17-PAGE專題08

排列組合二項(xiàng)式定理一、單選題1．張、王夫婦各帶一個(gè)小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購(gòu)票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個(gè)小孩要排在一起，則這6個(gè)人的入園順序的排法種數(shù)是（）A．12 B．24 C．36 D．482．將甲、乙、丙、丁四人分配到、、三所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排人，則甲不去學(xué)校的不同分配方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．3男2女共5名同學(xué)站成一排合影，則2名女生相鄰且不站兩端的概率為（）A． B． C． D．4．元旦晚會(huì)期間，高三二班的學(xué)生準(zhǔn)備了6個(gè)參賽節(jié)目，其中有2個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，2個(gè)歌曲節(jié)目，要求歌曲節(jié)目一定排在首尾，另外2個(gè)舞蹈節(jié)目一定要排在一起，則這6個(gè)節(jié)目的不同編排種數(shù)為A．48 B．36 C．24 D．125．用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．72 B．144 C．150 D．1806．石家莊春雨小區(qū)有3個(gè)不同的住戶家里供暖出現(xiàn)問題，負(fù)責(zé)該小區(qū)供暖的供熱公司共有4名水暖工，現(xiàn)要求這4名水暖工都要分配出去，且每個(gè)住戶家里都要有人去檢查，則分配方案共有（）種A．12 B．24 C．36 D．727．若，則二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．6 B．12 C．60 D．1208．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為-10，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．今有某種產(chǎn)品個(gè)，其中一級(jí)品個(gè)，二級(jí)品個(gè)，從中取個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率是（）A． B． C． D．10．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)二、多選題11．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)（）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)12．對(duì)于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有（）A．存在，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；B．對(duì)任意，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；C．對(duì)任意，展開式中沒有的一次項(xiàng)；D．存在，展開式中有的一次項(xiàng).三、填空題13．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，系數(shù)的最大值為，則___________.14．若多項(xiàng)式，則________.15．某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)，其中的各位數(shù)中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，的數(shù)學(xué)期望_____．四、解答題16．有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄取：①2020年2月通過考試進(jìn)入國(guó)家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)（集訓(xùn)隊(duì)從2019年10月省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點(diǎn)分?jǐn)?shù)線，③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線），該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽、自主招生和高考的資格且估計(jì)自己通過各種考試的概率如下表省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)自主招生通過高考達(dá)重點(diǎn)線高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線0.50.60.90.7若該學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲省一等獎(jiǎng)，則該學(xué)生估計(jì)進(jìn)入國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.2.若進(jìn)入國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄?。呵懊嬉呀?jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達(dá)重點(diǎn)線才能錄?。á瘢┣笤搶W(xué)生參加自主招生考試的概率；（Ⅱ）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求該學(xué)生被該校錄取的概率.參考答案1．B【解析】分析：先安排首尾的兩位家長(zhǎng)，再將兩個(gè)小孩捆綁作為一個(gè)整體，與剩下的兩位家長(zhǎng)作為三個(gè)元素安排在中間即可得到結(jié)論．詳解：先安排首尾兩個(gè)位置的男家長(zhǎng)，共有種方法；將兩個(gè)小孩作為一個(gè)整體，與剩下的另兩位家長(zhǎng)安排在兩位男家長(zhǎng)的中間，共有種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有的排法為種．故選B．點(diǎn)睛：求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．”2．B【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①其他三人中有一個(gè)人與甲在同一個(gè)學(xué)校，②沒有人與甲在同一個(gè)學(xué)校，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論，①其他三人中有一個(gè)人與甲在同一個(gè)學(xué)校，有種情況，②沒有人與甲在同一個(gè)學(xué)校，則有種情況；則若甲要求不到學(xué)校，則不同的分配方案有種；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類加法原理的應(yīng)用，屬于中等題．3．B【解析】【分析】算出基本事件總數(shù)，算出2名女生相鄰且不站兩端包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出2名女生相鄰且不站兩端的概率．【詳解】解：3男2女共5名同學(xué)站成一排合影，

