/19/19/2020屆上海市高三押題卷一數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知圓和直線，則是圓和直線相交的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由圓和直線相交，解出的范圍，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可．【詳解】圓和直線相交，即圓心到的距離小于半徑，，解得則是圓和直線相交的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．2．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍；B．向左平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍；C．向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍；D．向左平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍；【答案】B【解析】選項(xiàng)A根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，判斷選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，判斷選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，判斷選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，判斷選項(xiàng)D錯誤.【詳解】選項(xiàng)A：向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得到，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：向左平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得到，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：向右平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D：向左平移個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，故選項(xiàng)D錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查描述三角函數(shù)的圖象變換過程，是基礎(chǔ)題.3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用與求得,再根據(jù)漸近線方程為求解即可.【詳解】由得.又即,故,故雙曲線漸近線為故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了裂項(xiàng)相消求和與雙曲線的漸近線方程等,屬于基礎(chǔ)題型.4．如圖，在邊長為4的正方形中，動圓的半徑為1，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，是圓上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先建立直角坐標(biāo)系得到，再設(shè)得到，接著建立方程組得到，最后求的取值范圍即可.【詳解】解：建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)（），則在圓上，設(shè)，則，則，則當(dāng)，時(shí)，；則當(dāng)，時(shí)，；所以的取值范圍：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量求參數(shù)范圍，是中檔題.二、填空題5．函數(shù)的最小正周期是，則實(shí)數(shù)________【答案】【解析】由二倍角公式化簡函數(shù)得，代入周期計(jì)算公式即可求得.【詳解】，周期，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，正弦函數(shù)周期計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，則________【答案】【解析】由題意復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，可得答案.【詳解】解：由復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，故是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，故，，故，，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對定理，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.7．已知一個(gè)關(guān)于的二元一次方程組的增廣矩陣是，則_________【答案】6【解析】根據(jù)關(guān)于的二元一次方程組的增廣矩陣，寫出方程組，求出方程組的解，即可得到結(jié)論.【詳解】解：由題意關(guān)于的二元一次方程組的增廣矩陣是，可得關(guān)于的二元線性方程組，可得，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，計(jì)算量小，屬于基礎(chǔ)題型.8．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），則它的普通方程是_____．【答案】3x﹣4y+5=0【解析】根據(jù)加減消元得普通方程.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．函數(shù)的反函數(shù)為，則_________【答案】【解析】直接利用反函數(shù)定義，求出原函數(shù)的反函數(shù)即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，可得，所以，，，可得函數(shù)的反函數(shù)為，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，反函數(shù)的求法，考查計(jì)算能力.10．若的展開式中的系數(shù)為，則=____________．【答案】2【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理知的系數(shù)是，，所以.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理，裂項(xiàng)相消求和，數(shù)列極限.11．在平面坐標(biāo)系中,動點(diǎn)和點(diǎn)?滿足,則動點(diǎn)的軌跡方程為______.【答案】【解析】根據(jù)，代入化簡得到答案.【詳解】，則即，化簡得到故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12．某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．【答案】4【解析】利用平均數(shù)、方差的概念列出關(guān)于的方程組，解方程即可得到答案．【詳解】由題意可得：，設(shè)，，則，解得，∴故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法，屬于基礎(chǔ)題．13．已知函數(shù)（a＞0），若對任意x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】先將恒成立存在性問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值域包含關(guān)系，即在上值域包含于在上值域，再分別求對應(yīng)值域，最后根據(jù)集合包含關(guān)系列式求解.【詳解】由題意得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立存在性問題、函數(shù)值域以及根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)取值范圍，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14．已知圓錐的母線長為，過圓錐頂點(diǎn)的最大截面三角形的面積為，則此圓錐底面半徑與母線長的比的取值范圍是____________．【答案】【解析】先判斷兩條母線的夾角時(shí)最大截面三角形的面積為，再建立不等式和，最后求出的取值范圍即可.【詳解】解：過圓錐頂點(diǎn)的截面三角形的面積：（為兩母線的夾角），因?yàn)檫^圓錐頂點(diǎn)的最大截面三角形的面積為，即兩條母線的夾角時(shí)的截面面積，此時(shí)底面弦長為，所以，又，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體，是基礎(chǔ)題.15．