專題9.6直線與圓錐曲線（知識點講解）

【知識框架】

橢園的

一（解詠曲哪值嫁

直線與圓錐曲線?？碱}型一、直淺與拋物淺的位置關(guān)系

I弦長問題和中點弦問題

\'、、\直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)問題L3.w.

、、X---------------------------I核心素養(yǎng)】

通過考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【知識點展示】

（-）直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線/的方程Av+2），+C=0（4,8不同時為0）代入圓錐曲

線C的方程F（x,y）=0,消去M也可以消去x）得到一個關(guān)于變量x（或變量y）的一元方程.

[Ar+8y+C=0,

即消去y,得af+bx+c=0.

〔F（x,y）=0,

（1）當(dāng)<z#0時，設(shè)一元二次方程af+bx+c=0的判別式為/,則/>0臺直線與圓錐曲線C相交；

/=00直線與圓錐曲線C相切；

/<0㈡直線與圓錐曲線C相離.

（2）當(dāng)“=0,%去0時，即得到一個一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為

雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置

關(guān)系是平行或重合.

（二）“弦”的問題

1.弦長公式

設(shè)斜率為“（2。0）的直線/與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A（x，y）,B（X2,必），則

\AB\=yj\+k2IX1一工2I=Jl+F-J|（耳+工2）2-你々=

J+JIy-%I=J+i-J（y+y2）2-4x%■

2.處理中點弦問題常用的求解方法

（1）點差法:

即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有小+熱,必+了2,痣三個未知量,

這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.（2）根與系數(shù)的關(guān)系:

即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

注意：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線

的斜率問題：點差法在確定范圍方面略顯不足.

【?？碱}型剖析】

題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系

例1.(2022?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)高三期末(文))設(shè)橢圓的方程為￡+手=1,斜率為k的直線不經(jīng)過原

點O,而且與橢圓相交于A,B兩點,M為線段A8的中點，下列結(jié)論正確的是()

A.直線4B與OM垂直；

B.若直線方程為y=2x+2,則=

C.若直線方程為y=x+1,則點"坐標(biāo)為'q)

D.若點M坐標(biāo)為(1,1),則直線方程為2x+y-3=0；

22

例2.(2022?天津?高考真題)橢圓「+與=1(“>6>0)的右焦點為尸、右頂點為A,上頂點為B,且滿足

\BF

\AB~^T

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點與y軸相交于N(N異于M).記。為坐標(biāo)原點，若10Ml=|ON|,且

的面積為百，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

例3.(2019?江蘇高考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，橢圓，:=+4=1(4>/;>0)的焦點為

a~b~

A(-1、0),月(1,0).過月作X軸的垂線1,在X軸的上方，/與圓&(x—l)2+y2=4/交于點力,與

橢圓C交于點〃連結(jié)";并延長交圓￡于點6,連結(jié)仍交橢圓C于點色連結(jié)多.已知〃￡=

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點夕的坐標(biāo).

fy2上頂點為B,離心率為苧，且

例4.(2021.天津高考真題)已知橢圓=l(a＞匕＞0)的右焦點為尸

7+鏟

忸耳=石.

(1)求楠圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點M,與y軸的正半軸交于點N,過N與垂直的直線交X軸于點

P.若MPUBF,求直線/的方程.

【總結(jié)提升】

1.涉及直線與橢圓的基本題型有：

(1)位置關(guān)系的判斷

(2)弦長、弦中點問題

(3)軌跡問題

(4)定值、最值及參數(shù)范圍問題

(5)存在性問題

2.常用思想方法和技巧有：

(1)設(shè)而不求(2)坐標(biāo)法(3)根與系數(shù)關(guān)系

3.解決橢圓中點弦問題的三種方法

(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐

標(biāo)和斜率的關(guān)系.

(3)共線法：利用中點坐標(biāo)公式，如果弦的中點為

傳+￡=1,

P(.x(),yo),設(shè)其一交點為4(x，y)＞則另一交點為8(2必一x,2yo-y),則《。2c2

2xo—,2yo-/

［一?-+b1=上

兩式作差即得所求直線方程.4.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢

圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.

