學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年新教材數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊課時分層作業(yè)：2.5.1直線與圓的位置關系課時分層作業(yè)(十八)（建議用時：40分鐘）一、選擇題1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是（)A．相切 B．相交但直線不過圓心C．相交且直線過圓心 D．相離B［∵圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r（1＋1)）＝eq\f（\r（2),2)＜1，且直線y＝x＋1不過圓心（0,0)，∴直線與圓相交但直線不過圓心．]2．與3x＋4y＝0垂直，且與圓(x－1）2＋y2＝4相切的一條直線是()A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6B[設與直線3x＋4y＝0垂直的直線方程為l：4x－3y＋m＝0,直線與圓(x－1）2＋y2＝4相切，則圓心（1,0）到直線的距離為半徑2，即eq\f（|4＋m|,5）＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直線方程為4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由選項可知B正確，故選B.]3．過點P(－eq\r(3)，－1）的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是(）A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°D［易知直線l的斜率存在,所以可設l：y＋1＝k（x＋eq\r（3))，即kx－y＋eq\r(3）k－1＝0.因為直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，所以圓心(0,0）到直線l的距離eq\f（|\r(3)k－1|,\r(1＋k2）)≤1，即k2－eq\r（3)k≤0，解得0≤k≤eq\r(3）,故直線l的傾斜角α的取值范圍是0°≤α≤60°.］4．已知圓C:x2＋y2－2x＋4y＝0關于直線3x－ay－11＝0對稱，則圓C中以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a，4），－\f（a，4))）為中點的弦長為（)A．1 B．2C．3 D．4D［依題意可知直線過圓心（1，－2），即3＋2a－11＝0,a＝4。故eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，4），－\f（a，4)）)＝(1，－1）．圓方程配方得(x－1）2＋（y＋2)2＝5，（1，－1）與圓心距離為1，故弦長為2eq\r（5－1)＝4.]5．若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2:y(y－mx－m）＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是(）A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r(3）,3），\f（\r（3）,3））） B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3）,3）,0))∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（\r（3）,3)）)C．eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3),3)，\f(\r（3），3）)） D．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞,－\f（\r（3），3)）)∪eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3)，3)，＋∞））B[曲線C1是以（1,0)為圓心，1為半徑的圓,當m≠0時，C2是兩直線y＝0,y＝m(x＋1)，其中y＝0與圓一定有兩個交點,直線y＝m（x＋1)與圓相切時，m＝±eq\f(\r(3），3），若有兩個交點則m∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0）)∪eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f(\r(3）,3))）。故選B.]二、填空題6．設圓C：x2＋y2―2x―2y―m＝0與直線y＝x―4相切，則圓C的半徑為________．2eq\r(2）[∵圓C：x2＋y2―2x―2y―m＝0與直線y＝x―4相切,圓C的圓心C(1，1），∴圓C的半徑r＝eq\f(｜1－1－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2）。]7．已知⊙O：x2＋y2＝1.若直線y＝kx＋2上總存在點P,使得過點P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實數(shù)k的取值范圍是________．（－∞，－1］∪[1，＋∞）[∵圓心為(0，0)，半徑r＝1，設兩個切點分別為A，B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有PO＝eq\r(2)r＝eq\r(2）,∴圓心O到直線y＝kx＋2的距離d≤eq\r(2)，即eq\f（｜2|，\r（1＋k2)）≤eq\r（2），即1＋k2≥2,解得k≥1或k≤－1。］8．過原點作圓x2＋（y－6）2＝9的兩條切線,則兩條切線所成的銳角是________．60°［根據(jù)題意作出圖象如下:其中OA，OB是圓的切線,A，B為切點，C為圓心，則AC⊥AO，由圓的方程x2＋(y－6）2＝9可得：圓心C（0，6）,圓的半徑r＝3，在Rt△AOC中，可得∠COA＝30°,又OC將∠AOB平分，所以∠AOB＝60°.