.../基于馬爾科夫鏈與灰色GM<1,1>的圖書借閱量的預測模型的研究摘要通過分析圖書借閱量的特點,建立了基于馬爾科夫鏈的圖書借閱量的預測模型和灰色GM<1,1>模型預測,并對兩種模型預測結(jié)果相對比分析,得出馬爾柯夫鏈理論適用于預測隨機波動大的動態(tài)過程,在這一點上恰恰可以彌補灰色預測的局限.馬氏鏈預測對象要求具有馬氏鏈和平穩(wěn)過程等均值的特點,而客觀世界中的預測問題大量是隨時間變化或呈某種變化趨勢的非平穩(wěn)過程.如果采用灰色GM〔l,l模型對預測問題的時序數(shù)據(jù)進行擬合,找出其變化趨勢,則可以彌補馬氏鏈預測的局限,而在灰色預測的基礎(chǔ)上進行馬爾柯夫預測,又可以彌補灰色預測對隨機波動大的數(shù)據(jù)序列預測準確度低的缺陷。從而兩種模型相互結(jié)合可以較準確地圖書館借閱量情況進行預測。關(guān)鍵詞：圖書借閱量馬爾科夫鏈預測灰色系統(tǒng)模型GM<1,1>1模型假設52模型的建立與求解62.1馬爾可夫預測法基本原理及方法62.1.1馬爾可夫預測法概述62.1.2馬爾科夫鏈的特點[2]62.1.3馬爾科夫預測法基本概念[3-5]6．1狀態(tài)6狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程7馬爾科夫過程7馬爾科夫鏈7狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率7概率矩陣7狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣8馬爾科夫鏈預測算法步驟82．1.5利用馬爾科夫預測法分析實際案例92.2灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型預測借閱量122.2.1灰色系統(tǒng)GM<1,1>模型12后驗差檢驗142.2.3實例分析153馬氏鏈模型與灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型的比較與評價及改進184結(jié)論19參考文獻21附錄22引言：一般來說,管理的關(guān)鍵是決策,而預測是決策的前提。借閱量是圖書館業(yè)務統(tǒng)計中的重要指標,可以衡量圖書館情報部門的工作質(zhì)量與效益。有關(guān)借閱量的調(diào)查、統(tǒng)計、分析、預測等研究和探討,一直是圖書情報學界的研究熱點。本文利用建立馬氏鏈模型,預測了未來連續(xù)若干個周次的借閱量,從而為制定圖書館管理提供了一定的理論依據(jù)。其次本文運用灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型,與馬氏鏈模型的預測結(jié)果進行了比較和評價,對于圖書館管理的改進,有了更進一步的指導作用1模型假設由某資料室近11周圖書借閱量知道第8周只有周四、五的借閱量,我們假設第8周的周一、二、三放假,圖書借閱量為零。在預測未來第12、13、14、15周的借閱量時,我們假設該單位沒有放假,圖書館正常開放,并且該單位沒有舉行一些與該圖書館有關(guān)的活動,例如：讀書周或讀書日,考試,比賽等。在預測圖書借閱量時,我們是利用一周總的借閱量,并且預測一周總的借閱量。馬爾科夫鏈預測只與前一周的借閱量有關(guān),由于第8周的借閱量不足一周,對預測的誤差較大,故在利用馬爾科夫鏈預測時,我們假設第8周,放假一周。在利用GM〔1,1預測時,我們假設只用前七周的借閱量,來預測未來8周的借閱量,并且利用實際的第9、10、11周的借閱量,和模擬值的第9、10、11周的借閱量對比,來檢驗GM〔1,1的精確度。2模型的建立與求解2.1馬爾可夫預測法基本原理及方法馬爾可夫預測法概述馬爾可夫是俄國的一位著名數(shù)學家<1856—1922>,他提出的預測方法具有較高的科學性、準確性和適應性,在現(xiàn)代預測方法中占有重要地位。馬爾可夫預測法以系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為分析對象,對服從給定狀態(tài)轉(zhuǎn)移率、系統(tǒng)的離散穩(wěn)定狀態(tài)或連續(xù)時間變化狀態(tài)進行分析。在該模型中,系統(tǒng)的連續(xù)時間變化被劃分成多個狀態(tài)以代表不同時刻的工作模式。馬爾可夫預測技術(shù)是應用馬爾可夫鏈的基本原理和方法研究分析時間序列的變化規(guī)律,并預測其未來變化趨勢的一種技術(shù)[1]。2.1.2馬爾科夫鏈的特點[2]——過程的離散性。該系統(tǒng)的發(fā)展,在時間上可離散化為有限或可列個狀態(tài)?！^程的隨機性。該系統(tǒng)內(nèi)部從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)是隨機的,轉(zhuǎn)變的可能性由系統(tǒng)內(nèi)部的歷史的概率值表示?！^程的無后效性。系統(tǒng)內(nèi)部的轉(zhuǎn)移概率值與當前狀況有關(guān),而與以前的狀態(tài)無關(guān)。凡是滿足以上3個特點的系統(tǒng),均可用馬爾科夫鏈研究其過程,并可預測未來。