”=2-3

，1+z=寧=一1一2i,則z=-2-2i,

：.|z|=V(-2)2+(-2)2=2V2.

故選：B.

3.（4分）已知雙曲線(xiàn)。與雙曲線(xiàn)C2：號(hào)―y2=i有相同的漸近線(xiàn)，且它們的離心率不相

同，則下列方程中有可能為雙曲線(xiàn)Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程的是（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4224

y2x2y2x2

C.i--―=1D.片一一=1

4224

【解答】解：雙曲線(xiàn)C2：妥產(chǎn)=1的漸近線(xiàn)尸土殺且它的離心率：^=y.

丁——=1的漸近線(xiàn)y==土冬X,且它的離心率：

4242

y2y2

———=1的漸近線(xiàn)方程y=±V2x,且它的離心率：正=y/s9

y2x2V6

1=1的漸近線(xiàn)方程y=±魚(yú)r,它的離心率：—.

y.2避萬(wàn)yTE

萬(wàn)-7=1的漸近線(xiàn)方程_y=±芋k且它的離心率：方=，，

故選：D.

4.(4分)設(shè)xCR,則“x+1>2”是“xWl”的()

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A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

1_2x+l（X—1）2

【解答】解：Vx+->2<?------------>0<?-——->0?>（x-1）2x>0,...xX）且x#l,

xXX

■:{x|x>0且x#1}S{小W1},

...x+[>2是xfl的充分不必要條件，

故選：A.

5.（4分）已知一個(gè)側(cè)棱均相等的三棱錐的三視圖（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：cm）,

可得這個(gè)三棱錐的體積是（）

11

V3一C

-D.-

1284

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀(guān)圖為：該幾何體為三棱錐體4-8。；

如圖所示：

所以：0/=1,AE=

利用勾股定理：=芋,

BD=y/3,0C=1,

,11G、1、通1

+故K=xxV3xx-2~=g.

第7頁(yè)共22頁(yè)

故選：c.

6.(4分)已知某函數(shù)的圖象(如圖)，則該函數(shù)的解析式可能為()

A.y=xln\x\B.y=

1x—工

C-y=(x--)-elx|D.丫=涓

【解答】解：由圖象知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xWO},且函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)/(x)為

奇函數(shù)，

當(dāng)％f+8時(shí)，由圖象知/(%)f+8,

8中，當(dāng)x-+8時(shí)，、=弊一0,不滿(mǎn)足條件.排除8,

_1

。中，當(dāng)Xf+8時(shí)，y=X不滿(mǎn)足條件.排除。，

。中，當(dāng)x>0且X―0時(shí)，那-H,-8,則/(x)f-8,不滿(mǎn)足條件，排除C,

故選：A.

7.(4分)將3只小球放入3個(gè)盒子中，盒子的容量不限，且每個(gè)小球落入盒子的概率相等.記

X為分配后所?？蘸械膫€(gè)數(shù)，丫為分配后不空盒子的個(gè)數(shù)，則()

A.E(X)=E(X),D(X)=D(DB.E(X)=E(H,D(X)豐D(K)

C.E(X)半E(7),D(X)=D(7)D.E(X)WE(7),D(X)手D(Y)

【解答】解：由題意得X的可能取值為0,1,2,

一步，

P(X=0)—33—9，

一魅惑一2

P(X=l)一『孑

=￡1-1

P(X=2)

圖一9’

2?1R

???E(X)=0Xq+lX-24-2=

222

D(X)=(0-1)XJ+(l-1)x|+(2-1)xi=|^;

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y的可能取值為i,2,3,

1

pg)=■=今

U2

p(y=2)=C^=q,

肉3

p(丫=3)=31=^2

E(Y)=lx^,+2x-1-+3x^=

D「(/Y17)、=_(11g9-、)2X-1g4-/(c2-1g9-)、-2XW2]+(/與31g9-)、*2*Xg2=g2j6,

：.E(X)半E(7),D(X)=D(K).

故選：c.

