/12初二全等三角形綜合復(fù)習(xí)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：復(fù)習(xí)全等形與全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分線的作圖方法和角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，建立知識(shí)系統(tǒng)；使學(xué)生總結(jié)尋找全等三角形及其全等條件的方法、歸納常見輔助線的作法，使學(xué)生掌握分析問題的方法，提升解題能力。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：將所學(xué)知識(shí)科學(xué)地組織起來，將其納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。難點(diǎn)：提升分析問題、解決問題的能力。三、考點(diǎn)分析：全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)，是研究平面幾何的重要工具。近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，經(jīng)常將全等與其他知識(shí)結(jié)合在一起，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，形式多種多樣，為全等這一傳統(tǒng)的話題增添了新穎的味道。1.全等三角形的概念及性質(zhì)2.三角形全等的判定；知識(shí)點(diǎn)一：證明三角形全等的思路通過對(duì)問題的分析，將解決的問題歸結(jié)到證明某兩個(gè)三角形的全等后，采用哪個(gè)全等判定定理加以證明，可以按下圖思路進(jìn)行分析：

找夾角TSAS已知兩邊]找第三邊TSSS、找直角THL邊為角的對(duì)邊T找任一角TAAS「找夾角的另一邊TSAS邊為角的鄰邊<找夾邊的另一角TASA、找邊的對(duì)角TAAS已知兩角找夾邊TASA找任一對(duì)邊TAAS切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不定全等。已知兩角找夾邊TASA找任一對(duì)邊TAAS切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不定全等。例1.如圖，A,F,E,B四點(diǎn)共線，AC丄CE,BD丄DF,AE=BF,AC=BD。求證：DECAACF=ABDE。思路分析：從結(jié)論AACF=ABDE入手，全等條件只有AC=BD；由AE=BF兩邊同時(shí)減去EF得到AF二BE，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是CF二DE，也可以是ZA=ZB。由條件AC丄CE，BD丄DF可得ZACE=ZBDF=90，再加上AE=BF，AC=BD，可以證明AACE=ABDF，從而得到ZA=ZB。。解答過程：.AC丄CE，BD丄DFZACE=ZBDF=90在RtAACE與RtABDF中「AE=BF■■{[AC=BD???RtAACE=RtABDF(HL)ZA=ZB■■■AE=BFAE-EF=BF-EF，即AF=BE在AACF與ABDE中'AF=BE<ZA=ZBAC=BDAACF=ABDE(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。

小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。知識(shí)點(diǎn)二：構(gòu)造全等三角形例2.如圖，在AABC中，BE是ZABC的平分線，AD丄BE，垂足為D。求證：AEDBCZAEDBCZ2=4+ZC。思路分析：直接證明Z2=Z1+ZC比較困難，我們可以間接證明，即找到證明Z2=Za且Za=Z1+ZC。也可以看成將Z2“轉(zhuǎn)移”到Za。那么Za在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將AD延長(zhǎng)交BC于F，則構(gòu)造了△FBD,可以通過證明三角形全等來證明Z2=ZDFB，可以由三角形外角定理得ZDFB=Z1+ZCO解答過程：延長(zhǎng)AD交BC于F在AABD與AFBD中‘ZABD=ZFBD'：＜BD=BDZADB=ZFDB=90AABD=AFBD(ASA)Z2=ZDFB又.ZDFB=Z1+ZCAEBCF?ZAEBCF?Z2=Z1+ZCo解題后的思考由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.如圖，在AABC中，AB=BC，ZABC=90。F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上,BE=BF，連接AE,EF和CF。求證：AE=CF。EFAB思路分析：EFAB思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段AE為邊的AABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到ACBF的位置，而線段CF正好是ACBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞?解答過程：；ZABC=90,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)ZABC=ZCBF=90=在AABE與ACBF中。一AB=BC<ZABC=ZCBF、BE=BF:.AABE=ACBF(SAS)?AE=CFo解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。知識(shí)點(diǎn)三：常見輔助線的作法全等三角形的問題。解答過程：連接AC.AB//CD，AD//BCZ1=Z2，Z3=Z4在AABC與ACDA中'Z1=Z2<AC=CAZ4=Z3AABC=ACDA(ASA)?AB=CD。zv7BC解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。2.作垂線，利用角平分線的知識(shí)例5.如圖，AP,CP分別是AABC外角ZMAC和ZNCA的平分線，它們交于點(diǎn)P。求證:BP為ZMBN的平分線。

