錐曲線的第三定義及運(yùn)用橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓x2x2y2在橢圓C：Jb2二1(〃b0)中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若k、若k、k存在，PAPB則有：b2b2a2證明：構(gòu)造4PAB的PA邊所對(duì)的中位線MO,k=k，由點(diǎn)差法結(jié)論：k?k=e2-1=一PAMOMOPB知此結(jié)論成立。2.雙曲線xx2在雙曲線C：a2y2b2二1中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若kpAkpB存在，則有：k?k=e2-1=PAPBb2a2證明：只需將橢圓中的b2全部換成-b2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論。與角度有關(guān)的問(wèn)題，A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓與雙曲例題一：已知橢圓C：'+y=1(ab0)的離心率e，A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓與雙曲a2b2x2y2線7—；=1的一個(gè)交點(diǎn)，令ZPAB=^>ZAPB=P，則解答:令/PBx=Y，由橢圓第三定義可知：tana?tany=e2-1=-14-a-a)+a)1+tana?tany_31-tana?tany5cosP_cos(ycos(2a+P)cos(ycosycosa+sinysinacosycosa+sinysina點(diǎn)評(píng):其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見(jiàn)考點(diǎn)☆.變式1-1：（石室中學(xué)2015級(jí)高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線C：x2—#=2015的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P為雙曲線右支一點(diǎn)，且/PAB=4/APB，求/PAB=./PAB=.解答：令/PAB=ae0,tana?tan0=tana……1貝則tana=tan5a兀.一八一兀八一，/PBA=Pe0，，則P=5a，由雙曲線的第三定義知:乙2?tan5a=e2—1=1（兀~、兀~兀=tan-5ana=-5ana=12）212點(diǎn)評(píng)：與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對(duì)于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sina=cosB,cosa二sinBn兩角互余☆，則可解出a的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、與均值定理有關(guān)的問(wèn)題例題2：x2y2三、與均值定理有關(guān)的問(wèn)題例題2：x2y2已知A、B是橢圓+[〃2b2二1（〃b0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為勺、勺，且kik2k「k2的》為1，則橢圓的離心率為解答一（第三定義+均值）：由題意可作圖如下：b2連接MB,由橢圓的第三定乂可知：k?k=e2-b2連接MB,由橢圓的第三定乂可知：k?k=e2-1=—，而k=-kAMBM〃2BMBNb2n/.kk=12〃2121213

ne=22解答二（特殊值法）：這道題由于表達(dá)式（k+k）=1非常對(duì)稱(chēng)，則可直接猜特殊點(diǎn)求解。k=k12min121時(shí)可取最值，b1v3則M、N分別為短軸的兩端點(diǎn)。此時(shí)：k=k=—=-―e=-—12a22點(diǎn)評(píng)：對(duì)于常規(guī)解法，合理利用M、N的對(duì)稱(chēng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，既構(gòu)造了“一正”，又構(gòu)造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。當(dāng)然將|kj、|k2|前的系數(shù)改為不相等的兩個(gè)數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同,即變式2-1。x2y2變式2-1：已知人、8是橢圓一十Ja2b2點(diǎn)，直線x2y2變式2-1：已知人、8是橢圓一十Ja2b2點(diǎn)，直線MBN的斜率分別為外勺且勺,0。若2k匕什2'2|的最小值為1,則橢圓的離心率解答：連接MB，由橢圓的第三定義可知：kAM連接MB，由橢圓的第三定義可知：kAMb2?k=e2—1=一一，而kBMa2b2——k—n..kkBMBN12a2a4變式2-2：已知A、B是橢圓—+=1(變式2-2：已知A、B是橢圓—+=1(aa2b2則橢圓的離心率的取值范圍為