8.（4分）如圖，在正方體工88-381。。|中，點(diǎn)E,尸分別為小囪，8c的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)

點(diǎn)E,F,G的平面為a,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.在正方體力Ci中，存在某條棱與平面a平行

B.在正方體4G中，存在某條面對(duì)角線(xiàn)與平面a平行

C.在正方體4。中，存在某條體對(duì)角線(xiàn)與平面a平行

D.平面a截正方體力。所得的截面為五邊形

【解答】解：對(duì)于4：因?yàn)锽CCa=F,8Gta,所以8C,AD,A\D\,囪。都不與a平

行，

又48ina=E,/iBiCa,所以由8i,AB,CD,CiOi都不與a平行，

因?yàn)椤ina=Oi,DDi^a,所以。。i，CC\,BB\,44i都不與a平行，

故不存在棱與平面a平行，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8：由。作截面圖形為五邊形GEPFM可判斷不存在某條面對(duì)角線(xiàn)與平面a平行，

對(duì)于C：由。作截面圖形為五邊形DEPFN可判斷不存在某條體對(duì)角線(xiàn)與平面a平行，

對(duì)。：如圖，取中點(diǎn)G,易得DiE〃DG,取8中點(diǎn)H,

連接8H,則易得8”〃OG,

第9頁(yè)共22頁(yè)

再取C，中點(diǎn)加，連接戶(hù)加，則

所以FM//D\E,所以是平面a與正方體底面ABCD的交線(xiàn)，

延長(zhǎng)MF,與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N,連接EN,交BB\于P,

則可得五邊形OiEPFM即為平面a交正方體力BCQ-小與Ci。的截面，故。正確;

故選：D.

—3x,Y<0

9.(4分)已知函數(shù)/(x)=]一，若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,使得/

(|l+/nx|,x>0

(a)=/(6)=/(c)=f0,則abed的取值范圍為()

A.(0,e'2)B.(0,屋1)C.(0,2/1)D.(0,1)

【解答】解：當(dāng)x<0時(shí)、f(x)=x3-3x,f(x)=31-3=3(x+1)(x-1),

當(dāng)x€(-8,-1)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)(-1,0)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，且/(-1)=2.

支3_O-yV(")

的圖象如圖，

(|1+lnx\,x>0

第10頁(yè)共22頁(yè)

設(shè)/(〃)—f(6)=f(c)=f(d)=m,

直線(xiàn)與函數(shù)/(x)的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，觀(guān)察圖像，可得)隹(0,2),

不妨設(shè)aVbVcVd,則必有-(1+//7C)=1+加力

*.lnd+lnc=-2,則>(de)=-2,dc=e2.

由/(〃)=f(b),得〃3-3。=〃-3b，：.a3-b3-3ka-b)=0,

即(a-b)(a2-^ab+b2)-3(a-b)=0,得(a-b)(c^+ab^-b2-3)=0,

22

*：aRb,???。2+62+。6,3=0,即3_ab=a+b>2ab9得ab<\,

又一gVa<-1,-l<Z><0,:.ab>0,即OVabVL

/?abedE(0,e2).

故選：A,

411

10.(4分)已知無(wú)窮項(xiàng)實(shí)數(shù)列｛〃“｝滿(mǎn)足：t7i=6且——=—--7,則()

。九+1即―1

A.存在￡>1,使得42011=41

B.存在fVO,使得及021=。1

C.若。221=〃1，則。2=。1

D.至少有2021個(gè)不同的看,使得。2021=。1

【解答】解：令瓦=白，則"1=*(解+1+6]])，“EN*,

則02021=01，，歷021=4,

若Z>1,則b￡(0,1),

:.62Vb3V???<Z>2021VOvbl,

不可能得到62021=61,故/錯(cuò)誤；

若fVO,則biW(-8,o),

.，./>1</>2<63<,,,<^2021<0,不可能得到62021=61，故8錯(cuò)誤;

4

。2=。1=歷="="=

11

令f(x)=4(x+1+%_]),則bn+\=/(b“),b3=b、oj(f())=b\?

o42

/(/(x))=x=x(3x-4)(5X2-20X+16)=0<=>XG｛0,2-怠2+

.,.當(dāng)61=2+專(zhuān)時(shí),b\=b3,.*.&=~=???=岳021,此時(shí)，0021H4,故C錯(cuò)誤.

故選：D.