5.提醒：(1)設(shè)直線方程時，應(yīng)注意討論斜率不存在的情況.

(2)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.

題型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系

例5.（2022?山西?太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）已知雙曲線C:1-1=l（a＞（U＞0）與斜率為1的直線交

a-b-

于A,B兩點,若線段AB的中點為（4,1）,則C的離心率0=（）

A.y/2B.亞C.&D.73

32

例6.（2021.全國高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點耳（-J萬,0）、心（炳,0）,也用一眼用=2,

點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點T在直線x上，過T的兩條直線分別交C于A、8兩點和P,Q兩點，S.\T^-\TB\=\TP\-[TQ\,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

例7.（2022?全國?高考真題）已知雙曲線的右焦點為尸（2,0）,漸近線方程為y=±瓜.

（1）求C的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點，點網(wǎng)不乂）,。色,%）在C上，且占＞々＞0,必＞0.過

P且斜率為-6的直線與過Q且斜率為6的直線交于點機(jī)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一

個成立：

①”在A3上；@PQ//AB.?\MA\=\MB\.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【規(guī)律方法】

1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：

（1）方程思想的應(yīng)用

判斷已知直線與雙曲線的位置關(guān)系，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）.則二次項系數(shù)為0時，直線

與雙曲線的漸近線平行（或重合），直線與雙曲線只有一個公共點（或無公共點）；二次項系數(shù)不等于0時，

若A〉0則直線與雙曲線有兩個公共點，△=（）有一個公共點，ACO無公共點.

（2）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點時，根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)

系確定其位置關(guān)系.

②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.

2.求直線與雙曲線相交弦長，一般將兩方程聯(lián)立，消元化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.

3.直線與雙曲線位置關(guān)系的解題策略

（1）研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次

方程.當(dāng)二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項

系數(shù)不等于0時，用判別式/來判定.

(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關(guān)系問題，但需要檢驗.

(3)弦長公式：設(shè)直線與雙曲線交于小為，弘)，庾劉㈤兩點，直線的斜率為〃，貝

題型三：直線與拋物線的位置關(guān)系

例8.【多選題】(2022?全國?高考真題)已知。為坐標(biāo)原點，點A(l,l)在拋物線C：/=2p)，(p>0)上,過點

B(0,-l)的直線交C于P,Q兩點，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.|0件|0。|>|。聞2D.\BP\\BQ|>|BA|2

例9.【多選題】(2022?福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測)過拋物線C：V=4x的焦點下的直線/與C交于A,

B兩點,設(shè)A(小乂)、5(%,%),已知M(3,—2),N(-點),則()

A.若直線/垂直于x軸，則|AB|=4B.

C.若P為C上的動點，則1PMi+|尸石的最小值為5D.若點N在以AB為直徑的圓上，則直線/的斜率

為2

例10.(2017?全國?高考真題(文))設(shè)A,8為曲線C：y=江上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

4

(1)求直線4B的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMJLBM,求直線AB的方程.

【規(guī)律總結(jié)】

解決直線與拋物線的位置關(guān)系問題的常用方法

(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.

(2)有關(guān)直線與拋物線相交的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用

公式|羽=|如+|焉+p或=|%|+|%|+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.

(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時?，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”

等解法.

提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.拋物線弦的中點坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系

是解決中點弦問題的關(guān)鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思?想.

題型四弦長問題和中點弦問題

例11.(2023?全國?高三專題練習(xí))過橢圓C:^+《=1的左焦點F作傾斜角為60。的直線/與橢圓C交于4

43

11

B兩點,則由+西=()

例12.（2020?天津高考真題）已知橢圓二+斗=1（。>人〉0）的一個頂點為A（O,-3）,右焦點為尸，且

ab

\OA\=\OF\,其中。為原點.

（I）求橢圓的方程；

（II）已知點。滿足3詼=赤，點B在橢圓上（3異于橢圓的頂點），直線AB與以。為圓心的圓相切

于點尸，且尸為線段A3的中點.求直線的方程.

