學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年上學(xué)期湘東五校聯(lián)考高二年級(jí)期末考試?yán)頂?shù)學(xué)試題時(shí)間:120分鐘 滿分：150分一、選擇題本大題共12小題每題5共0分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合A＝{x｜x2＋4x＋3≥0}，B＝｛x|2x<1｝,則A∩B＝（ ）A．[－3,－1］ B．（－∞，3］∪［－1，0)C．(－∞，3)∪(－1，0］ D．(－∞，0)3＋i2。已知復(fù)數(shù)z＝

，其中i為虛數(shù)單位，｜z|＝( )2(1＋i）1A。2 B。1 C. 2 D．2x3。設(shè)命題p：若x,y∈R，x＝y(tǒng),則＝1；命題q:若函數(shù)f(x）＝ex，則對(duì)任意x≠x都有y 1 2f（x1)－f（x)x1－x2( ）

>0成立．在命題p∧q,②p∨q,③p∧q，④p∨q中，是真命題的是A．①③ B。①④ C。②③ D.②④4.橢圓x2+my21的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A.（

3,0) B。(1,0） C。(0，1） D。（0, 3）5。甲乙丙三人相約晚7時(shí)到8時(shí)之間在某地會(huì)面已知這三人都不會(huì)違約且無(wú)兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到達(dá)，丙第三個(gè)到達(dá)的概率為( )1 1 1 1A。 B。 C。 D.3 4 5 66.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)：今有與人錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之,轉(zhuǎn)多一錢，與訖,還斂聚與均分之，人得一百錢，問(wèn)人幾何？意思是：將錢分給若干人第一人給3錢第二給4第3人給5錢以此類推每人比前一人多給1錢，分完后，再把錢收回平均分給各人，結(jié)果每人分得100錢，問(wèn)有多少？則題中的人數(shù)是（ ）A.193 B。194 C。 195 D.1967。函數(shù)f(x)＝Asin（ωx＋φ）(A〉0ω〉0）的部分圖像如下圖所示則11π的值為( ）246A．－2

3B．－2

2C．－2

D．－1 8若｜｜=1，|b|=2，b，且，則向量與b的夾角為（ ）A.300 B。600 C.1200 D.15002π9某幾何體的三視圖如下圖所示，若該幾何體的體積為3 ,則a的值( ）3A．1 B．2 C．22 D.210．執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的i＝3，則輸入的a（a>0）的值所在范圍( ）A。[9,＋∞)

B。［8,9]x2 y2

C。［8，144）

D.[9，144)11.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 —a2 b2

1(a〉0，,b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F2為圓心|OF2｜為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ )A。 3 B. 3+1 C.2 D。2xx012。已知函數(shù)f（x）=lx0

，若函數(shù)y=|f（x）｜—a有4個(gè)零點(diǎn)x1，x2,x3，x4,則x1+x2+x3+x4的取值范圍（ )81 11 81A.,］10

B。, ］10

C.)

D，]10第Ⅱ(非選擇題 共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題～第3題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共0分．13。函數(shù)f（x)=ax+lnx在x1處的切線與直線x—y+10垂直,則實(shí)數(shù)a= 314.

1x－ 2x

12的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng) 15。在C中，已知AB=3,C=，則AB的最大值316。一個(gè)樣本容量為20的樣本數(shù)據(jù)它們組成一個(gè)公差為0的等差數(shù)｛an若2=6且前4項(xiàng)和為S4=28，則此樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別、三、解答題：本大題共6小題,共0分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（本小題12分）已知數(shù)列an｝前n項(xiàng)為Sn,Sn=2n-1,數(shù)列bn｝為等差數(shù)列，且b1=a1，b6=5（1)求數(shù)｛an｝｛bn｝的通項(xiàng)公式2若Cn=ann，求數(shù)列｛n｝前n項(xiàng)和Tn。18.(本小題12分如圖所示四邊形ABD是正方形△B與△D均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,點(diǎn)F是B的中點(diǎn)點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)．（1)求證：F⊥EF；（2）求二面角A?PC?B的平面角的正弦值．19.（本小題12分)有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：所用的時(shí)（天數(shù))10111213通過(guò)公路1的頻數(shù)20402020通過(guò)公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日（某月某)的前1天出發(fā)汽車B只能在約定日期的前12天出(將頻率視為概)．(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙,估計(jì)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路徑?（2)若通過(guò)公路1、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為32萬(wàn)元、1。6萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì))，此項(xiàng)費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān)．若生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬(wàn)元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給生產(chǎn)商2萬(wàn)元若在約定日期后送到每遲到一天生產(chǎn)商將支付給銷售商2萬(wàn)元如果汽車AB按（1)中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車為生產(chǎn)商獲得的毛利潤(rùn)更大．x2 y220.（本小題12分)在直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C1： ＋

