第三章測評(時間;120分鐘滿分;150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項切合題目要求的)1.方程2+(2+y2-1)2=0所確立的曲線是()A.y軸或圓B.兩點(0,1)與(0,-1)C.y軸或直線y=±1D以上都不正確.答案;B2如圖,已知圓O的方程為22100,點(6,0),為圓O上任一點,AM的垂直均分線交OM于點.+y=A-MP,則點P的軌跡是()A.圓B.拋物線C.橢圓D.兩條直線分析;∵P為AM垂直均分線上的點,|PM|=|PA|.又∵|OP|+|PM|=10,|PA|+|PO|=10>6=|AO|.故P點的軌跡是以A,O為焦點,長軸長為10的橢圓.答案;C3.雙曲線=1(mn≠0)的離心率為2,有一個焦點與拋物線y2=4的焦點重合,則mn的值為()A.B.C.D.分析;拋物線y2=4的焦點為(1,0),∴雙曲線=1的焦點在軸上.-1-m>0,n>0,a=,b=,∴c==1,∴e==2,∴∴mn=.答案;A4.若拋物線y2=4上一點P到焦點F的距離為10,則P點坐標為()A.(9,6)B.(9,±6)C.(6,9)D.(6,±9)分析;拋物線的焦點坐標為(1,0),準線為=-1.∵P到F的距離為10,設(shè)P為(,y),+1=10,∴=9.又P在拋物線上,y2=36,y=±6,∴P點坐標為(9,±6).答案;B5.以雙曲線=-1的焦點為極點,極點為焦點的橢圓方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1分析;橢圓的極點和焦點分別是=-1的焦點和極點,∴橢圓的長半軸長為4,半焦距為2,且焦點在y軸上,故所求方程為=1.答案;D6.若點P是以F1,F2為焦點的橢圓=1(a>b>0)上一點,且=0,tan∠PF1F2=,則此橢圓的離心率e=()-2-A.B.C.D.分析;由=0得.則tan∠PF1F2=.設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,|F1F2|=m.所以e=.答案;A7.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=(>0),離心率e=,則雙曲線方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1分析;由題意,知=.又e==,所以,即c=b.易知a2=5b2-b2=4b2.答案;C8.拋物線y=2上到直線2-y-4=0的距離近來的點的坐標是()A.B.(1,1)C.D.(2,4)分析;設(shè)P(,y)為拋物線y=2上隨意一點,則P到直線2-y-4=0的距離d=,∴當=1時d最小,此時y=1,應(yīng)選B.答案;B9.已知點M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動圓C與直線MN相切于點B,過M,N與圓C相切的兩直線訂交于點P,則點P的軌跡方程為()-3-A.2-=1(>1)B.2-=1(<-1)C.2+=1(>0)D.2-=1(>1)分析;設(shè)圓與直線PM,PN分別相切于E,F,則|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,∴點P的軌跡是以M(-3,0),N(3,0)為焦點的雙曲線的右支,且a=1,c=3,∴b2=8.故雙曲線的方程是2-=1(>1).答案;A10.若點P為共焦點的橢圓C1和雙曲線C2的一個交點,F1,F2分別是它們的左、右焦點,設(shè)橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,若=0,則=()A.1B.2C.3D.4分析;設(shè)橢圓的方程為=1(a1>b1>0),雙曲線的方程為=1(a2>0,b2>0),它們的半焦距為c,不如設(shè)P為它們在第一象限的交點,由于=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.①由橢圓和雙曲線的定義知,解得|PF1|=a1+a2,,代入①式,得()2()242,即22,|PF2|=a1-a2a1+a2+a1-a2=c=c所以=2.答案;B11設(shè)F為拋物線;23的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于,兩點,為坐標原點,則△.Cy=ABOOAB的面積為()A.B.C.D.分析;由已知得F,故直線AB的方程為y=tan30°,即y=-.-4-設(shè)A(1,y1),B(2,y2),聯(lián)立將①代入②并整理得2-+=0,∴1+2=,∴線段|AB|=1+2+p==12.