時(shí)間：二O二一年七月二十九日分類議論思想例題闡發(fā)之邯鄲勺丸創(chuàng)作時(shí)間：二O二一年七月二十九日[線段中分類討思想的應(yīng)用]——線段及端點(diǎn)地點(diǎn)的不確立性引起議論.例1已知直線AB上一點(diǎn)C,且有CA=3AB,則線段CA與線段CB之比為_(kāi)3：2_或_3：4____.練習(xí)：已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上,且線段AB=7cm,點(diǎn)M為C1ABC2線段AB的中點(diǎn),線段BC=3cm,點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng).分析：(1)點(diǎn)C在線段AB上：(2)點(diǎn)C在線段AB的延伸線上例2以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）A、兩條線段訂交有且只有一個(gè)交點(diǎn).B、假如線段AB=AC那么點(diǎn)A是BC的中點(diǎn).C、兩條射線不服行就訂交.D、不在同向來(lái)線上的三條線段兩兩訂交必有三個(gè)交點(diǎn).[與角相關(guān)的分類議論思想的應(yīng)用]——角的一邊不確立性引起討論.例3在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射線OM均分∠AOB,ON均分∠BOC,求∠MON的大小.（20°或50°）[練習(xí)]已知AOB60o,過(guò)O作一條射線OC,射線OE均分AOC,射時(shí)間：二O二一年七月二十九日時(shí)間：二O二一年七月二十九日線OD均分BOC,求DOE的大小.（1）射線OC在AOB內(nèi)（2）射線OC在AOB外這兩種狀況下,都有DOE=AOB60o30o22小結(jié)：（對(duì)分類議論結(jié)論的反?。獮楹谓Y(jié)論同樣？固然AOC的大小不確立,可是所求的DOE與AOC的大小沒(méi)關(guān).我們固然分了兩類,可是結(jié)果是同樣的！這也表現(xiàn)了分類議論的最后一個(gè)環(huán)節(jié)——總結(jié)的重要性.[三角形中分類議論思想的應(yīng)用]一般有以下四種種類：一是因?yàn)橐话闳切蔚男螤畈淮_立而進(jìn)行的分類；二是因?yàn)榈妊切蔚难c底不確立而進(jìn)行的分類；三是因?yàn)橹苯侨切蔚男边叢淮_立而進(jìn)行的分類；四是因?yàn)橄嘞袢切蔚膶?duì)應(yīng)角(或邊)不確立而進(jìn)行的分類.1、三角形的形狀不定需要分類議論例4、在△ABC中,∠B＝25°,AD是BC上的高,而且AD2BD·DC,則∠BCA的度數(shù)為_(kāi)____________.分析：因未指明三角形的形狀,故需分類議論.如圖1,當(dāng)△ABC的高在形內(nèi)時(shí),由AD2BD·DC,得△ABD∽△CAD,從而能夠證明△ABC為直角三角形.由∠B＝25°.可知∠BAD＝65°.所以∠BCA＝∠BAD＝65°.如圖2,當(dāng)高AD在時(shí)間：二O二一年七月二十九日時(shí)間：二O二一年七月二十九日形外時(shí),此時(shí)△ABC為鈍角三角形.由AD2BD·DC,得△ABD∽△CAD所以∠B＝∠CAD＝25°∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°2、等腰三角形的分類議論：a、在等腰三角形中求邊：等腰三角形中,對(duì)給出的邊可能是腰,也可能是底邊,所以我們要進(jìn)行分類議論.例5、已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,則它的周長(zhǎng)等于_________.[練習(xí)]若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分,求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng).簡(jiǎn)析：已知條件并無(wú)指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,所以,應(yīng)有兩種情況.若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm,底邊長(zhǎng)為x19,1x12,xxx6,x8,ycm,可得2或2解得或即當(dāng)腰長(zhǎng)是1y9,y5.1y12,y9.xx226cm時(shí),底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí),底邊長(zhǎng)是5cm.b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一個(gè)角可能指底角,也可能指頂角,所以一定分狀況議論.例6、已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°[練習(xí)]1、等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°,求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù).簡(jiǎn)析：依題意可畫(huà)出圖1和圖2兩種情況.圖1中頂角為45°,時(shí)間：二O二一年七月二十九日時(shí)間：二O二一年七月二十九日?qǐng)D2中頂角為135°.2、在ABC中,AB=AC,AB的中垂線與AC所在直線訂交所得的銳角為50°,則底角∠B=____________.3、直角三角形中,直角邊和斜邊不明確時(shí)需要分類議論例7、已知x,y為直角三角形兩邊的長(zhǎng),知足x24y25y60,則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)____________.分析：由x24y25y60,可得x240且y25y60x12x22鑒別解這兩個(gè)方程,可得知足條件的解y12,或y23因?yàn)閤,y是直角邊長(zhǎng)仍是斜邊長(zhǎng)沒(méi)有明確,所以需要分類議論.當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)鑒別為2,2時(shí),斜邊長(zhǎng)為222222；當(dāng)直角邊長(zhǎng)為2,斜邊長(zhǎng)為3時(shí),另向來(lái)角邊的長(zhǎng)為5；當(dāng)向來(lái)角邊長(zhǎng)為2,另向來(lái)角邊長(zhǎng)為3時(shí),斜邊長(zhǎng)為13.綜上,第三邊的長(zhǎng)為22或5或13.4、相像三角形的對(duì)應(yīng)角(或邊)不確立而進(jìn)行的分類.例8、如下圖,在△ABC中,AB6，AC4，P是AC的中點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q,若以A、P、Q為極點(diǎn)的三角形和以A、B、C為極點(diǎn)的三角形相像,則AQ的長(zhǎng)為（）(A)3(B)3或4(C)3或3(D)4343A析解：因?yàn)橐訟、P、Q為極點(diǎn)的三角形和以A、B、C為極點(diǎn)的三P角形有一個(gè)公共角B（A）,所以依照C相像三角形的判斷方法,過(guò)點(diǎn)P時(shí)間：二O二一年七月二十九日時(shí)間：二O二一年七月二十九日的直線PQ應(yīng)有兩種作法：一是過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC,這樣依照相像三角形的性質(zhì)可得AQAP,即AQ2ABAC64

,解得AQ3；二是過(guò)點(diǎn)P作APQABC,交邊AB于點(diǎn)Q,這時(shí)APQABC,于是有AQAP,即ACABAQ2,解得AQ4.所以AQ的長(zhǎng)為3或4,故應(yīng)選(B).4633四、本節(jié)小結(jié)分類議論思想是在解決問(wèn)題出現(xiàn)不確立性時(shí)的有效方法.線段及端點(diǎn)的不確立；角的一邊不確立；三角形形狀不確立；等腰三角形腰或頂角不確立；直角三角形