3

例13.（2019?全國?高考真題（理））已知拋物線C：y2=3x的焦點為凡斜率為萬的直線/與C的交點為A,

B,與x軸的交點為P.

（I）若|A/q+i叫=4,求/的方程；

（2）若而=3而，求|AB|.

【總結(jié)提升】

1.處理中點弦問題常用的求解方法

（1）點差法：

即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有汨+初匚^三個未知量，

Xl-X2

這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.

（2）根與系數(shù)的關(guān)系：

即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

注意：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線

的斜率問題：點差法在確定范圍方面略顯不足.

2.中點坐標(biāo)公式一個作用是可以利用“設(shè)而不求”技巧解題，其二是可以將未知點坐標(biāo)和已知點坐標(biāo)聯(lián)系

起來；涉及求范圍問題，注意方程不等式思想的運用.3.涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.拋

物線弦的中點坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關(guān)鍵，方程的思想也是解析幾何的核

心思?想.

題型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)問題

例14.（2022?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測（理））若雙曲線Y—E=i上存在兩個點關(guān)于直線/：y="+4（k>0）對稱，

3

則實數(shù)火的取值范圍為.

例15.（2018?全國?高考真題（理））已知點用（-1，1）和拋物線C：V=4x,過C的焦點且斜率為&的直線與C

交于A,B兩點.若N4MB=90。，則攵=.

Y2y2

例16.（2018?天津高考真題（文））設(shè)橢圓七+==1（?！怠?gt;0）的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓

b

的離心率為好

,|AB|=V13.

3

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線/：丁="伏<°）與桶圓交于P,。兩點，/與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若

△BP用的面積是V8PQ面積的2倍，求攵的值.

專題9.6直線與圓錐曲線（知識點講解）

【知識框架】

橢圓的

/JI曲韓

!r\r

直線與圓錐曲線X?？碱}組一、直線與拋物袋的位置關(guān)系;

I'/JI

\、、、、I弦長問題和中點弦問題

、、、、\直線與國桂曲線的位置關(guān)系求參數(shù)問題L3.、-乂.

、、v---------------------------------1核心素養(yǎng)】

通過考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【知識點展示】

（-）直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線/的方程Av+2），+C=0（4,8不同時為0）代入圓錐曲

線C的方程F（x,y）=0,消去M也可以消去x）得到一個關(guān)于變量x（或變量y）的一元方程.

[Ar+8y+C=0,

即消去y,得af+bx+c=0.

〔F（x,y）=0,

（1）當(dāng)a70時，設(shè)一元二次方程以2+bx+c=0的判別式為/,則/>0臺直線與圓錐曲線C相交；

/=00直線與圓錐曲線C相切；

/<0㈡直線與圓錐曲線C相離.

（2）當(dāng)“=0,%去0時，即得到一個一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為

雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置

關(guān)系是平行或重合.

（二）“弦”的問題

1.弦長公式

設(shè)斜率為“（2。0）的直線/與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A（x，y）,B（X2,必），則

\AB\=yj\+k2IX1一工2I=Jl+F-J|（耳+工2）2-你々=

J+JIy-%I=J+i-J（y+y2）2-4x%■

2.處理中點弦問題常用的求解方法

（1）點差法：

即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有小+熱,必+了2,痣三個未知量,

這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.（2）根與系數(shù)的關(guān)系:

即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

注意：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線

的斜率問題：點差法在確定范圍方面略顯不足.

【?？碱}型剖析】

題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系

例1.（2022?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)高三期末（文））設(shè)橢圓的方程為￡+手=1,斜率為k的直線不經(jīng)過原

點O,而且與橢圓相交于A,B兩點,M為線段A8的中點，下列結(jié)論正確的是（）

A.直線4B與OM垂直；

B.若直線方程為y=2x+2,則=

C.若直線方程為y=x+1,則點"坐標(biāo)為'q）

D.若點M坐標(biāo)為（1,1）,則直線方程為2x+y-3=0；

【答案】D

【分析】利用橢圓中中點弦問題的處理方法，結(jié)合弦長的求解方法，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷

和選擇.