又原點(0,0)到直線AB的距離為d=,∴S△OAB=|AB|d=×12×.答案;D12.導(dǎo)學(xué)號90074088在平面直角坐標系中,兩點P1(1,y1),P2(2,y2)間的“L-距離”定義為||P1P2|=|1-2|+|y1-y2|,則平面內(nèi)與軸上兩個不一樣的定點F1,F2的“L-距離”之和等于定值(大于||F1F2|)的點的軌跡能夠是()分析;不如設(shè)F1(-a,0),F2(a,0),此中a>0,點P(,y)是其軌跡上的點,P到F1,F2的“L-距離”之和等于定值b(大于||F1F2|),所以|+a|+|y|+|-a|+|y|=b,即|-a|+|+a|+2|y|=b.當,≥0時,上式可化為y-=;<-ay-5-當-a≤≤a,y≥0時,上式可化為y=-a;當>a,y≥0時,上式可化為+y=;當,0時,上式可化為+y=-;<-ay<當-a≤≤a,y<0時,上式可化為y=a-;當>a,y<0時,上式可化為-y=;可畫出其圖像.(也可利用前三種狀況,再對于軸對稱)應(yīng)選A.答案;A二、填空題(本大題共4個小題,每題5分,共20分.把答案;填在題中的橫線上)13.平面上一機器人在前進中一直保持與點F(1,0)的距離和到直線=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為的直線,則的取值范圍是.分析;由題意知,機器人前進的路線為拋物線y2=4.由題意知過點P的直線為y=+(≠0),要使機器人接觸不到過點P的直線,則直線與拋物線無公共點,聯(lián)立方程得y2-y+=0,即=1-2<0,解得>1或<-1.答案;(-∞,-1)∪(1,+∞)14.設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線22-2y2=1有同樣的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該橢圓的方程是.分析;雙曲線的焦點坐標為(-1,0),(1,0),離心率為.設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),則e=.因為c=1,所以a=.所以b==1.故所求橢圓的方程為+y2=1.答案;+y2=115.在拋物線y2=16內(nèi),經(jīng)過點M(2,4)且在此點被均分的弦所在直線方程是.-6-分析;設(shè)所求直線與y2=16訂交于點A,B,且A(1,y1),B(2,y2),代入拋物線方程得=161,=162,兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=16(1-2),即,又∵M(2,4)是A,B的中點,∴y1+y2=2×4=8,∴AB==2.∴所求直線方程為y=2.答案;y=216.導(dǎo)學(xué)號90074089已知雙曲線C1;=1(a>0,b>0)與雙曲線C2;=1有同樣的漸近線,且C1的右焦點為F(,0),則a=,b=.分析;與雙曲線=1有同樣的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為=λ(λ≠0).∵C1的右焦點為(,0),0∴λ>.a2=4λ,b2=16λ,∴c2=20λ=5.∴λ=,即a2=1,b2=4,∴a=1,b=2.答案;12三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(滿分10分)已知雙曲線的中心在原點,焦點,在座標軸上,一條漸近線方程為y=,且過點.F1F2(4,-).(1)求雙曲線方程;(2)若點M(3,m)在此雙曲線上,求.解(1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y=,∴a=b,∴設(shè)雙曲線方程為2-y2=λ(λ≠0).把(4,-)代入雙曲線方程得42-(-)2=λ,∴λ=6,∴所求雙曲線方程為2-y2=6,-7-即=1.(2)由(1)知雙曲線方程為2-y2=6,∴雙曲線的焦點為F1(-2,0),F2(2,0).∵點M在雙曲線上,∴32-m2=6,∴m2=3,∴=(-2-3,-m)·(2-3,-m)(3)2-(2)22330=-+m=-+=.18.(滿分12分)如圖,已知拋物線C1;2+by=b2經(jīng)過橢圓C2;=1(a>b>0)的兩個焦點.(1)求橢圓C2的離心率;(2)設(shè)點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.解(1)由于拋物線C1經(jīng)過橢圓C2的兩個焦點F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b×0=b2,即c2=b2.