2.3向的標(biāo)示課導(dǎo)三剖1.平向量基本定理的理解與應(yīng)【例1】已知A（1，（13，）和（-23、AC為組基底表示

AD

+

BD

+

.思分：題主要考查向量的坐標(biāo)表示向量的標(biāo)運(yùn)算平向量基本定理以及待定系數(shù)法等知識(shí)求時(shí)首先由點(diǎn)ABC、的坐求得向量

AB

、

、

AD

、

BD

、

等的坐標(biāo)，然后根據(jù)平面向量基本定理得到等式++=m·AB+n·AC，列出關(guān)于m、的程組，進(jìn)而解方程求出所表示的系.解

AB

=（，

=（2，

AD

=（-3，BD

=（-4，

=（-5，∴AD++CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)、n使得AD

+

BD

+

=m·

AB

+n·

，∴（-12，）也就是（，）（m+2n,3m+4n.可得3n解得∴AD++CD=32·AB-22·AC.溫提用一組基底e、e表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量a，應(yīng)首先根據(jù)平面向量基本定理寫(xiě)成：a=λe+λe,然后代入各向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成方程組，解得待定系λλ，就是常用的待定系數(shù).2．向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則與向量平行的應(yīng)用【例2】平內(nèi)給定三個(gè)向量（）（）b-a).實(shí)數(shù)的值（）d=(x,y)滿足（d-c）∥(a+b)且d-c|=1.d.思分1）將a、的坐標(biāo)代入a+kc和并別求出其坐標(biāo)，利用兩向量共線的條件即可求得k值（）用d-c與a+b共1

yy.yy.線與|d-c|=1列兩個(gè)關(guān)于x、的程，解程即.解：（1）∵（a+kc）∥(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2).∴2×(3+4k)∴k=

1613

.（）又)a+b)且|d-c|=1,∴

y(x2y245解之得或255∴d=(

205205,)或（,）555溫提向量的加減及實(shí)數(shù)與向量的積向量共線的等價(jià)條件量的模都可用于列方程求未知數(shù)的值【例3】平面內(nèi)已知三個(gè)點(diǎn)A（-270-56.求

AB

，

，

AB

+

，

+

12

.思分：題主要涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入相應(yīng)的公式運(yùn)算即.解∵A(1,5,6),=(7-1,0+2)=(6,2),

=(-5-1,6+2)=(-6,8),AB

+

=(6-6,2+8)=(0,10),

+

1=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)2溫提對(duì)于向量的起點(diǎn)點(diǎn)向量所應(yīng)的三組坐標(biāo)中知二求.對(duì)于向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均需正確掌握其運(yùn)算法則.3.向坐標(biāo)形式的綜合應(yīng)用【例4】已A（-1，2（，）連結(jié)AB延長(zhǎng)至P使AP|=3|BP|，求P點(diǎn)求標(biāo).2

思分：題主要涉及定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.首確定用哪一個(gè)點(diǎn)作分點(diǎn)、起點(diǎn)和終點(diǎn)，正確確定定比λ的，代入公式即可求得點(diǎn)坐標(biāo)解選定P為點(diǎn)A為點(diǎn)B為終點(diǎn)，則P|AP|.可知，與PB方相反，∴=|

AB

所成的兩個(gè)向量為

AP

和

PB

，由圖由定比分點(diǎn)公式，設(shè)P點(diǎn)標(biāo)為x,y則

xy

x(5,1y21所以P點(diǎn)標(biāo)為（，）溫提一般地A、B、三中選哪一個(gè)點(diǎn)作起點(diǎn)、分點(diǎn)或終點(diǎn)都可以，但一經(jīng)確定兩.第三點(diǎn)也隨之確定雖對(duì)各種情況的定比不同，但計(jì)算結(jié)果都一樣，可根據(jù)題目條件恰當(dāng)選擇起點(diǎn)分點(diǎn)和終點(diǎn)確定相應(yīng)的定比λ的優(yōu)化解題過(guò)程而類題目最大的弊是分不清起點(diǎn)與終點(diǎn)，致使公式用.各擊類演1如圖，在ABCD中AH=HD，BF=MC=

14

BC，且

=a，

=b，向量

，

分解向量AM

，

MH

，

，

MD

.解“沿向量

AB

，

AD

分解向量”，就是用向量

AB

，

AD

表示該向量1BM=-MC=b-b=b,43AMABBM=a+b,4MH

=

-

AM

11=b,24AF

=

+

BF

1=a+b,41=AF=a+b,4MD

=HD-

1=b-(a+b)=-a+b.23

∴AM=a+

31b,=-a-b,=a+b,MD=-a+b.44變提1已知向量，用a和b來(lái)示思分：c=ma+nb,然利待定系數(shù)法求出、n值解設(shè)c=ma+nb,即（5，）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有

mn,

解得

m所以c=a-b.類演2已知點(diǎn)、的標(biāo)分別為2，量的坐為2k-1,7p∥，k的為多少？AB解=（，p=(2k-1,7).共線的條件為xy-xy=0,192×7-(2k-1)×5=0,解k=.10變提2(1)已知：（，（，（，4（，-4斷

AB

與

是否共線？解

AB

=（，）（，）（，）,

=（，）（，）（，-8,∵4×(-8)-4×(∴CD,即

AB

與

共線，或

=-2

AB

，

AB

∥

，∴

AB

與

共線.(2)若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且a∥b求x,y的.解法1：∵a∥c,∴b=λa,c=a.則有

x22y解得3.2解法2：∵a，∴4+x=0.-4.又∵a,-3=0

y=

32

.4

類演3已知

AB

為一組基底來(lái)表示

AD

+

BD

+

.解

AB

=（，

=（2，

AD

（-3，

BD

=（-4，

=（，∴AD++CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)、，使得AD

+

BD

+

=m·

AB

+n·

，∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),也就是（，）=(m+2n,3m+4n),32,可得解3n8,∴

AD

+

BD

+

=32

AB

-22

.變提3若點(diǎn),OB=3則點(diǎn)′的坐標(biāo)____________，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)___________，量

''

的坐標(biāo)為_(kāi)__________.解∵O(0,0)，（，（-1，∴

OA

=（，

OB

=（，

OA

=2×(1,2)=(2,4),

OB

′=3×(-1,3)=(-3,9).∴A′(2,4),B′(-3,9),

''

=(-3-2,9-4)=(-5,5).答2，4）（，）（，）類演4已知A（-2，（，線段AB中和三分點(diǎn)、的標(biāo)解：為

AB

=

OB

-

OA=（，）（，）（，）所以O(shè)M=

12

(+OB)11=［］=(-,2).22OP

=

OA

+

13

=(-2,1)+

15(3,2)=(-1,).3

=

OA

+

23

5

=(-2,1)+因此M（

27(3,2)=(0,).3315,2）,P(-1,),Q(0,).23變提4在△ABC中已知A（4，（，（-4BC邊的中線AD的長(zhǎng)（