上篇

專題六

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

微專題三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)熱點(diǎn)聚焦

分類突破專題訓(xùn)練

對(duì)接高考內(nèi)容索引1熱點(diǎn)聚焦

分類突破突破點(diǎn)一證明、判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】

(母題突破)(2021·新高考Ⅱ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，其中a>0，b∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；解

由函數(shù)的解析式，得f′(x)＝x(ex－2a)，x∈R.當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln(2a)，令f′(x)<0，得ln(2a)<x<0，所以f(x)在(－∞，ln(2a))，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，0)上單調(diào)遞減.則b>2a>1，f(0)＝b－1>0，f(－b)＝(－1－b)e－b－ab2＋b<0.又由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上有一個(gè)零點(diǎn).f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b>2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln(2a)[2－ln(2a)]，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上沒有零點(diǎn).綜上可得，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).證明由例題(1)知，f(x)在(－∞，ln(2a))，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，0)上單調(diào)遞減.f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln(2a)[2－ln(2a)]，故aln(2a)[2－ln(2a)]<0，所以x≤0時(shí)，f(x)≤f(ln(2a))<0，此時(shí)f(x)無零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1<0，又易證ec>c＋1，所以f(x)在(0，c)上有唯一零點(diǎn)，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).判斷(證明)函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在性定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).探究提高【訓(xùn)練1】

(2021·江南十校?？?已知函數(shù)f(x)＝ax－ax(a>0且a≠1). (1)當(dāng)a＝e時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值；解當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)＝ex－ex，f′(x)＝ex－e，令f′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)的最小值為f(1)＝0，無最大值.(2)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解g(x)＝f′(x)＝axlna－a，①若0<a<1，g(x)<0在(0，1)恒成立，此時(shí)g(x)在(0，1)沒有零點(diǎn).②若a>1，g′(x)＝(lna)2·ax>0，所以g(x)在(0，1)單調(diào)遞增.易得g(0)＝lna－a，令h(a)＝lna－a(a>1)，故h(a)<h(1)＝－1<0，所以g(0)＝lna－a<0；又g(1)＝alna－a＝a(lna－1)，①當(dāng)1<a≤e時(shí)，g(1)≤0，g(x)在(0，1)沒有零點(diǎn).②當(dāng)a>e時(shí)，g(1)>0，g(x)在(0，1)有且只有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，若0<a<1或1<a≤e，g(x)在(0，1)沒有零點(diǎn)；若a>e，g(x)在(0，1)有且只有1個(gè)零點(diǎn).突破點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)【例2】

已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2). (1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；解

當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x－2，x∈R，則f′(x)＝ex－1.當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增.(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解

f′(x)＝ex－a.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增.故f(x)至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，可得x＝lna.當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)單調(diào)遞增.故當(dāng)x＝lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)＝－a(1＋lna).1.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍，解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.探究提高【訓(xùn)練2】

設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R). (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，令g′(x)＝0，得x＝1.∴g(x)min＝g(1)＝1.突破點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx. (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒有零點(diǎn)；所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.(討論a≥1或a<1來檢驗(yàn)，故當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn).證明由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，又當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).探究提高(1)求b；解f′(x)＝3x2＋b.(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：專題訓(xùn)練

對(duì)接高考21.(2021·浙江卷節(jié)選)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解由題意得f′(x)＝axlna－b.因?yàn)閍>1，所以lna>0，ax>0，所以當(dāng)b≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)b≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對(duì)任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以ax－bx＋e2＝0有兩個(gè)不同的根，即曲線y＝ax與直線y＝bx－e2有兩個(gè)不同的交點(diǎn).易知直線y＝bx－e2與y軸交于點(diǎn)(0，－e2).先考慮曲線y＝ax與直線y＝bx－e2相切的情況.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，at)，則切線斜率為atlna，所以切線方程為y－at＝atlna(x－t)，則y＝(atlna)x＋at－tatlna＝bx－e2，所以at－tatlna＝at－atlnat＝－e2，令at＝m(m>0)，則m－mlnm＝－e2，令g(m)＝m－mlnm＋e2，則g′(m)＝－lnm，當(dāng)m∈(0，1)時(shí)，g′(m)>0，當(dāng)m∈(1，＋∞)時(shí)，g′(m)<0，故g(m)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，觀察可知at＝e2，所以要滿足條件，則b＞atlna＝e2lna恒成立.因?yàn)閎＞2e2，只需2e2≥e2lna即可，解得1＜a≤e2.故a的取值范圍為(1，e2].2.設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－a(x－1)ex，其中a∈R. (1)若a≤0，討論f(x)的單調(diào)性；因此當(dāng)a≤0時(shí)，1－ax2ex>0，從而f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.令g(x)＝1－ax2ex，又g(1)＝1－ae>0，且故g(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，從而f′(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，所以f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增；所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，因此x0是f(x)的唯一極值點(diǎn).令h(x)＝lnx－x＋1，故h(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x>1時(shí)