由a2=b2+c2=2c2,得橢圓C2的離心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,則橢圓C2的方程為=1.聯(lián)立拋物線C1的方程2+by=b2得2y2-by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以=±b,即M,N.所以△QMN的重心坐標為(1,0).由于重心在拋物線C1上,所以12+b×0=b2,-8-得b=1.所以a2=2.所以拋物線C1的方程為2+y=1,橢圓C2的方程為+y2=1.19.(滿分12分)在平面直角坐標系Oy中,已知雙曲線C;22-y2=1.(1)設(shè)F是C的左焦點,M是C右支上一點,若|MF|=2,求點M的坐標;(2)設(shè)斜率為(||<)的直線l交C于P,Q兩點,若l與圓2+y2=1相切,求證;OP⊥OQ.(1)解雙曲線C;-y2=1,左焦點F,設(shè)M(,y),則|MF|2=+y2=,由點M是雙曲線右支上一點,知≥,所以|MF|=+=2,得=,則y=±=±.所以M.(2)證明設(shè)直線PQ的方程是y=+b.由于直線PQ與已知圓相切,故=1,即b2=2+1.(*)由得(2-2)2-2b-b2-1=0.設(shè)P(1,y1),Q(2,y2),又||<,則又y1y2=(1+b)(2+b),所以=12+y1y2=(1+2)12+b(1+2)+b2=+b2=.-9-由(*)知,=0,所以O(shè)P⊥OQ.20.(滿分12分)已知橢圓C經(jīng)過點A,兩個焦點為(-1,0),(1,0).(1)求橢圓C的方程;(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,假如直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.(1)解由題意,知c=1,可設(shè)橢圓方程為=1.由于點A在橢圓上,所以=1,解得b2=3,或b2=-(舍去).所以橢圓方程為=1.(2)證明設(shè)直線AE的方程為y=(-1)+,代入=1,得(3+42)2+4(3-2)+4-12=0.設(shè)點E(E,yE),F(F,yF),由于點A也在橢圓上,所以由根與系數(shù)的關(guān)系,得E·1=E=,所以yE=E+-.又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-代,可得F=,yF=-F++.所以直線EF的斜率-10-EF=,即直線EF的斜率為定值,其值為.21.(滿分12分)如圖,已知直線l;y=-2與拋物線C;2=-2py(p>0)交于A,B兩點,O為坐標原點,=(-4,-12).(1)求直線l和拋物線C的方程;(2)拋物線上一動點P從點A到點B運動時,求△ABP面積的最大值.解(1)由得2+2p-4p=0.設(shè)A(1,y1),B(2,y2),則1+2=-2p,y1+y2=(1+2)-4=-2p2-4.由于=(1+2,y1+y2)=(-2p,-2p2-4)=(-4,-12),所以解得所以直線l的方程為y=2-2,拋物線C的方程為2=-2y.(2)設(shè)點P(0,y0),依題意,拋物線過點P的切線與直線l平行時,△ABP的面積最大.設(shè)切線方程是y=2+t,由得2+4+2t=0,=42-4×2t=0,∴t=2.此時,點P到直線l的距離為兩平行線間的距離,d=.由得2+4-4=0,-11-∴|AB|=|1-2|===4,∴△ABP面積的最大值為×4=8.22導(dǎo)學(xué)號90074090(滿分12分).如圖,O為坐標原點,雙曲線C1;=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2;=1(a2>b2>0)均過點P,且以C1的兩個極點和C2的兩個焦點為極點的四邊形是面積為2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)能否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且||=||?證明你的結(jié)論.解(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.進而a1=1,c2=1.由于點P在雙曲線2-=1上,所以=1.故=3.由橢圓的定義知2a2==2.于是a2==2.故C1,C2的方程分別為2-=1,=1.-12-(2)不存在切合題設(shè)條件的直線.①若直線l垂直于軸,由于l與C2只有一個公共點,所以直線l的方程為=或=-.當=時,易知A(),B(,-),所以||=2,||=2.此時,||≠|(zhì)|.當=-時,同理可