2.1.3馬爾科夫預測法基本概念[3-5]2.1.3．1狀態(tài)某種現(xiàn)象在某時刻〔或時期出現(xiàn)的某種結(jié)果,稱系統(tǒng)處在"狀態(tài)"。如圖書館借閱量狀態(tài)：低谷期、正常期、高峰期等等。2.1.3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程事件的發(fā)展,從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài),稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。2.1.3.3馬爾科夫過程在事件發(fā)展過程中,若每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān),而與過去狀態(tài)無關(guān),或說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是無后效性的,則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾科夫過程。2.1.3.4馬爾科夫鏈如n個狀態(tài),每隔單位時間才可能發(fā)生,具有無后效性,則可看作一個馬爾科夫鏈。本文只介紹齊次馬氏鏈的應用,即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與所在時刻無關(guān)。2.1.3.5狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率條件概率反映狀態(tài)向狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率,稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,簡稱為：@@2.1.3.6概率矩陣若矩陣滿足條件：則稱為隨機矩陣,或概率矩陣。2.1.3.7狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣——一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如預測對象有n個可能狀態(tài),從某種狀態(tài)向這n種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率為,,稱矩陣為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：——k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣K步轉(zhuǎn)移概率矩陣：事物由狀態(tài)經(jīng)過k步運行,轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率,記為。對應的矩陣記為。K步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等于k個一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之積,即=P的k階乘。2.1.4馬爾科夫鏈預測算法步驟——劃分預測對象所出現(xiàn)的狀態(tài)——計算初始概率初始概率：指分析歷史數(shù)據(jù)所得到的某一狀態(tài)出現(xiàn)的頻率。設有n個狀態(tài)。觀察了M個時期,其中狀態(tài),出現(xiàn)了次,于是就是出現(xiàn)的頻率即近似概率。——計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：從個出發(fā),計算轉(zhuǎn)向狀態(tài)的個數(shù),進而計算=得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P,并可由此得K不狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?！鶕?jù)轉(zhuǎn)移概率進行預測從最后一個狀態(tài)出發(fā),選擇中最大者為k步預測結(jié)果。2．1.5利用馬爾科夫預測法分析實際案例某單位資料室近11周圖書館借閱量如下表所示：周周次借閱量星期1234567891011一942114282111669007311098807810862二978854716823735648904760931715三1039710683697719525821770265788四1077640419602550651564574560204482五12918915231081992303109410738874111063表1：近11周圖書館借閱量匯總周次123456791011借閱量5327423731624369389628584481378426213910由原始數(shù)據(jù)作出圖書館借閱量趨勢圖〔如下圖馬氏鏈模型根據(jù)資料室近11周的借閱量的有關(guān)數(shù)據(jù),預測了12—15周圖書館的借閱量。