（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為a2 b22F1，F(xiàn)2，其中F2也是拋物線C2:y＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，|MF|5＝。（1）求橢圓C1的方程（2）若過(guò)點(diǎn)（4,0）的直線l與C1交于不同的點(diǎn)A，B且A在3DB之間,試求AOD與△BOD面積比值的取值范圍．x221。（本小題12分）設(shè)數(shù)（x)＝2－lnx(≠0）．（1)討論（x）的單調(diào)性和極值；（2）證明:當(dāng)0時(shí)，若（x)存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)涂黑．把答案寫在答題卡上x(chóng)＝3cosθ，22．(本小題10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程y＝sinθ數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，線l的極坐標(biāo)方程為π

(θ為參ρsinθ＋

＝2。(1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲4線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最大值。23（本小題10分）設(shè)f(x)＝|2x－1|＋｜1－x｜(1）解不等式f(x)≥x＋4；(2）若對(duì)任意的x∈R，不式f(x)≥（m2－3m＋3）·｜x｜恒成立，求數(shù)m的取值范圍。

2017年上學(xué)湘東五校聯(lián)考高二年期末考試?yán)頂?shù)學(xué)答案時(shí)間：120分鐘 滿分150分第Ⅰ(選擇題 共60分)一、選擇題本大題共12小題每題5共0分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合A＝{x｜x2＋4x＋3≥0｝，B＝｛x｜2x〈1｝，則A∩B＝( B）A．[－3，－1]B．(－∞，3］∪[－1,0）C．(－∞，3)∪（－1,0]D．(－∞,0）3＋i2.已知復(fù)數(shù)z＝

，其中i為虛數(shù)單位，|z｜＝（B ）2(1＋i）1A。2B.1C。 2D．2x3.設(shè)命題p：若x，y∈R，x＝y(tǒng),則＝1；命題q：若函數(shù)f（x）＝ex，則對(duì)任意x≠x都有y 1 2f（x1）－f（x）x1－x2( D ）

>0成立．在命題p∧q，②p∨q,③p∧q，④p∨q中，是真命題的是A．①③ B。①④C。②③D.②④4。橢圓x2+my21的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ D ）A.（

3，0） B.（1，0） C。(0，1） D.(0， 3）5.甲乙丙三人相約晚7時(shí)到8時(shí)之間在某地會(huì)面已知這三人都不會(huì)違約且無(wú)兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到達(dá)，丙第三個(gè)到達(dá)的概率為（ D ）A。1B。3

1C.4

1D.15 66.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)：今有與人錢,初一人與三錢,次一人與四錢，次一人與五錢,以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢，問(wèn)人幾何？意思是：將錢分給若干人第一人給3錢第二給4第3人給5錢以此類推每人比前一人多給1錢,分完后,再把錢收回平均分給各人，結(jié)果每人分得100錢，問(wèn)有多少？則題中的人數(shù)是（ C )A.193 B.194 C。 195 D.19611π的值為7。函數(shù)f（x）＝Asin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0)的部分圖像如圖8-4所示，則f24( D )圖16 3 2A．－2B．－2C．－2D．－1 8若｜｜=1,｜b｜=2，b，且，則向量與b的夾角為（ C ）A.300 B。600 C。1200 D。15002π9某幾何體的三視圖如圖1。2所示,若該幾何體的體積為3 ,則a的值為( B )圖23A．1 B．2 C．22 D.210執(zhí)行如圖1。3所示的程序框圖若輸出的i＝3則輸入的a（a〉0）的值所在范圍（ D )A.[9，＋∞)

B。［8,9]

圖3C.[8，144)

D。［9，144）x2 y211.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 —a2 b2

1（a>0，,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F2為圓心｜OF2|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ D )A. 3 B. 3+1 C。2 D.2xx012。已知函數(shù)（x=lx0

若函數(shù)y=｜（x）｜—a有4個(gè)零點(diǎn)1x2x3x4則x1+x2+3+x4的取值范圍的取值范圍（A ）A。081，］B。211，1010］ C.

