6.2.3

組合6.2.4

組合數(shù)

探究!從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),有多少種不同的選法?這一問題與6.2.1節(jié)問題1有什么聯(lián)系與區(qū)別?

分析：在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“乙上午，甲下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣,先選出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也各有2種方法.

而從甲、乙、丙3名同選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序.于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組，一共有多少個(gè)不同的組？將具體背景舍去，問題1可以概括為：這就是我們要研究的問題.

一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.思考?你能說一說排列與組合之間的區(qū)別與聯(lián)系嗎?從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，這是它們的共同點(diǎn).但排列與元素的順序有關(guān),而組合與元素順序無關(guān).只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的；而兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的.例如，在上述探究問題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，不同的排列.由此，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，就可以建立起排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖所示.由此，上面的6個(gè)排列可以分成每組有2個(gè)不同排列的3個(gè)組，也就是上面探究問題的3個(gè)組合.思考?校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題?(1)從中選3輛，有多少種不同的方法？(2)從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法？在(2)中，不僅要選出3輛車，還要分配給3位同學(xué)，有順序，是一個(gè)排列問題.在(1)中，選出3輛車即可，沒有順序，是一個(gè)組合問題；例5平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).

(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

分析:

(1)確定一條有向線段,不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn),還要考慮他們的順序,是排列問題；

解：(1)一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)，要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為

這12條有向線段分別為

例5平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).

(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

分析:

(2)確定一條線段,只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需要考慮它們的順序,是組合問題.解:(2)由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將(1)中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段,就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB,AC,AD,BC,BD,CD.

思考?利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)？例5平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).

(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

類比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念:

前面，我們利用“元素相同、順序不同的兩個(gè)組合相同”“元素相同、順序不同的兩個(gè)排列不同”，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，建立了排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb

于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有

于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有所以，上面的組合公式還可以寫成這里n，m∈N*，并且m≤n.這個(gè)公式叫組合數(shù)公式.

思考?觀察例6的(1)與(2)，(3)與(4)的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？(1)與(2)分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對(duì)公式的選擇有什么想法？解:根據(jù)組合數(shù)公式，可得

例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

分析:(1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)；(2)可以先從2件次品中抽出1件，再從98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個(gè)分步完成的組合問題；

(3)從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個(gè)分類完成的組合問題．例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？解:(1)所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為

例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

方法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即

(3)方法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品的情況,因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)為課堂小結(jié)(2)如何判斷計(jì)數(shù)問題是排列問題還是組合問題？排列問題組合問題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問題，即