2222

【詳解】不妨設(shè)AB坐標(biāo)為（不））優(yōu),為），則立+總=1,至+互=，兩式作差可得:

有1,《7,設(shè)“伍,%），則資公2

對A：kABxk0M=kx^=-2,故直線A3,OM不垂直，則A錯誤；

%

對B：若直線方程為y=2x+2,聯(lián)立橢圓方程2/+產(chǎn)=4,

42

可得：6X2+8X=0，解得玉=0,犬2=-1，故＞1=2,%=-］，

則|4網(wǎng)=聘+?=竽，故B錯誤；

對C：若直線方程為1+1,故可得為xl=-2,即%=-2%,乂%=x0+l,

解得%=-；,%=■!，即川一甘），故c錯誤；

對D：若點歷坐標(biāo)為（1,1）,則;xk=-2,則％=—2,

又A8過點（L1）,則直線AB的方程為尸1=一2（》-1）,即2x+y-3=0,故D正確.故選：D.

22

xy

例2.（2022.天津.高考真題）橢圓/+源=1（〃＞匕＞0）的右焦點為尸、右頂點為A,上頂點為B,且滿足

幽=必

AB|~~2~

⑴求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點與y軸相交于N（N異于M）.記0為坐標(biāo)原點，若10Ml=且AQWN

的面積為G，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（l）e=4

92

⑵土+匕=1

62

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于〃、6的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值;

（2）由（1）可知橢圓的方程為丁+3丁=",設(shè)直線/的方程為丫=履+，〃，將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立,

由△=（）可得出3〃=。20+3/），求出點M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得/的值,

即可得出橢圓的方程.

（1）

im忸日\lh2+C1a>/32“入22\2"2

解：\—r=1—=I==—n4。（I=>

IM歷/必方2=3'b+ci>a=3b,

離心率為e

一3

解：由（1）可知橢圓的方程為Y+3y2=/

易知直線I的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=kx+m,

y=kx+m

聯(lián)立得（1+3Z?）x?+6kmx+（3/-〃）=0,

x2+3y2=a2

由A=36/〃P-40+3公）（3機(jī)2-/）=003m2=/（I+3公），①

3km,m

KT%=%+*許,

_/n2（%2+l）1

由|叫=|0叫可得"=晟『，②由$心=百可得3同.5翳=6'③

1，2

聯(lián)立①②③可得八鏟34,八6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

例3.（2019?江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：f+2T=1（">人〉0）的焦點為

￡（-1、0）,￡（1,0）.過K作x軸的垂線/,在x軸的上方，/與圓E：（x-iy+V=4"交于點兒與

橢圓C交于點〃連結(jié)4月并延長交圓用于點8連結(jié)砒交橢圓C于點色連結(jié)班.已知歷=』.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求點《的坐標(biāo).

X2丫23

【答案】（1）—+^-=1：（2）

432

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.

因為￡（一1,0）,4（1,0）,所以￡￡=2,c=l.

又因為例="|,軸，所以DFFqDF-RF；=J（|>—22=',

因此2天〃+上=4,從而a=2.

由五--邕得爐=3.

22

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+21=1.

43

（2）解法一：

22

由（1）知，橢圓C：三+匕=1,左2,因為｛月_Lx軸，所以點｛的橫坐標(biāo)為1.

43

將尸1代入圓K的方程（尸D"”=16,解得片±4.

因為點4在x軸上方，所以4（1,4）.

又￡（T,0）,所以直線1百：尸2a2.

y=2x+2

由，1-22.J"5x?+6x—11=0>

(x-1)+y=16

解得x=l或x=.

5

1112

將x=—■—代入y=2x+2,得y=----,

11123

因此B(一一,一一).又月(1,0),所以宜線?。簓=-(x-l).

554

y=—(x-1)

-413

由，2,，得7f一6x—13=O，解得工=-1或》=一.

x+y-17

[43

乂因為￡是線段跋與橢圓的交點，所以x=—l.

333

將戶一1代入y=Z（x-D‘得廣一5.因此玖-I,一”

解法二:

X2V2

由（1）知，橢圓a——+2=1.如圖，連結(jié)“;.