二、填空題：本大題共7小題，單空題每小題6分，多空題每小題6分，共36分。

第11頁(yè)共22頁(yè)

11.（6分）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一

直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”.在非等邊△/BC中，4B=4C=4,點(diǎn)、

8坐標(biāo)為（-2,2）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,-1）,且其“歐拉線(xiàn)”與圓M：/+/=戶(hù)（r>0）

相切，則的“歐拉線(xiàn)”方程為xr-l=O,圓”的半徑

【解答】解：???在△Z8C中，AB=AC=4,

.??8C邊上的高線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)，中線(xiàn)位于同一直線(xiàn)上，即其“歐拉線(xiàn)”為△N8C邊5c

的垂直平分線(xiàn)，

?.?點(diǎn)8坐標(biāo)為（-2,2）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,-1）,

.?.8C的中點(diǎn)為GQ，1）,

二直線(xiàn)BC的垂直平分線(xiàn)的斜率為1,

的垂直平分線(xiàn)方程為y-4=x-|,即x-y-1=0,

?.?“歐拉線(xiàn)”與圓/+/=，（r>o）相切，

二圓心（0,0）到“歐拉線(xiàn)”的距離為d=1°一鼠"=挈=八

_V2

故答案為：x-y-\=0；-

2

儼+y—130

12.（6分）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件卜一y+1工0，則zi=2x+y的最小值為2，z2=^

[2x-y-2>0

4

的最大值為

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

由圖可知，-），聯(lián)立｛:解得8⑶4）,

第12頁(yè)共22頁(yè)

由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)zi=2x+y過(guò)4時(shí)，zi=2xtP有最小值2；

Z2='的最大值為k08=*

4

-

2:3

13.（6分）已知（1-3?）”的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1024,〃=5,展開(kāi)式

3

中含的項(xiàng)的系數(shù)為-270.

【解答】解：在（1-3?尸展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和等于（1+3?）"的的展開(kāi)式的

各項(xiàng)系數(shù)之和；

在（1+3日嚴(yán)的中，

令x=l,可得（1+3?產(chǎn)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為4"=22"=1024=2?

??〃=5,

故（1-3y尸展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為h=@（-3次）』（-3）?x2,

3

...展開(kāi)式中含顯的項(xiàng)的系數(shù)為：（-3）3.0=-270.

故答案為：5；-270.

14.（6分）如圖，在△4BC中，AC=3,BC=2,ZACB=60°,點(diǎn)。在邊力8上，且CD

l3V3

=2,則18=_夕_,△BCD的面積為—〒

【解答】解：因?yàn)樵凇?BC中，NC=3,BC=2,/ZCB=60°,

所以AB=y/AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB=J32+22-2x3x2x1=V7,

AB2+BC2-AC27+4-9="

可得cosB—

-2AB-BC-2xV7x2-14'

所以在△BCD中，由余弦定理可得。。2=8。2+8。2.2BUBDSB,

又點(diǎn)。在邊上，且8=2,則4=4+8。2-2X2X8OX存，整理可得80=孚,

又sin8=V1—cos2B=拶?

14

第13頁(yè)共22頁(yè)

所以△BCD的面積S=^BD*BC*sinB=iX—X2X2dl=—.

zL/14/

故答案為：>/7,—y-.

15.（4分）某學(xué)校社會(huì)實(shí)踐小組共有7名成員，該小組計(jì)劃前往該地區(qū)的三個(gè)紅色教育基

地進(jìn)行“學(xué)黨史，頒黨恩，跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個(gè)基地，

每個(gè)基地至少有兩名成員前往，且甲、乙、丙三名成員作為負(fù)責(zé)人分別帶隊(duì)前往三個(gè)基

地，則不同的服務(wù)方案共有216種.

【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①將甲、乙、丙分步安排到三個(gè)基地，有加3=6種安排方法，

②將甲、乙、丙之外的4人分為3組，一組2人，其余2組各1人，有。42=6種分組方

法，

③將分好的三組安排到三個(gè)基地，有433=6種安排方法，

則有6X6X6=216種安排方法，

故答案為：216.

x2

16.（4分）如圖，已知M（I,0）,P,0是橢圓§+y2=1上的兩點(diǎn)（點(diǎn)。在第一象限）,

且直線(xiàn)PM,的斜率互為相反數(shù).若=則直線(xiàn)0M的斜率為1.