具體操作步驟如下：第一步：劃分借閱量狀態(tài)低谷期：借閱量<3000;正常期：3000借閱量4000高峰期：借閱量>4000第二步：計算初始概率低谷期狀態(tài)點數(shù)=2；正常期狀態(tài)點數(shù)=4；高峰期狀態(tài)點數(shù)=4；第三步：計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率表2圖書借閱量狀態(tài)匯總當前所處狀態(tài)下期所處狀態(tài)低谷期正常期高峰期合計低谷期0112正常期2013高峰期0314由表2可知圖書借閱高峰期4次,正常期3次,低谷期2次,其中：高峰期連續(xù)出現(xiàn)1次,高峰期轉(zhuǎn)入正常期3次,高峰期轉(zhuǎn)入低谷期0次；正常期連續(xù)出現(xiàn)0次,正常期轉(zhuǎn)入高峰期1次,正常期轉(zhuǎn)入低谷期2次；低谷期連續(xù)出現(xiàn)0次,低谷期轉(zhuǎn)入高峰期1次,低谷期轉(zhuǎn)入正常期1次；最后一個點的轉(zhuǎn)移狀態(tài)無法確定,所以對應數(shù)值不參與計算。則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：第四步：預測計算與結(jié)果分析〔見matlab附件〔1由表1知第11周圖書借閱量為3910冊,可知它屬于正常期狀態(tài),由1階矩陣可知,2/3最大,故可預測第12周圖書借閱量很可能是低谷期狀態(tài),低于3000冊。同理分析可知,第13圖書借閱量很可能是正常期,介于3000冊和4000冊；第14周圖書借閱量很可能是低谷期,低于3000冊；第15周圖書借閱量很可能是正常期,介于3000冊和4000冊。利用馬氏鏈預測12—15周圖書館借閱量,結(jié)果繪制成折線圖,如下圖所示：圖1：馬氏鏈預測12—15周圖書館借閱量趨勢圖應用馬爾科夫鏈模型建立圖書館借閱量的預測模型,是依據(jù)原始數(shù)據(jù)中的最后1周作為初始狀態(tài),運用模型來預測以后幾周的借閱狀態(tài)。為圖書管理人員把握圖書借閱量的整體趨勢提供了可靠依據(jù)。2.2灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型預測借閱量2.2.1灰色系統(tǒng)GM<1,1>模型GM<1,1>模型是最常用的一種灰色模型,它是由一個只包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的模型[6]。設有變量的原始數(shù)據(jù)序列:用累加生成算法生成一階累加生成模塊:其中=由一階灰色模塊構(gòu)成的微分方程:按導數(shù)的定義,有：若以離散形式表示,微分項可寫成：其中x值只能取時刻k和k+1的平均值,即:微分方程可改寫成:寫成矩陣形式,有：上述方程組中,Y和X為已知量,B為待定參數(shù)。由于變量只有a和b二個,而方程個數(shù)卻有N-1個,而N-1>2,故方程組無解。但可用最小二乘法得到最小二乘解。方程可改寫為:Y=X+E式中E為誤差項。欲使利用矩陣求導公式,可得：回到原來的微分方程,有：解之得：2.2.2后驗差檢驗預測模型得到的預測值,必須經(jīng)過統(tǒng)計檢驗,才能確定預測精度等級。這里介紹后驗差檢驗準則。1后驗差比值C。所謂后驗差比值C是殘差方差與數(shù)據(jù)方差之比。顯然,殘差方差越小,預測值精度越高,但其數(shù)值大小與原始數(shù)據(jù)大小有關(guān),為了取得統(tǒng)一的衡量標準,故取兩者之比,即有：式中：2小誤差概率P。按上述兩個指標把預測等級劃分為四等〔見表1表1模型精度綜合評定預測精度等級PC一、好>0.95<0.35二、合格>0.8<0.45三、勉強>0.7<0.5四、不合格0.70.652.2.3實例分析某單位資料室近11周圖書館借閱量如下表所示：表1：近11周圖書館借閱量匯總周次123456791011借閱量5327423731624369389628584481378426213910利用前七周的數(shù)據(jù)進行預測,具體步驟如下所示：〔周次借閱量15327242373316244369538966285874481應用灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型,估計最小二乘參數(shù)：x={5327,9564,12726,17095,20991,23849,28330}X=Y===于是,有故可得微分方程為+0.x〔1=3855.49195569993則響應函數(shù)為x<1><t>==<5327-2998120.48884663>e-0.t+2998120.48884663=-2992793.488846630e-0.t+2998120.48884663 根據(jù)t=0時,的初始條件,把響應函數(shù)寫成離散的白化型響應式:<1>其中。由〔1式算得數(shù)據(jù)為累加生成序列的擬合值,當k>7時算得的是預測值。