］三、解答題9．已知圓C的圓心與點P（－2，1）關于直線y＝x＋1對稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且｜AB｜＝6,求圓C的方程．[解]設點P關于直線y＝x＋1的對稱點為C(m，n),則由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1＋n,2）＝\f（－2＋m,2）＋1，,\f（n－1，m＋2）·1＝－1，))?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝0，，n＝－1.))故圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f（|－4－11|，\r（9＋16））＝3，所以圓C的半徑的平方r2＝d2＋eq\f（｜AB|2，4)＝18.故圓C的方程為x2＋（y＋1)2＝18.10.如圖所示，自點A（－3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程．[解]圓C的標準方程為（x－2）2＋(y－2)2＝1，∴圓C關于x軸對稱的圓C′的方程為（x－2）2＋（y＋2）2＝1.設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－3＝k(x＋3），即kx－y＋3＋3k＝0，∴eq\f(｜2k＋2＋3＋3k｜，\r(1＋k2））＝1，∴k＝－eq\f(3，4)或k＝－eq\f(4，3）.∴光線l所在直線的方程為3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.11．(多選題)給出下列條件，能使直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝4相交的條件是()A．2a2＋2b2＝c2 B．3a2＋3b2＝c2C．a(chǎn)2＋b2＝c2 D．4a2＋4b2＝c2ABC［由直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝4相交得eq\f(｜c|,\r（a2＋b2）)＜2，即c2＜4（a2＋b2），選項A、B、C均滿足c2＜4(a2＋b2），而D項是相切的條件,故應選ABC.]12．若直線x－my＋m＝0與圓（x－1)2＋y2＝1相交，且兩個交點位于坐標平面上不同的象限，則m的取值范圍是（）A．（0,1） B．（0，2）C．(－1,0） D．(－2,0）D［圓與直線聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝1，,x－my＋m＝0,）)整理得（1＋m2)y2－2m（m＋1)y＋m2＋2m＝0，∵圖象有兩個交點，∴方程有兩個不同的實數(shù)根，即Δ＞0，Δ＝4m2（m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m＞0，解得m＜0?！邎A(x－1）2＋y2＝1都在x軸的正半軸和原點，若要交點在兩個象限，則交點縱坐標的符號相反，即一個交點在第一象限，一個交點在第四象限．∴y1y2＝eq\f(m2＋2m，1＋m2）＜0，解得－2＜m＜0，故選D。]13．（一題兩空)過直線l：y＝x－2上任意點P作圓C：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A,B，當切線長最小時,切線長為________，同時△PAB的面積為________．1eq\f(1，2)［依據(jù)題意作出圖象,如下圖：因為直線l過點P且與圓x2＋y2＝1相切于點A，所以PA⊥OA,所以PA＝eq\r(OP2－OA2)＝eq\r(OP2－1）,要使得PA最小，則OP要最小，由題可得:OP的最小值就是點O到直線l：y＝x－2的距離d＝eq\f(|0－2－0|，\r(12＋12）)＝eq\r(2).此時,PAmin＝eq\r（OP\o\al（2,min)－1)＝eq\r(\r(2)2－1）＝1.又∠OPA＝eq\f（π,4），由切線的對稱性可得：∠BPA＝eq\f（π,2），PB＝1，所以S△PAB＝eq\f(1，2）×1×1＝eq\f（1,2）.]14．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓（x－1）2＋（y－a）2＝4相交于A，B兩點,且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________.4±eq\r(15）［圓心C（1，a）到直線ax＋y－2＝0的距離為eq\f(｜a＋a－2|,\r(a2＋1)）。因為△ABC為等邊三角形，所以|AB｜＝|BC｜＝2，所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（｜a＋a－2｜，\r（a2＋1）)））eq\s\up12（2)＋12＝22，解得a＝4±eq\r(15).]15．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點．(1）求四邊形PACB面積的最小值；(2)直線上是否存在點P，使∠BPA＝60°？若存在,求出P點的坐標；若不存在，說明理由．[解］(1)如圖，連接PC，由P點在直線3x＋4y＋8＝0上，可設P點坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x，－2－\f(3，4）x））.所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP｜×|AC｜＝｜AP｜.因為｜AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC｜2－1，所以當|PC｜2最小時，|AP|最?。驗椋黀C|2＝(1－x）2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f（3,4)x)）eq\s\up12（2)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5,4）x＋1））eq\s\up12（2）＋9。所以當x＝－eq\f（4,5）時