【解答】解：延長(zhǎng)QM交橢圓于P點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)PM,QM的斜率互為相反數(shù)，|PM=210M，

可得戶(hù)為尸關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以尸M=2|QM，

可得P'M=2而，設(shè)P（xi，刈），Q（X2,”），”>0，設(shè)直線(xiàn)0M的方程為工=啊升1,

聯(lián)立+t；2+_13,整理可得：（3+加2）y2+2my-2—0,

則一端①，小2=品②，

由P'M=2而，可得（1-xi，-yi）=2（X2-1,y2），貝卜?=2,2，即刈=-2”③，

①③聯(lián)立可得”=暮梟’”=-^,代入②中可得：-丹涔^,解得:

加2=[,

第14頁(yè)共22頁(yè)

可得加=±1,由/>0可知，〃?=1,

所以斜率g3=1,

故答案為：1.

17.(4分)已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若a?—4a*e+2e2=0,b2-3b*e+2e2=0,

則茄一+2京的最大值為7.

【解答】解：因?yàn)榕?4a-e+2e2=0,所以(a—2e)2=2,

因?yàn)?—3b-e+2e2=0,(b—e)(b—2e)—0,

作&=2,OB=b,OE='e,OC=2e,則日一2之|=|21|=企，

且“一各(h-2e)=EB-CB=0,所以￡8J_C8,

固定點(diǎn)E,則￡為OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)8在以線(xiàn)段CE為直徑的圓。上，

點(diǎn)力在以點(diǎn)C為圓心，魚(yú)為半徑的圓C上，如圖所示：

a2-2a-b+2b2=|a-6|2+|6|2=\BA^+\OB^<(|BC|+V2)2+\OB\2,

設(shè)N8CE=。，則|品Jucose,

因?yàn)?6bl=2,而2=(CB-CO)2=CB2-2|Ce|?|CO|cos9+CO2=4-3cos20

=-2cos20+2V2cosO+6=-2(cos0-)2+7^7,

當(dāng)cos8=孝時(shí)，等號(hào)成立，即潦一22二+2力2的最大值為7,

故答案為：7.

第15頁(yè)共22頁(yè)

B

0

1j

三、解答題

18.(14分)已知函數(shù)/(x)=6sm2tox+y/3sin2a)x-33>0)的最小正周期為4.

(I)求0)的值及函數(shù)/(冗)的對(duì)稱(chēng)中心；

(II)若/(&)=誓，且xoW(-2,0),求/(&+4).

1coa)

【解答】解：(I)/(%)=6-^\y/^s[n2a)x-3=y[3sin2a)x—3cos2a)x=

2^3sin(2a)x-。)，

27r

由/(x)的最小正周期為4,得丁=4,解得3=[,

故/(%)=2V3sin(^x-y),

,nn2

由；x——=￡〃，kE.Z,得x=q+2/c,fc6Z,

23J

9

故對(duì)稱(chēng)中心為((+2匕0),fcez.

(H)由f(x0)=得2V3sin(Sx0-5)=即sin(5x0-5)=|,

J乙DU乙OJ

『71n47rn

又xoW(-2,0),得5%~~,--)，

結(jié)合5比(梟0T)〉0,可知會(huì)0一黑(一號(hào)，一兀)，

故COS(^%0—$)=—

所以f(Xo+=2V3sin[y(%Q+,7)-=2V3sin[(5%o-v)z]=2V3?

乙乙乙D乙D.；

r.Z7TTT、7T,,7TTT、.7T?,J6

[sin(2-x0—j)-cos-^+cos(2-x0—j)-sm4]=—g-.

19.(15分)如圖，在四棱錐尸-Z8c。中，底面48。。是矩形，PD=CD,PCL4D,

為側(cè)棱PC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).

(I)求證：平面平面PCD；

(II)若4D=1,8=2,ZPCD=30°,是否存在點(diǎn)E使得直線(xiàn)尸8與平面/OE所成

第16頁(yè)共22頁(yè)

角為60°?若存在，求出二的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：(I)?.?四邊形為矩形，

y."：ADVPC,二/O_L平面尸CD,

所以平面平面尸CQ.

(II)解：作尸，_LCD交CD于"，

?.7。1.平面PCD,：.AD1PH,平面/8CO,

建立空間直角坐標(biāo)系，

易得/(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,-1,0),P(0,-1,V3),

.?.誦=(1,3,-V3),

PE-一

記—=A,即PE=aEC,

EC

：.DE-DP=X{DC-DE),

第17頁(yè)共22頁(yè)

T1TT2人一1B

，DE=/(DP+入DC)=(0,

A十JLTiT，

注意到占=（1,0,0）,故可設(shè)平面力DE1的法向量￡=（0,1,%）,

由法品=°'得解+春ynO'可解得"=詈’

1-2人、

/.n=(0/1,-7T")'

若直線(xiàn)PB與平面ADE所成角為60°,則有sin600=\cos<PB,n>\=里?，

\PB\\n\

?6_13-g-2））|

2vnji叫畫(huà)

化簡(jiǎn)得3入2-7入+3=0,解得入=理且，

O

PE7+V137-V13

因此，當(dāng)==一;或時(shí)，直線(xiàn)P8與平面/OE所成角為60。.