)

D,]10第Ⅱ（非選擇題 共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題~第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答，第22題～第3題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共0分．13。函數(shù)f（x)=ax+lnx在x1處的切線與直線x—y+10垂直，則實(shí)數(shù)a= —2 13 12 55113。

x－ 2x

的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為－214.在C中,已知AB=3,C=，則AB的最大值為33 215。一個(gè)樣本容量為20的樣本數(shù)據(jù)它們組成一個(gè)公差為0的等差數(shù)｛an若2=6且前4項(xiàng)和為S4=28，則此樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分為23,23三、解答題:本大題共6小題,共0分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17。(本小題12分）已知數(shù)列an｝前n項(xiàng)為Sn，Sn=2n-1，數(shù)列bn｝為等差數(shù)列，且b1=a1，b6=5（1）求數(shù)｛an｝{bn｝的通項(xiàng)公式2若Cn=ann，求數(shù)列{n｝前n項(xiàng)和Tn。解:由Sn=2an—1（1)n2Sn-1=2a-1—1（2）（1)-(2）得：an=2an-2an1，即an=2n-1，n=1得1=1na=2n-1n

3分b1=a1=1,b6=a5=6且｛bn｝為等差數(shù)列公差d=3，bn=3n-2

6分n-（2）由錯(cuò)位相減法求和Cn=anbn=(3n—2）20 1 2

n-，Tn=12+42+72++(3n-2）2

（1）1 2 3

n-

n, 2Tn=12+42+72++（3n—5）2（1）—(2）得：

+(3n—2)2

(2) 8分0 1 2

n-， ,-Tn=12+32+32++321—2n1

-(3n—2)2=1+3

1-2

—(3n-2)2n，

10分=(3n—5)2n+5

12分18.如圖所示,四邊形BD是正方形，△B與△AD均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)F是B的中點(diǎn)點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)．(1）求證：F⊥EF;（2）求二面角A?PC?B的平面角的正弦值．解:(1)證明：F是PB的中點(diǎn)且A＝AB，∴AF⊥B。∵△B與△D均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴A⊥A，A⊥B。又∵A∩ABA,A平面BD，AB平面ABD，∴A⊥平面ABD。∵B平面ABD,∴A⊥B.∵四邊形ABD是正方形,∴B⊥AB。又∵A∩B＝A，A平面B，B平面B,∴B⊥平面B?！逜F平面AB，∴B⊥AF。3分∵PB∩B＝BPB平面PB，B平面B，∴AF⊥平面PB.∵EF平面B,∴AF⊥F。5分（2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以AABAP所在直為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?。設(shè)A＝1則P(0，0，)，(0，1,0），（1,1，0），(1，0，),→ →∴P＝（0,1，－1)B＝（1，0，0）．設(shè)平面PC的法向量為m＝(，，)，→mP＝0,由→

－＝0，得＝0，

令＝1,得＝1，mB＝0，∴m＝(0，1,)為平面PBC的一個(gè)法向量7分∵A⊥平面ABD，A平面A，∴平面A⊥平面AB。連接B，則B⊥A.∵平面A∩平面AB＝A，B平面ABD，∴B⊥平面A，→∴平面AC的一個(gè)法向量B＝(1，－1，0)9分→設(shè)二面角A?PC?B的平面角為θ，→，→ mBD，

1

11分則csθ＝cosmB〉|＝

→＝2，∴snθ＝1－co2θ＝3，

｜mB｜2∴二面角A?PC?B的平面角的正弦值為3。2分219。有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下:所用的時(shí)（天數(shù))10111213通過(guò)公路1的頻數(shù)20402020通過(guò)公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日（某月某）的前1天出發(fā)汽車B只能在約定日期的前12天出(將頻率視為概)．（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計(jì)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路徑？（2）若通過(guò)公路1、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為32萬(wàn)元、1。6萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì))，此項(xiàng)費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān)．若生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬(wàn)元;若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給生產(chǎn)商2萬(wàn)元若在約定日期后送到每遲到一天生產(chǎn)商將支付給銷售商2萬(wàn)元如果汽車AB按(1)中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車為生產(chǎn)商獲得的毛利潤(rùn)更大．解：（1)頻率分布表如：所用的時(shí)(天數(shù)）10111213通過(guò)公路1的頻率0.20.40.20.2通過(guò)公路2的頻率0。10。40.40.1設(shè)A1A2分別表示汽車A在約定日期前1天出發(fā)選擇公路12將貨物運(yùn)往城市乙設(shè)B1，B2分別表示汽車B在約定日期前2天出發(fā)選擇公路12將貨物運(yùn)往城市乙．則P（A1）＝0.2＋0。4＝0。6,P(A2）＝0.1＋0。4＝0。52分P（B1）＝0.2＋0.4＋0。2＝0.8，P(B2）＝0.1＋0。4＋0。4＝0。9.4分故汽車A選擇公路1，車B選擇路26分（2)設(shè)X表示汽車A選擇公路1時(shí)，銷售商付給生產(chǎn)商的費(fèi)用則X的所有可能取值有42,40，38，36,則X的分布列如下：X42403836P0。20.40。20。2∴E（X）＝42×0.2＋40×0。4＋38×0。2＋36×0。2＝39.2,∴汽車A選擇公路1的毛利潤(rùn)是39.2－3。2＝36(萬(wàn)元）9分設(shè)Y表示汽車B選擇公路2時(shí)銷售商付給生產(chǎn)商的費(fèi)用則Y的所有可能取值有44，42，40，38，則Y的分布列如下：Y44424038P0.10。40。40.1∴E(Y）＝44×0。1＋42×0.4＋40×0。4＋38×0.1＝41，∴汽車B選擇公路2的毛利潤(rùn)是41－1.6＝39.4（萬(wàn)元）．∵36<39。4,∴汽車B為生產(chǎn)商獲得的毛利潤(rùn)更大2分x2 y220。（本小題12分在直角坐標(biāo)系xOy圓C1：＋

