2023年湖北省鄂州市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

4.A.3B.2C.1D.1/25.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

6.

7.設函數Y=e-x，則Y'等于()．A.A.-ex

B.ex

C.-e-xQ258

D.e-x

8.

9.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是

A.橢圓面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面10.下列反常積分收斂的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

11.為二次積分為（）。A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.

15.A.1/3B.1C.2D.316.A.A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面17.過曲線y=xlnx上M0點的切線平行于直線y=2x，則切點M0的坐標是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)

18.

19.設函數為()．A.A.0B.1C.2D.不存在20.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

二、填空題(20題)21.

22.y''-2y'-3y=0的通解是______.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.32.

33.

34.微分方程y'-2y=3的通解為__________。

35.36.

37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．44.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

45.

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．47.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．48.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.

51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．53.54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．55.求微分方程的通解．56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

57.

58.

59.證明：60.四、解答題(10題)61.

62.

63.所圍成的平面區(qū)域。64.

65.

66.

67.

68.

69.證明：ex＞1+x(x＞0)

70.(本題滿分10分)

五、高等數學(0題)71.函數f(x)=ex，g(x)=sinx，則f[g(x)]=__________。六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C解析：

2.D

3.C

4.B，可知應選B。

5.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

6.B解析：

7.C本題考查的知識點為復合函數導數的運算．

由復合函數的導數鏈式法則知

可知應選C．

8.C

9.C

10.DA，∫1+∞xdx==∞發(fā)散；

11.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分。由于在極坐標系下積分區(qū)域D可以表示為

故知應選A。

12.C

13.D

14.C

15.D解法1由于當x一0時，sinax～ax，可知故選D．

解法2故選D．

16.C本題考查的知識點為二次曲面的方程．

17.D本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由導數的幾何意義可知，若y=f(x)在點x0處可導，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且切線的斜率為f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切線與已知直線y=2x平行，直線的斜率k1=2，可知切線的斜率k=k1=2，從而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，從而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切點M0的坐標為(e，e)，可知應選D．

18.C

19.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x=1為f(x)的分段點，且在x=1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

20.C本題考查了二元函數的高階偏導數的知識點。

21.22.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0，得特征根為r1=3，r2=-1，所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.

23.22解析：

24.π/4

25.ee解析：

26.55解析：

27.

28.

29.11解析：

30.

31.

32.

本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程的求解．

33.y=x3+1

34.y=Ce2x-3/235.1；本題考查的知識點為導數的計算．

36.本題考查的知識點為用洛必達法則求未定型極限．

37.R

38.

39.2x-4y+8z-7=0

40.

41.由一階線性微分方程通解公式有

42.

43.

44.

45.

46.47.由二重積分物理意義知

48.

列表：

說明

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.

51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.

54.函數的定義域為

注意

55.56.由等價無窮小量的定義可知

57.

58.

則

59.

60.61.本題考查的知識點為參數方程的求導運算．

【解題指導】

62.63.解：D的圖形見右圖陰影部分．

64.

65.證明

66.

67.

68.

69.

70.本題考查的知識點為求解二階線性常系數非齊次微分方程．

相應的齊次微分方程為

代入原方程