設(shè)，圓（）與軸正半軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，若數(shù)列滿足：，，要使數(shù)列成等比數(shù)列，則常數(shù)________【答案】2或4【解析】根據(jù)條件求出的關(guān)系,利用遞推數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和定義,進(jìn)行推理即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)閳A（）與曲線的交點(diǎn)為,所以,即,由題可知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由直線方程的截距式可得直線的方程為:,由點(diǎn)在直線上得:,將,代入并化簡得:,由,得,又故數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為的等比數(shù)列,故,即,所以,,令,得:,由等式對任意恒成立得:,即,解得或,故當(dāng)時(shí),數(shù)列成公比為4的等比數(shù)列;當(dāng)時(shí),數(shù)列成公比為2的等比數(shù)列故答案為:2或4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的截距式,由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式,恒等式以及等比數(shù)列的定義,本題屬于難題.16．以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別作為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，，，是橢圓上的任意三點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），若存在銳角，使，（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）則直線，的斜率乘積為___.【答案】或-2【解析】設(shè)橢圓方程為，A（，），B（，），從而得到的坐標(biāo)表示，然后，再根據(jù)M點(diǎn)在該橢圓上，建立關(guān)系式，結(jié)合A、B點(diǎn)在也該橢圓上，得到，，從而得到相應(yīng)的結(jié)果，同理當(dāng)橢圓方程為可得答案【詳解】由題意可設(shè)橢圓方程為，又設(shè)A（，），B（，），因?yàn)镸點(diǎn)在該橢圓上，∴，則又因?yàn)锳、B點(diǎn)在也該橢圓上，∴，∴，即直線OA、OB的斜率乘積為，同理當(dāng)橢圓方程為時(shí)直線OA、OB的斜率乘積為﹣2．故答案為或﹣2．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查橢圓綜合，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，注意審題仔細(xì)，要注意分類討論橢圓的焦點(diǎn)位置，屬于難題．三、解答題17．如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點(diǎn)C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，VC⊥平面ABC，且VC=2，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn).（1）求證：BC⊥平面VAC；（2）若直線AM與平面VAC所成角為.求三棱錐B-ACM的體積.【答案】（1））祥見解析；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由線面垂直得VC⊥BC，由直徑性質(zhì)得AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面VAC．（2）首先由（1）作出直線AM與平面VAC所成的角：取VC的中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，則∠MAN為直線AM與平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；這樣就可求出AC的長，且而求得體積．試題解析：（1）證明：因?yàn)閂C⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因?yàn)辄c(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且AB為直徑，所以AC⊥BC，又因?yàn)閂C，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC.（2）如圖，取VC的中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，則∠MAN為直線AM與平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；令A(yù)C=a,則BC=，MN=；因?yàn)閂C=2，M為VC中點(diǎn)，所以AN=，所以，=,解得a=1因?yàn)镸N∥BC,所以【考點(diǎn)】1.直線與平面垂直的判定;2.棱柱、棱錐、棱臺的體積;3.直線與平面所成的角.18．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式和輔助角公式可化簡，再利用可得的解析式.（2）令，則，則方程在有解，參變分離后可求的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則(2)，則，即令，所以方程在有解，故方程在有解，所以直線與函數(shù)，的圖象有公共點(diǎn)，而函數(shù)，的值域?yàn)?，?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．19．某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高（1）若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí)，才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，列出不等式，求解即可；（2）求出的范圍，得出不等式，整理可得恒成立，根據(jù)的范圍，可知函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．【詳解】設(shè)調(diào)出人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作（1）由題意得：，即，又，所以．即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．（2）由題知，，從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以，所以，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】考查了利用不等式解決實(shí)際問題，難點(diǎn)是建立不等式關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值．20．已知橢圓長軸的兩頂點(diǎn)為、，左右焦點(diǎn)分別為、，焦距為且，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為3．（1）求橢圓的方程；（2）在雙曲線上取點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線與橢圓交于點(diǎn)，若直線、、、的斜率分別為、、、．試證明：為定值；（3）在橢圓外的拋物線：上取一點(diǎn)，、的斜率分別為、，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明過程見詳解；（3）.【解析】（1）本小題先建立方程組，再求出，，，最后求出橢圓的方程即可；（2）本小題先得到，再得到，接著判斷，最后得到結(jié)論即可；（3）本小題先用表示出，（且），再建立函數(shù)求導(dǎo)得到的取值范圍，最后求導(dǎo)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)檫^且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，所以，解得：，，，所以橢圓的方程：；（2）由（1）可知：、、、，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，；設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，.又因?yàn)榕c共線，所以，，所以，所以，所以為定值；（3）設(shè)，由，解得：，由在橢圓外的拋物線：上一點(diǎn)，則，則，（且）；，（且），則，（且），則，（且），令，（且），設(shè)，（且），則，所以在，上單調(diào)遞增，所以的取值范圍：，所以的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線相關(guān)的定值問題、圓錐曲線相關(guān)的參數(shù)取值范圍問題，是偏難題.21．設(shè)，若數(shù)列滿足：對所有，，且當(dāng)時(shí)，，則稱為“數(shù)列”，設(shè)，函數(shù)，數(shù)列滿足，．（1）若，且是數(shù)列，求的值；（2）設(shè)，若是數(shù)列，不是數(shù)列，求的取值集合；（3）若，證明：對任意，都存在，使得是數(shù)列．【答案】（1）；（2）；（3）證明見詳解.【解析】（1）根據(jù)題意，將代入表達(dá)式，求出，以及，再根據(jù)數(shù)列的新定義即可求解.（2）根據(jù)數(shù)列的新定義，當(dāng)，只需，即滿足，當(dāng)，只需，即滿足，從而可得的取值集合.（3）逐一列出，根據(jù)數(shù)列的新定義即可證明存在.【詳解】（1），，當(dāng)，解得，，當(dāng)，，解得，此時(shí)，不符合題意，綜上，.（2）當(dāng)，