＝1（a〉b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，a2 b22 5F2，其中F2也是拋線C2:y＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為1與2在第一象限的交點(diǎn),｜MF2｜＝。3(1)求橢圓C1的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)D(4，0）的直線l與C1交于不同的點(diǎn)A，B，且A在DB之間，試求AOD與△BOD面積比值的取值范圍．解：（1)依題意知F2（1，0)，設(shè)M（1，y1）．5 2由拋物線定義｜MF2｜＝1＋x1＝，即x1＝.32 26

3將x1＝代入拋物線方程得y1＝ ， 2分3 32 2622 22 22 22 23

3由a2＋

b2 ＝1及a－b＝1，解得a＝4,b＝3。x2 y2

故橢圓C1的方程為4＋3＝1.

5分x2 y2(2)依題意知直線l的斜率存在且不為0設(shè)l的方程為x＝my＋4，代人4＋3＝1，整理得（3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0,解得m2〉4。－24my1＋y2＝ ，①設(shè)A(x1，y1)，B（x2，2）,

3m2＋436

7分y1·y2＝ ，②3m2＋4S△AOD

1｜OD｜·|y｜12 y11令λ＝

，則λ ＝

＝21|OD｜·｜y｜2

，且0〈λ<1.y2yS△BOD 2

－24m，（λ＋1）y2＝3m2＋4，

將y1＝λy2代入①② 36 9分λy2＝ ,2 3m2＋4(λ＋1）2消去y2得 ＝

16m2

4（λ＋1）2，即m2＝ 。λ（λ＋1）2

3m2＋4

10λ－3λ2－3由m2〉4得

>1，∴λ≠1且3λ2－10λ＋3<0,10λ－3λ2－31解得<λ<1或1〈λ〈3.31 1 又∵0<λ<1，∴

<λ<1故△AOD與△BOD面積比值的取值范圍為

，1。32分

3 x221.(本小題12分)設(shè)數(shù)（x)＝2－lnx(≠0）．（1）討論(x)的單調(diào)性和極值；(2）證明:當(dāng)0時(shí)，若(x）存在零，則f（x)在區(qū)(1，］上僅有一個(gè)零點(diǎn)．－解：(1)f（）的定義域(0,＋∞）f′（x)＝xa＝－x

x2－a。 1。 1分①當(dāng)〈0時(shí)，f(x)〉0，(x)在（0，＋)上單調(diào)遞，無(wú)極值3分②當(dāng)>0時(shí),由f(x)＝0，得x＝.f(x）與f(x)在區(qū)(0，＋∞）上的情況如下：x（0，)a（,＋∞）f（x）－0＋f（x）(1－ln)2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(0，），單調(diào)遞增區(qū)間（a,＋∞),(1－ln）6且f（x在x＝處取得極小值f（)＝ 2 。 分（2)證明：(1)知f(x）在區(qū)（0,＋∞)上的最小值為f（）＝（1－ln）

（1－ln）2 。因?yàn)閒（x）存在零，所以

≤0,從而≥.2當(dāng)＝e時(shí),f(）在區(qū)間(1,）上單調(diào)遞，且f()＝0，所以x＝是(x）在區(qū)(1，]上的唯一零點(diǎn)9分1 －a當(dāng)〉e時(shí)，f()在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減,且f(）＝>0，f（)＝2 2

<0，所以f(x)在區(qū)（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知,當(dāng)〉0時(shí),若f()存在零點(diǎn)，則f()在區(qū)間（1，e］上僅有一個(gè)零點(diǎn)．2分請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)涂黑．把答案寫在答題卡上x(chóng)＝3cosθ，22．(本小題10分在直角坐標(biāo)系xy中曲線C的參數(shù)方程y＝sinθ參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，線l的極坐標(biāo)方程為π

(θ為ρsinθ＋

＝