43

因為能=2a,EF\+EFF2a,所以班=旗,

從而/例尺N8

因為月所以//=N6,

所以N/NBRE,從而ER//F4

因為力彳軸，所以￡石，）軸.

x=-1

3

因為外（一1,0）,由〈爐/,得y=±不.

---1---=12

43

3

又因為總是線段火與橢圓的交點，所以丁=一耳.

因此E（—1,—』）.

2

例4.（2021?天津高考真題）已知橢圓J+《=l（4＞人＞0）的右焦點為F,上頂點為8,離心率為半，且

\BF\=s/5.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線/與橢圓有唯一的公共點M,與）’軸的正半軸交于點N,過N與BF垂直的直線交x軸于點

P.若MPHBF,求直線/的方程.

【答案】（1）—+/=1；（2）x-y+x/6-O.

【分析】

（1）求出。的值，結(jié)合。的值可得出匕的值，進(jìn)而可得出牌圓的方程；

（2）設(shè)點分析出直線/的方程為管+為y=l,求出點尸的坐標(biāo)，根據(jù)MP//B尸可得出=

求出毛、%的值，即可得出直線/的方程.

【詳解】

（1）易知點尸（。,0）、3（0,。），故怛同=42+從=〃=川,

因為橢圓的離心率為e=￡=述，故c=2,b=＞la2-c2=1-

a5

因此，橢圓的方程為t+/=1;

5

（2）設(shè)點M伉,％）為橢圓日+/=i上一點，

華+%y=i

先證明宜線MN的方程為挈+%y=l,聯(lián)立,,消去N并整理得f-2/*+片=0,

5x21

——+V=1

5

A=4XQ-4XQ=0,

因此，橢圓目+丁=1在點M（%,%）處的切線方程為誓+為y=1.

5,

由題意可知方＞。，即

h11

宜線3F的斜率為臉='=-/所以，宜線PN的方程為＞=2x+—,

c2%

1(1

在直線PN的方程中，令y=0,可得x=-丁，即點P--,0,

2%I2%]

%2.=1

因為“P//8F,則=即丫上_L2%%+12,整理可得(x0+5%y=0,

X。十C

2%

2

所■

以E

2-y；=6y：=l，，%＞0，故%="，％=-￥■，

5OO

二

所以

呈V6X+y=1,即x-y+#=0.

6

【總結(jié)提升】

1.涉及直線與橢圓的基本題型有：

(1)位置關(guān)系的判斷

(2)弦長、弦中點問題

(3)軌跡問題

(4)定值、最值及參數(shù)范圍問題

(5)存在性問題

2.常用思想方法和技巧有：

(1)設(shè)而不求(2)坐標(biāo)法(3)根與系數(shù)關(guān)系

3.解決橢圓中點弦問題的三種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個

未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐

標(biāo)和斜率的關(guān)系.

(3)共線法：利用中點坐標(biāo)公式，如果弦的中點為

rx2v2

—a+7b-2=1,

P（xo,yo），設(shè)其一交點為A（X，y），則另一交點為3（2xo-x,2yo—y）,貝”個、n2

2xo—x-2y0-y

兩式作差即得所求直線方程.

4.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然

后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.

5.提醒：（1）設(shè)直線方程時，應(yīng)注意討論斜率不存在的情況.

（2）利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.

題型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系

例5.（2022?山西?太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：E-1=1（“>08>0）與斜率為l的直線交

ab~

于A,8兩點，若線段AB的中點為（4,1）,則C的離心率6=（）

A.夜B.典C.在D.G

32

【答案】C

【分析】中點弦問題利用點差法處理.

【詳解】法一：設(shè)4（百萬）,3（々,%）,則與—4=1,與一A=1,

a"bab"

所以伉+”/一4）一3-，仆-，）=0,又48的中點為（4』），

arb~

..2

所以%+%=8,兄+%=2,所以上由題意知匹二&=I,

x

x2-x]a/-\

所以"■=1，即4=L，則C的離心率6=、[5=正.故A,B,D錯誤.

a2a24Na2

故選：C.