解答一（正切+均值）:令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為ae0,J，直線QB的傾斜角為PgJ,兀/AQBgtanP-/AQBg，tan/AQB=tanVP-a)=1+tanPtanab2貝b2貝°tanP=a2tana由橢圓的第三定義：tanatanp=-一a2,,,,tanP-tana帶入可得：tanaa2tanab,,,,tanP-tana帶入可得：tanaa2tanab21-a2/b2、+tanaIa2tanab21-a2c:b2-2,?tana\a2tanab21——a2-2b-2abb2a2-b21-a2（取等條件:btana=—，即Q為上頂點(diǎn)）a而tanx在兀單增，則Q為上頂點(diǎn)時(shí)（^AQB],所以此時(shí)/AQB>3兀，故eg解答二（極限法）:兀當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，/AQB^-（此時(shí)Q點(diǎn)所在的橢圓弧趨近于以AB為直徑的圓的圓弧，兀/AQB相當(dāng)于直徑所對(duì)的圓周角）；當(dāng)Q在A、B間運(yùn)動(dòng)時(shí)/AQB（Q在以AB為直徑的圓內(nèi)部，/AQB直徑所對(duì)的圓周角=90°）,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可猜測(cè)當(dāng)事為短軸端點(diǎn)時(shí)（ZAQB）。maxTOC\o"1-5"\h\z2兀2兀由于：橢圓上存在Q,使/AQB=—，那么Q為短軸端點(diǎn)時(shí)（/AQB）>—。3max32兀a=J6八取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)/AQB=—，此時(shí)了=<3ne=一；當(dāng)橢圓趨于飽滿(mǎn)（ef0）3b3時(shí)，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)為90°,不滿(mǎn)足；當(dāng)橢圓趨于線段（e—1）時(shí)，（^AQB）一兀，滿(mǎn)足。故eg坐，1。max3,當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過(guò),簡(jiǎn)潔而有邏輯。點(diǎn)評(píng)：兀這道題可以增加對(duì)于圓周角的理解，在用極限法討論：“當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，/AQB―-"時(shí)能會(huì)顛覆“/AQB-?！钡恼J(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯(cuò)的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況，而不是角最大的情況。要搞清楚,不然會(huì)被弄暈的。對(duì)于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：?一，兀一一―一，，，①與第三定義發(fā)生聯(lián)系②tanx在-，兀單增便于利用tanx的大小比較角度的大小。四、總結(jié)歸納上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜,但做題時(shí)一定要能猜答案,而且要猜得有理由。對(duì)于均值不等式,注意取等條件是“三相等”,即相等時(shí)取最值。這可以幫助猜測(cè)表達(dá)形式是高度對(duì)稱(chēng)的式子的最值,如：例題2極限法可以刻畫(huà)出單調(diào)變化的某一變量的端點(diǎn)值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動(dòng)，角度的變化一定是光滑的（無(wú)突變,連續(xù)）,所以只需考慮邊界值。做幾何的選填題時(shí),有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角,注意學(xué)會(huì)恰當(dāng)運(yùn)用,如：變式2-2。常以正切值刻畫(huà)角度大小。在做綜合性較大的題目時(shí)要聯(lián)系各種知識(shí)，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。7.8.五、方法鏈接針對(duì)上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類(lèi)均值”進(jìn)行拓展補(bǔ)充，各附例題。例題3：在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)M(-1,2)和N(1,4)，點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為^解答一(正切+均值)：已知：M(-1,2)、N(1,4)，l:y=x+3與x軸交于P(-3,0)MN0令P（t,0），則:kMP-1^7，1p二，/MPN=01—t0=0當(dāng)t-3時(shí)%p的傾斜角較大,tan0=k-kmPIPNP1+k?k12+7

MPNP=1(tan00)當(dāng)t-當(dāng)t-3時(shí)lNPk-k的傾斜角較大，tan0=-NPMP—1+k?kMPNP0，貝°tan0=-12+7x2+6x+162\;'x??67(tan00此時(shí)x=由于0J。,,tan(0)=—max7tan0在0gh兀)上單增，tan0￡[0,1]??.0max解答二（圓周角定理）:本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過(guò)M、N的圓與x軸切于P點(diǎn)。下面給出證明:

證明：以與x軸切于P2點(diǎn)的圓滿(mǎn)足所求最大角為例:由于l：y=x+3是過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在l：y=-x+3上MN隨著圓心橫坐標(biāo)從0開(kāi)始增大：當(dāng)半徑r較小時(shí)，圓與x軸無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸有兩交點(diǎn)P、P。34此時(shí)：根據(jù)圓周角定理：/MPN=/MPN/MQN=/MPN，可知：圓與x軸相切時(shí)，

342R較小的情況（圓與x軸相離）R較小的情況（圓與x軸相離）R較大的情況（圓與x軸相交于P3、P4）所以：過(guò)M、N的圓與x軸切于P^、P4點(diǎn)時(shí)，分別有（/MPN）maxn只需比較/MPN與/MPN，哪一個(gè)更大。12令與x軸相切的圓的圓心為（X,y），則切點(diǎn)P（x,0），半徑為y(x+1)2+(y-2)2=y2圓滿(mǎn)足:（消去y）nx2一6x+7=0nx=-7or圓滿(mǎn)足:（消去y）(x-1)2+(y-4)2=y2比較可知：當(dāng)x=1時(shí)，（/MPN）max點(diǎn)評(píng):常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時(shí)要用大角減去小角，才能得到正角；均值時(shí)要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個(gè)方程組，比較兩個(gè)角誰(shuí)大就行了。（不比較也行，畫(huà)圖可知右邊角大于左邊角：弦長(zhǎng)相等，半徑越大，弦所對(duì)的圓周角越小。）其實(shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫(xiě)得多，一種要想得多。☆變式3-1：若G為4ABC的重心，且AG1BG，則sinC的最大值為解答一（余弦定理+均值）：令G（0,0）令G（0,0），AQ,0），B（0,b），則由IyG二一(X+X+X)3ABcnC(-a,-b)=-(y+y+y)3ABC由點(diǎn)間的距離公式：|AB|=由點(diǎn)間的距離公式：|AB|=，a2+b2，|AC|=J4a2+b2，|BC|=Ja2+4b2AC2+BC2―AB2(4a2+b2)+Ca2+4b2由余弦定理：COSC==()(=2xACxBC2.,(4a2+b2JxKa4(a2+b2)24(a2+b2)2(a2+b2)2(4a2+b2)x(a2+4b2)(4a2+b2)x(a2+4b2)由于：ab<a+bn(4a2+b2)x(a2+4b2)<5(a2+b2)

22「.cosCN，00<sinC<30(sinC)55max解法二(圓周角定理):令A(yù)(-1,0),B(1,0),G(sin0,cos0)，則C(3sin0,3cos0)題目轉(zhuǎn)化為：A(-1,0),B(1,0),C(x,y)滿(mǎn)足：x2+y2=9，求sinC的最大值。目測(cè)可知C(0,±3)時(shí)，(/ABC)，下面以C'(0,3)來(lái)證明。max過(guò)A(-1,0)，B(1,0)，C'(0,3)作圓O：若C不在C'點(diǎn)，令A(yù)C交圓。于Q點(diǎn)。由圓周角定理：/ACB/AQB=/AC'B證得43此時(shí)由余弦定理「.(cosC)==(sinC)=min5max5點(diǎn)評(píng):

可以說(shuō)這道題與例題3有異曲同工之妙，直觀感覺(jué)加上圓周角定理可以說(shuō)是畫(huà)幾個(gè)圓就解出題了。其實(shí)余弦函數(shù)在［。，兀］單調(diào)，也可用來(lái)度量角的大小。不過(guò)更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的方式☆值得思考領(lǐng)悟。解法一照顧垂直結(jié)論，把重心放在原點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)很好地刻畫(huà)了C點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二聯(lián)系圓的直徑所對(duì)圓周角為直角表示垂直條件，以同樣方式刻畫(huà)C點(diǎn)的坐標(biāo)。兩種方式都完全的展現(xiàn)了題目中的關(guān)系。例題4：（對(duì)橢圓用均值）：過(guò)橢圓三+”二1（ab1）上一點(diǎn)P引圓O：x2+y2=1的兩條切線PA、b2a2PB，其中A、BPB，其中A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸、y軸分別相交于匕，則^OMN面積的最小值為P點(diǎn)滿(mǎn)足