BCN思路分析：要證明“BP為ZMBN的平分線”可以利用點(diǎn)P到BM,BN的距離相等來證明，故應(yīng)過點(diǎn)P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是ZMAC和ZNCA的平分線”也需要作出點(diǎn)P到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P作PD丄BM于D，PE丄AC于E，PF丄BN于FAP平分上MAC，PD丄BM于D，PE丄AC于EPD=PECP平分ZNCA，PE丄AC于E，PF丄BN于FPE=PFPD=PE，PE=PFPD=PFPD=PF，且PD丄BM于D,BP為ZMBN的平分線。PF丄BN于F解題后的思考：PF丄BN于F解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6.如圖，D是AABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD=AB，ZADB=ZBAD，AE是AABD的中線。求證：AC=2AE。A思路分析：要證明“AC=2AE”，不妨構(gòu)造出一條等于2AE的線段，然后證其等于AC。因此，延長(zhǎng)AE至F，使EF=AE。解答過程：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF=AE，連接DF在AABE與AFDE中

AE=FE■■■<ZAEB=ZFED、BE=DE:.AABE=AFDE(SAS)ZB=ZEDF■-ZADF=ZADB+ZEDF,ZADC=ZBAD+ZB又ZADB二ZBADZADF=ZADCAB=DF,AB=CD:.DF=DC在AADF與AADC中一AD=AD<ZADF=ZADCDF=DC:.AADF=AADC(SAS)AF=AC又-AF=2AEAC—2AEoBDEF解題后的思考BDEF解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等甚至可以證明兩條直線平行。4.“截長(zhǎng)補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形例7.如圖，在AABC中，AB>AC,Z1—Z2,P為AD上任意一點(diǎn)。求證：AB—AC>PB—PC。思路分析：欲證AB—AC>PB—PC，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段AB—AC。而構(gòu)造AB—AC可以采用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過程：法一：

在AB上截取AN=AC，連接PN在AAPN與AAPC中一AN=AC■:<Z1=Z2AP=AP:.AAPN=AAPC(SAS)PN=PC.在ABPN中，PB—PN<BNPB—PC<AB—AC，即AB—AC>PB—PC。A法二：延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM在AABP與AAMP中一AB=AM<Z1=Z2AP=AP:.AABP=AAMP(SAS)PB=PM.在APCM中，CM>PM—PCPCDEMABPCDEMAB—AC>PB—PCo解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。當(dāng)給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時(shí)，需要我們認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，挖掘潛在因素，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙構(gòu)造全等三角形，借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就可迅速找到證題的途徑。一、預(yù)習(xí)新知一、預(yù)習(xí)新知無論是隨風(fēng)起舞的風(fēng)箏，凌空翱翔的飛機(jī)，還是中外各式風(fēng)格的典型建筑；無論是藝術(shù)家的創(chuàng)造，還是日常生活中圖案的設(shè)計(jì)，甚至是照鏡子都和對(duì)稱密不可分。在下一講我們將認(rèn)識(shí)某些平面圖形的對(duì)稱美，并探索一些最簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)。二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥怎樣的兩個(gè)圖形才成軸對(duì)稱呢？什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢？探索一：下列哪些圖形是軸對(duì)稱圖形？它們的對(duì)稱軸在哪里？

二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥怎樣的兩個(gè)圖形才成軸對(duì)稱呢？什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢？探索一：下列哪些圖形是軸對(duì)稱圖形？它們的對(duì)稱軸在哪里？（答題時(shí)間：60分鐘）（答題時(shí)間：60分鐘）1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等根據(jù)下列條件，能畫出唯一AABC的是（）A.AB二3，BC二4，CA二8b.AB=4，BC二3，ZA=30C.ZC=60，ZB=45，AB=4d.ZC=90，AB=6O如圖，已知Z1=Z2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE‘②BC=EDZC=ZD:④ZB=ZE。其中能使AABC=AAED的條件有（）A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè):③打:③4.如圖，Z1=Z2，ZC=ZD，AC,BD交于E點(diǎn)，下列不正確的是（B.CE=DEC.ADEA不全等于ACBED.AEAB是等腰三角形AD5.B.CE=DEC.ADEA不全等于ACBED.AEAB是等腰三角形AD5.如圖，已知AB=CD,A.67BC=AD，B.46H，ZB=23，則ZD等于（■C.23D.o）D.無法確定二、填空題：6.如圖，在AABC中，ZC=90，ZABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且CD:AD=2:3，AC=10cm，則點(diǎn)D到AB的距離等于cm；7.如圖，已知AB=DC，AD=BC，E,F是BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，若ZAEB=100，ZADB=30，則ZBCF=；8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則ACBD的大小為9.如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90,AC二BC,AD平分ABAC交BC于D,DE丄AB于E，若AB二10，則ABDE的周長(zhǎng)等于AB//CD，AE//CF，且AE二CF，若10.如圖，點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線上，EDCBD=10，BF二2，則EF二三、解答題：11.如圖，AABC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別在BC,AC上，且BM二CN，AM與BN交于Q點(diǎn)。求AAQN的度數(shù)。RMC12.如圖，ZACB=90，AC二BC，D為AB上一點(diǎn)，AE丄CD，BF丄CD，交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。求證：BF=CE。、選擇題：1.A2.C3.B4.C5.C二、填空題：6.47.708.909.1010.6oo三、解答題：解