第2課時(shí)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用第六章二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.熟練掌握二項(xiàng)式定理.2.能夠利用二項(xiàng)式定理解決兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)問(wèn)題.3.掌握二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大(小)問(wèn)題.4.能利用二項(xiàng)式定理解決整除(余數(shù))問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)假如今天是星期一，7天后是星期幾？16天后是星期幾？82022天后是星期幾？怎樣準(zhǔn)確快速地得到答案？導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)二、系數(shù)的最值問(wèn)題三、整除和余數(shù)問(wèn)題內(nèi)容索引一、兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)例1

(1)(1＋2x)3(1－x)4的展開(kāi)式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為A.10 B.－10

C.2

D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為5，則a等于A.－4B.－3C.－2D.－1√所以a＝－1，故選D.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A.12√方法二∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系數(shù)為1×4＋2×4＝12.(2)(x－y)(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)－20二、系數(shù)的最值問(wèn)題解得n＝－13(舍去)或n＝12.設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)，解得≤k≤10.4.即n2＋n－156＝0.反思感悟求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)最大，則與之相鄰兩項(xiàng)第k項(xiàng)，第(k＋2)項(xiàng)的系數(shù)均不大于第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)，由此列不等式組可確定k的范圍，再依據(jù)k∈N來(lái)確定k的值，即可求出最大項(xiàng).解設(shè)第Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為三、整除和余數(shù)問(wèn)題解202110＝(8×253－3)10.∵其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為310外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴202110除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即202110除以8的余數(shù)也為1.例3

(1)試求202110除以8的余數(shù)；證明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.①式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.反思感悟

利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和或差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.證明

原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4跟蹤訓(xùn)練3

求證：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除.以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.1.知識(shí)清單：(1)兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng).(2)系數(shù)的最值問(wèn)題.(3)整除與余數(shù)問(wèn)題.2.方法歸納：

雙通法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)等概念的辨析.課堂小結(jié)隨堂演練A.25 B.－25

C.5

D.－51234√令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分別解得k＝4或k＝3.2.(1－2x)5的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第3項(xiàng)

B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)

D.第6項(xiàng)14√32即k＝0,2,4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)分別為1,40,80，故k＝4時(shí)，即第5項(xiàng)是展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng).1432解析(x＋1)4(x－1)的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)由以下兩部分相加得到：3.(x＋1)4(x－1)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是_____.2②(x＋1)4中的三次項(xiàng)乘以(x－1)中的常數(shù)項(xiàng)－1，所以(x＋1)4(x－1)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是6＋(－4)＝2.30－3除以7的余數(shù)為_(kāi)____.14325解析230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3又∵余數(shù)不能為負(fù)數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，∴230－3除以7的余數(shù)為5.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練A.－3B.－2基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.A.－6 B.－3

12345678910111213141516√∴x2的系數(shù)是－12＋6＝－6.6的近似值(精確到0.01)為A.1.12

12345678910111213141516√≈1＋＋≈1.13.4.(1＋x)8(1＋y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是A.56

C.112

12345678910111213141516√12345678910111213141516√6.(多選)(1＋x2)(2＋x)4的展開(kāi)式中A.x3的系數(shù)為40 B.x3的系數(shù)為32C.常數(shù)項(xiàng)為16 D.常數(shù)項(xiàng)為812345678910111213141516√√解析(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展開(kāi)式中x3的系數(shù)分為兩部分，所以含x3的系數(shù)是8＋32＝40，故A正確；展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)只有(2＋x)4展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)24＝16，故C正確.1234567891011121314151691234567891011121314151610x12345678910111213141516證明

1110－1＝(10＋1)10－19.用二項(xiàng)式定理證明1110－1能被100整除.顯然上式括號(hào)內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)，所以1110－1能被100整除.12345678910111213141516解設(shè)展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，又因?yàn)?≤k≤5，k∈N，所以k＝4，所以展開(kāi)式中第5項(xiàng)系數(shù)最大.綜合運(yùn)用12345678910111213141516√除最后兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是9的倍數(shù).因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余數(shù)為7.12345678910111213141516√12345678910111213141516解得a＝2.13.設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512021＋a能被13整除，則a等于A.0

C.11

12345678910111213141516解析512021＋a＝(13×4－1)2021＋a，被13整除余－1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得當(dāng)a＝1時(shí)，512021＋a能被13整除.√12345678910111213141516A.2021 B.2022

C.2023 D.2024√12345678910111213141516＝320＝910＝(10－1)10，由二項(xiàng)式定理可得即a除以10的余數(shù)為1，因?yàn)閍≡b(mod10)，所以b的值除以10的余數(shù)也為1，觀察選項(xiàng)，只有2021除以10的余數(shù)為1，則b的值可以是2021.拓廣探究1234567891011121314151615.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為_(kāi)______.27212345678910111213141516解析(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為12345678910111213141516∴當(dāng)n＝5時(shí)，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272.1234567891011121314151616.求(1＋x＋x2)8展開(kāi)式中x5的系數(shù).12345678910111213141516解方法一(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]