EC66

20.（15分）已知公差不為。的等差數(shù)列｛?！ǎ那啊绊?xiàng)和為S”且。5=53=嗎?

（I）求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S,;

（II）在數(shù)列｛%｝中，/=2,且從+歷+…+從=辦+i-2.若對(duì)任意的正整數(shù)小不等式入2.

b-n+1恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

n2<X-（Sn-1）

【解答】解：（I）由。5=$3=說(shuō),得卜*普=產(chǎn)+黑%---------

-----------------------------------------------------------------------------------（2分）

解得｛建?！悖ㄉ幔┗颍↗--------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------（4分）

所以Sn=九Q]+九(31)d=九2.________________________

________________________________(6分)

(II)由加+歷+,,,+bn=bn+l-2,得加+歷+?,,+bn+b/l=bn+2-2,

相減得bn+1=bn+2bn+1,即b〃+2=2b〃+l.

又b\=b2-2,得歷=加+2=2加,

故兒+1=2與對(duì)任意〃EN*成立，-------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------(8分)

結(jié)合6=2,可得0=2%---------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------(9

第18頁(yè)共22頁(yè)

分)

將S”b”代入入2?垢-2"+1W入-(Sn-l),得入2-2"-2"+y兀(n2-1),

即有人2一2《人.與￡1對(duì)任意“6N*恒成立.

(i)當(dāng)人=0時(shí)，-2W0成立，所以入=0符合題意.------------------------------

----------(10分)

入2-2n2-l,A2-2n2-l

(ii)當(dāng)入>0時(shí)，由丁<三一恒成"，得丁<(―)min，

.n2-l,,n2-l,,n2-l

易知當(dāng)〃=i時(shí)，—r=o；當(dāng)時(shí)，-->o,故(%)就”=0.

入2_2

由丁一SO,結(jié)合入>0,可解得0<7lW魚(yú)；------------------------------------

A

(12分)

2

,上J2-2n-lk…,入2_2712T

(iii)當(dāng)入V0時(shí)，由恒成立，得k2(b)ma

ALAL

(n+l)2—ln2-l-n2+2n+2

可知當(dāng)〃=1,211寸,

A2-2

化簡(jiǎn)21得入2-人-2W0,解得-1W入W2,結(jié)合入＜0,

入

可解得-iw入＜0，---------------------------------------------------------------------------------------------

________________________________(14分)

綜上，一1WaW魚(yú).----------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------(15

21.(15分)如圖，已知點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)C：f=4x上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)/(-2,0),

點(diǎn)A/,N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M位于x軸上方)，滿(mǎn)足AMLAN,線(xiàn)段

PN分別交x軸正半軸、拋物線(xiàn)。于點(diǎn)。，Q,射線(xiàn)M尸交x軸正半軸于點(diǎn)￡

(1)若四邊形/NPM為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(II)記△OOP,△Of。的面積分別為S1，&,求S1?S2的最大值.

第19頁(yè)共22頁(yè)

【解答】解：（I）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，/尸的中點(diǎn)在y軸上,

所以xp=-xx=2,--------------（2分）

故P（2,2V2）------------------------------------------------------（4分）

（II）設(shè)點(diǎn)。（m,0）,直線(xiàn)產(chǎn)。方程：x-m=ty,

顯然有機(jī)>0，/W0

聯(lián)立直線(xiàn)PQ與拋物線(xiàn)C,得｛j二;"，

消去x得/-40-4〃?=0,所以”>?yQ=-Am------

-------------（6分）

由N〃_LZN,得|OM?|。2=|。4『=4

又由PMLPN,可得△MOES/^DON,所以有蹙'=盥

|OD||ON|

從而|0￡>|=QM，QN|=4,即XE，m=4---------------

--------------------------（8分）

44

所以&=而，進(jìn)而有|DE|=41一和=而一?n,結(jié)合|。。=加，yp-y