-1-課時素養(yǎng)評價十一余弦定理(15分鐘30分)1.在△ABC中,a=7,b=4QUOTE,c=QUOTE,則△ABC的最小角為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由三角形邊角關(guān)系可知,角C為△ABC的最小角,則cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若C=120°,c=QUOTEa,則a,b的大小關(guān)系為()A.a>b B.a<bC.a=b D.不能確定【解析】選A.在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab.因為c=QUOTEa,所以2a2=a2+b2+ab,所以a2-b2=ab>0,所以a2>b2,所以a>b.3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c滿足b2=ac,且c=2a,則cosB=.

【解析】因為b2=ac,且c=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c且a=3,b=4,c=6,則bccosA+accosB+abcosC的值是.

【解析】bccosA+accosB+abcosC=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.因為a=3,b=4,c=6,所以bccosA+accosB+abcosC=QUOTE×(32+42+62)=QUOTE.答案:QUOTE5.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶QUOTE∶(QUOTE+1),求△ABC的最大內(nèi)角的余弦值.【解析】因為a∶b∶c=2∶QUOTE∶(QUOTE+1),不妨設(shè)a=2k,b=QUOTEk,c=(QUOTE+1)k.顯然a<b<c,所以△ABC的最大內(nèi)角為C,則cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.cosB=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,因為0<B<π,所以B∈QUOTE.2.在△ABC中,已知a=2,則bcosC+ccosB等于()A.1 B.QUOTE C.2 D.4【解析】選C.bcosC+ccosB=b·QUOTE+c·QUOTE=QUOTE=a=2.3.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=()A.10 B.9 C.8 D.5【解析】選D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=±QUOTE.因為A是銳角,所以cosA=QUOTE.又因為a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2×b×6×QUOTE.解得b=5或b=-QUOTE.又因為b>0,所以b=5.4.△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則·的值為()A.19 B.14 C.-18 D.-19【解析】選D.由余弦定理的推論知cosB=QUOTE=QUOTE,所以·=||·||·cos(π-B)=7×5×QUOTE=-19.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.在△ABC中,已知A=30°,且3a=QUOTEb=12,則c的值為()A.4 B.6 C.8 D.10【解析】選AC.由3a=QUOTEb=12,得a=4,b=4QUOTE,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AC.因為在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a2+c2-b2)tanB=ac,所以2ac·cosB·tanB=ac,所以sinB=QUOTE,因為B∈(0,π),所以B=QUOTE或QUOTE.【光速解題】先根據(jù)a2+c2-b2=2accosB,化簡后,把選項ABCD分別代入,驗證即可.三、填空題(每小題5分,共10分)7.△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC的形狀為.

【解析】因為a=2bcosC=2b·QUOTE=QUOTE,所以a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c,所以△ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形8.在△ABC中,設(shè)邊a,b,c所對的角為A,B,C,若cosA=QUOTE,則4cos(B+C)·cos2A=,若同時a=QUOTE,則bc的最大值為.

【解析】根據(jù)題意,在△ABC中,若cosA=QUOTE,則A=QUOTE,則B+C=QUOTE,2A=QUOTE,則4cos(B+C)·cos2A=4cosQUOTEcosQUOTE=4×QUOTE×QUOTE=1,若a=QUOTE,則a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,則有4bc-3bc=bc≤6,即bc的最大值為6.答案:16四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,求a的取值范圍.【解析】只需讓邊長為3和a的邊所對的角均為銳角即可.故QUOTE解得2QUOTE<a<QUOTE.10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a-c)2=b2-QUOTEac.(1)求cosB的值;(2)若b=QUOTE,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-QUOTEac,可得a2+c2-b2=QUOTEac.所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE.(2)因為b=QUOTE,cosB=QUOTE,由余弦定理得b2=13=a2+c2-QUOTEac=(a+c)2-QUOTEac,又a+c=2b=2QUOTE,所以13=52-QUOTEac,解得ac=12.1.如果將直角三角形三邊增加同樣的長度,則新三角形形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加長度決定【解析】選A.設(shè)直角三角形的三條邊分別為a,b,c,c為斜邊,設(shè)同時增加長度k,則三邊長變?yōu)閍+k,b+k,c+k(k>0),最大角仍為角C,由余弦定理的推論得cosC==QUOTE=QUOTE>0,所以新三角形為銳角三角形.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-QUOTEsinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-QUOTEsinA·cosB=0,即有sinAsinB-QUOTEsinAcosB=0.因為sinA≠0,所以sin