三角形的高、中線與角平分線

第十一章三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點(diǎn)）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.（重點(diǎn)）3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點(diǎn)）4.熟練運(yùn)用三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)。(難點(diǎn))

小明有兩兄弟，家里買了一塊三角形的蛋糕，你幫他們兄弟兩個(gè)平均分一下這個(gè)蛋糕，我們要怎么分才可以分配均勻？下面我們帶著問題，開始學(xué)習(xí)我們今天的課程ABCD問一問請(qǐng)同學(xué)們回顧一下以前學(xué)習(xí)過的知識(shí)，三角形的面積是怎么算的？畫一畫請(qǐng)同學(xué)們指出圖中的高是哪一條，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手畫出三角形ABC的BC邊上的高？三角形的高問一問

同學(xué)們是怎樣畫出三角形的高的？定義如圖，從△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做△ABC的高.ABCD垂直符號(hào)垂足想一想如何用幾何語言描述三角形的高？∠ADB=∠ADC=90°或AD⊥BC于D做法介紹：在一個(gè)三角形中，首先找到需要畫高的那條邊；其次找到這條邊所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)；最后，過這個(gè)頂點(diǎn)向這條邊所在的直線畫垂線。ABCD畫一畫如圖，請(qǐng)同學(xué)們畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點(diǎn)有什么規(guī)律？（1）鈍角三角形的高所在的直線交于三角形外一點(diǎn).ABCFOEG畫一畫如圖，請(qǐng)同學(xué)們畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點(diǎn)有什么規(guī)律？ABCDEFO（2）銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)；畫一畫如圖，請(qǐng)同學(xué)們畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點(diǎn)有什么規(guī)律？ABC(E,F)D（3）直角三角形的高交于直角的頂點(diǎn)；ABCDEFABC(E,F)DABCGOEF三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，但銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形的高交于直角的頂點(diǎn)，鈍角三角形的高交于三角形外一點(diǎn)。三角形三條高的關(guān)系問題1

如圖所示，在△ABC中，AC=5，BC=6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=4，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，

則BP的最小值為_________.

解析：“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP有最小值，可利用

面積相等來求三角形的高。解：

ABCDP問題2

如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，我們可以得到什么結(jié)論？ACBAC=BC=AB或2AC=2BC=AB三角形的中線說一說類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線ABC定義：如圖，連接△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊中點(diǎn)的線段,叫做△ABC的中線.想一想：我們?cè)鯓佑脦缀握Z言描述三角形的中線？BD=CD=BC或2BD=2CD=BCD中點(diǎn)畫一畫：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鳂I(yè)本上畫出△ABC的BC邊上一條中線；要記住，先找BC邊的中點(diǎn)，再連接對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)A。如圖，請(qǐng)同學(xué)們分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并說說三條中線的交點(diǎn)有什么規(guī)律？ABCDEFO畫一畫：如圖，請(qǐng)同學(xué)們分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并說說三條中線的交點(diǎn)有什么規(guī)律？ABCDEFO畫一畫：如圖，請(qǐng)同學(xué)們分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并說說三條中線的交點(diǎn)有什么規(guī)律？ABCDEFO畫一畫：如圖，請(qǐng)同學(xué)們分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并說說三條中線的交點(diǎn)有什么規(guī)律？畫圖發(fā)現(xiàn)無論三角形的形狀如何，三條中(zhong)線都交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).這一點(diǎn)我們稱為三角形的重(zhong)心.ABCDEFOABCDEFOABCDEFO問題3

如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？BCDEA答：相等，因?yàn)楦鶕?jù)三角形的面積公式S=?×底×高，兩個(gè)三角形等底同高，所以它們面積相等.問題4

通過問題3你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線能將三角形的面積平分.

那么我們?cè)谏险n時(shí)提出的平分三角形蛋糕的問題要如何解決？答：我們只要作三角形蛋糕底邊的一條中線就可以把三角形蛋糕分成兩部分了，是因?yàn)槿切蔚闹芯€能將三角形的面積平分.問題5

如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？ACBO答：∠AOC=∠BOC=?∠AOB畫一畫

請(qǐng)同學(xué)們看一下三角形的角平分線是怎么畫的？動(dòng)手畫一畫三角形的角平分線問題6

請(qǐng)同學(xué)們回想一下前面學(xué)習(xí)的知識(shí)，畫出△ABC的另外兩條平分線，再類比探索三角形的高和中線的過程，你能得到哪些結(jié)論？BCDA((答：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).

定義：如圖，畫A的平分線AD，交A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線。想一想：三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎？

相同點(diǎn)是：∠

BAD=∠CAD;

不同點(diǎn)是：三角形的角平分線是線段，角的平分線是射線.問題7如圖，AD、BD、CF是△ABC的三角形平分線，則∠BAD=＿＿＿＿,∠CBE=?_______,∠ACB=2________.ABCDEF∠CAD∠ABC∠ACFBCDA((三線的異同？？？三角形“三線”的相同點(diǎn)：（1）都是線段（2）都從頂點(diǎn)畫出（3）所有直線相交于一點(diǎn)三角形“三線”的不同點(diǎn)：（1）三角形的三條高可能交于三角形的內(nèi)部、邊上以及三角形的外部；而三角形的中線和角平分線都交于三角形的內(nèi)部練習(xí)1下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD鞏固練習(xí)練習(xí)2

如圖，已知AD,AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°,試求：（1）△ABE的面積；（2）△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差.ABCDE解：（1）（2）∵AE是△ABC的中線，

∴BE=CE.

∴△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差

=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)規(guī)律總結(jié)三角形中線AE把原三角形分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差就是AC與AB的差.ABCDE練習(xí)3

如圖，在△ABC中，請(qǐng)作圖

（1）畫出△ABC的∠C的平分線；

（2）畫出△ABC的邊AC上的中線；（3）畫出△ABC的邊BC上的高ABCDEF答：CF是一條角平分線；BE是AC邊上的中線；AD是邊BC上的高.注意畫高要標(biāo)明垂直符號(hào).三角形的角平分線，中線及高都要畫成線段.線段名稱圖形描述結(jié)論運(yùn)用、重點(diǎn)

高AD是△ABC的高鈍角三角形的高的畫法，以及“等面積法”的運(yùn)用中線AE是△ABC的中線將△ABE與△ACE的周長(zhǎng)之差轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的差，以及三角形面積的等分問