然后再用累減生成還原得到數(shù)據(jù)序列的一次擬合值〔2利用3.3中的一次擬合函數(shù)〔2,可以得到前七周的一次擬合值及殘差,如表2所示表2：前七周的一次擬合值及殘差周次實際值一次擬合值殘差1532753270295649173.2390.831272613014.4-288.441709516850.7244.352099120682.0309.062384924508.5-659.572833028330.00；832146.683817<模擬值>灰色系統(tǒng)模型預測借閱量的后驗差檢驗〔過程見matlab附件〔2=118000.1253061225=598040.9795918368后驗差比值：C=小誤差頻率：P=1灰色系統(tǒng)模型預測借閱量精度綜合評定——合格利用3.3中的響應函數(shù)〔1,可以得到第9—16周的借閱量的預測結(jié)果〔見表3表3：9—16周圖書館借閱量的預測結(jié)果周次模擬值93812103807113802123797133792143787153782由于知道9-11周的原始數(shù)據(jù),故9-11周的相對誤差分別為0.73%,45.2%,2.76%。GM〔1,1較為準確預測出9-11周的值。3馬氏鏈模型與灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型的比較與評價及改進圖書的借閱量具有很大的波動性與隨機性,利用馬爾科夫鏈構(gòu)建的預測模型是一種應用于隨機過程預測的科學有效地方法,它立足于通過統(tǒng)計等途徑來獲取資料,不需要收集大量的歷史數(shù)據(jù)就能對圖書借閱量進行預測?；疑到y(tǒng)模型是控制論和系統(tǒng)論的重要研究內(nèi)容。根據(jù)灰色系統(tǒng)模型的基本原理,利用7周的借閱量,運用累積法求解GM〔1,1模型中的發(fā)展系數(shù)a和灰色作量b,得出預測借閱量的白化型響應式,不僅能夠降低運算量,也能提高預測精度,成功預測了12—15周的借閱量。檢驗其預測結(jié)果,從數(shù)理統(tǒng)計的區(qū)間估計來看馬氏鏈模型預測的為一個區(qū)間相對于灰色系統(tǒng)GM<1,1>其可靠度相對較高,灰色系統(tǒng)GM<1,1>預測的唯一準確值其精度相對較高,從預測要求若需要較可靠的值則首選馬氏鏈模型預測結(jié)果?？紤]預測精度則首選灰色系統(tǒng)GM<1,1>預測結(jié)果。馬爾柯夫鏈理論適用于預測隨機波動大的動態(tài)過程,在這一點上恰恰可以彌補灰色預測的局限.馬氏鏈預測對象要求具有馬氏鏈和平穩(wěn)過程等均值的特點,而客觀世界中的預測問題大量是隨時間變化或呈某種變化趨勢的非平穩(wěn)過程.如果采用灰色GM〔l,l模型對預測問題的時序數(shù)據(jù)進行擬合,找出其變化趨勢,則可以彌補馬氏鏈預測的局限,而在灰色預測的基礎(chǔ)上進行馬爾柯夫預測,又可以彌補灰色預測對隨機波動大的數(shù)據(jù)序列預測準確度低的缺陷。上述實例表明,將馬爾科夫預測與灰色系統(tǒng)預測相結(jié)合比較,取長補短,克服了兩種預測方法各自的缺陷,這在統(tǒng)計預測領(lǐng)域中具有重要的理論和實踐意義。故灰色馬爾科夫鏈預測有更好地推廣價值。4結(jié)論本文首先建立馬氏鏈模型,對圖書館借閱量預測問題進行了分析,在問題討論當中充分利用了馬爾柯夫鏈的特點,即考慮了從時間序列中挖掘數(shù)據(jù)的演變規(guī)律,通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣反映數(shù)據(jù)的隨機特征,得出了較為準確的預測結(jié)果。其次又利用灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型,得出預測借閱量的白化型響應式,不僅能夠降低運算量,也能提高預測精度,成功預測了12—15周的借閱量。實證結(jié)果表明,將GM〔1,1-Markov模型應用于圖書借閱行為流量的預測是切實可行的,可以得到較高的預測精度,這也為圖書借閱行為流量的定量分析提供了一種新途徑。由馬爾科夫鏈模型與灰色系統(tǒng)GM〔1,1模型的結(jié)合比較預測結(jié)果,我們可以發(fā)現(xiàn)圖書館借閱量在未來的第12—15周較之前相比有所下降,這就為圖書館管理工作人員在以后的工作中提供了一定的依據(jù)。附錄附件：〔1matlab矩陣計算過程a=[0,1/2,1/2;2/3,0,1/3;0,3/4,1/4]a=00.500000000000000.500000000000000.6666666666666700.3333333333333300.750000000000000.25000000000000>>a^2ans=>>a^3ans=0.250000000000000.385416666666670.36458333333333>>a^4ans=0.256944444444440.398437500000000.344618055555560.322916666666670.35546875000000=[0,1/2,1/2;2/3,0,1/3;0,3/4,1/4]a=00.500000000000000.500000000000000.6666666666666700.3333333333