基本事件總數(shù)，

2名女生相鄰且不站兩端包含的基本事件個(gè)數(shù)，

∴2名女生相鄰且不站兩端的概率為．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．C【解析】【分析】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①將歌曲節(jié)目排在首尾；②將個(gè)小品節(jié)目安排在歌曲節(jié)目的中間；③排好后，個(gè)小品節(jié)目與個(gè)歌曲節(jié)目之間有個(gè)空位，將個(gè)舞蹈節(jié)目全排列，安排在中間的個(gè)空位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】分步進(jìn)行：①歌曲節(jié)目排在首尾，有種排法.②將個(gè)小品節(jié)目安排在歌曲節(jié)目的中間，有種排法.③排好后，個(gè)小品節(jié)目與個(gè)歌曲節(jié)目之間有3個(gè)空位，將個(gè)舞蹈節(jié)目全排列，安排在中間的個(gè)空位，有種排法.則這個(gè)節(jié)目出場(chǎng)的不同編排種數(shù)為種，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).5．B【解析】【分析】根據(jù)題意，符合奇數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能從1，3，5中選取；千位數(shù)字去掉個(gè)位數(shù)字選用的和0還剩下四個(gè)數(shù)字中選擇，最后再排百、十位數(shù)字?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，符合奇數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能從1，3，5中選取，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)分三步；第一步，排個(gè)位，共有種方法；第二步，排千位，共有種方法；第三步，排百、十位，共有種方法；所以，可組成個(gè)四位奇數(shù)，故答案選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單排列組合和計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。6．C【解析】【分析】4人分配到3個(gè)家庭，有一家去2人．由此利用排列組合的知識(shí)可得．【詳解】4名水暖工分配到3個(gè)家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，解題方法是分組分配法．7．C【解析】【分析】先由微積分基本定理求得m，然后由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．【詳解】，，其展開式通項(xiàng)公式為，令，，∴常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查微積分基本定理，掌握這兩個(gè)定理是解題基礎(chǔ)．8．B【解析】【分析】根據(jù)產(chǎn)生項(xiàng)的來源，計(jì)算出展開式中的系數(shù)即可求出．【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，分別令，可求得的系數(shù)為，的系數(shù)為，故的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．9．C【解析】【分析】事件“出現(xiàn)二級(jí)品”的對(duì)立事件為“全是一級(jí)品”，計(jì)算出對(duì)立事件的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】由題意知，事件“出現(xiàn)二級(jí)品”的對(duì)立事件為“全是一級(jí)品”，事件“全是一級(jí)品”的概率為，由對(duì)立事件的概率可知，出現(xiàn)二級(jí)品的概率是，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解題時(shí)，事件中出現(xiàn)了至少問題，可以利用對(duì)立事件的概率公式來計(jì)算，也可以利用分類討論思想來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10．C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【詳解】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，

若C與F不同，則D有1種方法，

故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；若B不同于F，則B有1種方法，Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理，考查了分類討論思想的應(yīng)用，分類時(shí)要做到不重不漏．本題屬于難題．11．BC【解析】【分析】根據(jù)的展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中各項(xiàng)系數(shù)，即得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，其展開式的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、7、7、、、、、，所以，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．12．AD【解析】【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案。【詳解】設(shè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，展開式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確。故答案選AD【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵在于合理利用通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題。13．12【解析】【分析】由的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的系數(shù)為，當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)的最大值為，求解即可.【詳解】由題意可知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，取得最大值展開式的系數(shù)為，當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)最大.即，即解得又時(shí)，系數(shù)的最大值為則故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，求二項(xiàng)式系數(shù)最大值時(shí)，列出不等式組是解決本題的關(guān)鍵.屬于一道較難的題.14．46【解析】【分析】把化為，按照二項(xiàng)式定理展開，可得的系數(shù)的值.【詳解】,,故答案為46【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.15．【解析】【分析】的可能取值分別為0，1，2，3，4分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】由題意知的可能取值分別為0，1，2，3，4；表示這4個(gè)數(shù)字都是0，則；表示這4個(gè)數(shù)字中有一個(gè)為1，則；同理；；；所以的分布列為，01234計(jì)算數(shù)學(xué)期望為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分布列，數(shù)學(xué)期望正確計(jì)算各種情況的概率是關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列見解析；數(shù)學(xué)期望3.3；（Ⅲ）0.838【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)該生參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲一等獎(jiǎng)、參加國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)時(shí)間分別為，則，然后利用互斥事件的概率公式進(jìn)行求解；

（Ⅱ）的可能取值為2，3，4，然后分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；

（Ⅲ）設(shè)自主招生通過并且高考達(dá)重點(diǎn)線錄取、自主招生未通過且高考達(dá)該校線錄取的事件分別為C、D，該學(xué)生被該校錄取的事件分為三種事件，AB、