法二：直線A8過點（4,1）,斜率為1,所以其方程為Al=x-4,即y=x-3,

代入￡-加并整理得（6-a，）/+6a2x-9a2-a2b2=0,

因為（4,1）為線段A8的中點，所以-孚二■=2x4,整理得/=4〃,

b"-a

所以C的離心率e=、兀耳=好.故A,B,D錯誤.故選：C.

\a22

例6.（2021.全國高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點川々萬,0）、乙（如,03嗎|-|g|=2,

點"的軌跡為c.

（1）求c的方程；

（2）設(shè)點7在直線x=g上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和尸，。兩點，且|刀小|用=|m-|73,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

【答案】（1）x2-^-=l（x＞l）；（2）0.

16'7

【分析】

（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點片、尸2為左、右焦點雙曲線的右支，求出。、匕的值，即可得出

軌跡C的方程；

（2）設(shè)點設(shè)直線的方程為卜-=匕｛-￡）,設(shè)點A（X"J、8（孫必），聯(lián)立直線與曲線C

的方程，列出韋達(dá)定理，求出|酬?1用的表達(dá)式，設(shè)直線尸。的斜率為后，同理可得出17pH圈的表達(dá)式，

由明.|叫=|7P|.|T.化簡可得k,+k2的值.

【詳解】

因為|岬|-|峭|=2＜忸劇=2后,

所以，軌跡C是以點耳、鳥為左、右焦點的雙曲線的右支，

22

設(shè)軌跡C的方程為=1（〃＞。力＞。），則勿=2,可得a=l,〃=J17-6=4,

所以，軌跡C的方程為V-21=1（x21）；

161）

（2）設(shè)點若過點7的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，

不妨直線AB的方程為y—=BPy=V+r-^l,

12

聯(lián)立+，消去y并整理可得傳—16尸+匕⑵一幻X+L—L1+16=0,

16x2-y2=16I2J

設(shè)點A（X1,yJ、B（X2,丫2）,則X|＞g且

由韋達(dá)定理可得占+々=坐,一『一］"'）+16,所以，

KF—=k\i6

啊回=（i+"）.卜—撲斗（i+0"「詈

設(shè)直線PQ的斜率為心,同理可得|7外|7。|=（'+；）（1+用）

2

因為|74|7B|=|7P|.|T0,即g+：："；”）=）+:"：:）,整理可得后=記，

即（勺一修）倡+&）=0,顯然匕一�,故勺+&=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

例7.（2022.全國.高考真題）已知雙曲線C:J-，=l（a＞0,b＞0）的右焦點為F（2,0）,漸近線方程為y=±百x.

⑴求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點，點尸（不方）,。仇,必）在C上，且%＞々＞0,必＞0.過

P且斜率為-6的直線與過。且斜率為G的直線交于點〃.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一

個成立：

①M在A3上；?PQ//AB.③|M4|=|M例.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

2

【答案】（1）*2-21=1

3

（2）見解析

【分析】（1）利用焦點坐標(biāo)求得c的值，利用漸近線方程求得“加的關(guān)系，進(jìn)而利用44c的平方關(guān)系求得“力

的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為河（孫丹）,由③|AM=|8M等價分析得到

822

x0+ky0=-^-.由直線PM和刎的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線

二-3

P。的斜率加=也，由②尸。/MB等價轉(zhuǎn)化為機(jī)）=3%,由①M在直線AB上等價于機(jī)=二（』-2）,然后

%

選擇兩個作為已知條件一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

（1）

右焦點為尸（2,0）,c=2,；漸近線方程為y=±Jir,=島，。2="+62=4/=4,，。=1,

a

b=、/5.

??.C的方程為：x2-^=l；

3

(2)

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在口不為零；

若選①③推②，則M為線段的中點，假若直線A3的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知M在x軸上,

即為焦點F,此時由對稱性可知尸、。關(guān)于刀軸對稱，與從而內(nèi)=々，已知不符；

總之，直線A8的斜率存在且不為零.

設(shè)直線A8的斜率為上直線A3方程為y=Z(x—2),

則條件①M在A3上，等價于%=%小-2)=機(jī)=公(%—2):

兩漸近線的方程合并為3x2-/=0,

聯(lián)立消去y并化簡整理得：,2-3)x2-4k2x+4k2=0

設(shè)4(%見)，磯&，乂),線段中點為則/=字=先,%=Q廣2)=告，

乙K—3K—3

設(shè)”(人,％),

則條件③|期|=|啊|等價于(%—&)+(%—%)2=(義一%)2+(%-%)2,

移項并利用平方差公式整理得：

(W-缶+看)]+(為-％)[2%-(%+%)]=0，

2x

[0-(*3+4)]+?_:[2%一(%+y4)]=0，即%-xN+%(%-%)=0,

入334

即飛+機(jī)=熱8k2；

由題意知直線PM的斜率為-6.直線QM的斜率為6,

二由%一%=-^(與一%),%一為=6(々一%)，

y=一百(%+々-a%),

所以直線PQ的斜率加=必二五=-?L±忙匈，直線PM.y=一G(x_x0)+%,即y=y0+&_6,

X)-X2Xj-x2

代入雙曲線的方程3/_y2_3=o,即(百x+y)(百x_y)=3中，

得：(為+30)12后》-(%+g％)]=3,

，條件②PQ//AB等價于機(jī)=k=3%,

綜上所述：

條件①M在A3上，等價于由0=%2（七一2）：

條件②PQ//AB等價于ky0=3%；

條件③卜忸等價于x0+ky0=毋二；

選①②推③：

2"2區(qū)/

由①②解得：x=-...x4-ky=4x=-..??③成立;

QK—30Q0K—J

選①③推②：

__2k26k2

由①③解得：工0二—二---，/cy=-....，

k2-30二一3

,g=3X(),.?.②成立；

選②③推①：

6k26

由②③解得：Xo=~j~2—0,由。=0―O,''。―2=『'

K—3K—JK—J

2

：.ky°=k(x0-2)，，①成立.

【規(guī)律方法】

1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：

（1）方程思想的應(yīng)用判斷已知直線與雙曲線的位置關(guān)系，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）.則二次

項系數(shù)為0時，直線與雙曲線的漸近線平行（或重合），直線與雙曲線只有一個公共點（或無公共點）；二次

項系數(shù)不等于0時，若A>0則直線與雙曲線有兩個公共點，A=0有一個公共點，△<（）無公共點.

（2）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

①直線過定點時，根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.

②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.

2.求直線與雙曲線相交弦長，一般將兩方程聯(lián)立，消元化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.

3.直線與雙曲線位置關(guān)系的解題策略

(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次

方程.當(dāng)二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項

系數(shù)不等于。時，用判別式4來判定.

(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關(guān)系問題，但需要檢驗.

(3)弦長公式：設(shè)直線與雙曲線交于/(荀，防)，B5,㈤兩點，直線的斜率為上則|力8|=尸下|小一及|.

題型三：直線與拋物線的位置關(guān)系

例8.【多選題】(2022?全國?高考真題)已知O為坐標(biāo)原點，點A(l,l)在拋物線C:f=20，">0)上，過點

8(0,7)的直線交C于P,。兩點，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.|OP||O2|>|OA『D.\BP\\BQ|>|BA|2

【答案】BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式及弦長公式可

判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得l=2p,所以拋物線方程為Y=y,故準(zhǔn)線方程為了=-!，A錯誤；

4

心8=生2=2,所以直線A8的方程為y=2x-l,

聯(lián)立｛；2言一1，可得X2-2X+1=0,解得X=1，故B正確；

設(shè)過8的直線為/,若直線/與〉軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在,設(shè)其方程為y=P(XQ)，Q(X2，%)，

△=&2一4>0

聯(lián)立匕="7,

得三-丘+1=0，所以，x+x=k,所以%>2或&〈一2,M%=(X|W)2=1,

匕=yt2

西元2=1

所以IOP|?IOQ|=5%(1+%)(1